2023高考数学复习专项训练《两圆的相交弦》

这是一份2023高考数学复习专项训练《两圆的相交弦》，共14页。试卷主要包含了、单选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 2023高考数学复习专项训练《两圆的相交弦》 一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为A.  B.
C.  D. 2.（5分）下列命题中，是真命题的A. 命题“若，，，则”的逆否命题是假命题
B. 已知，都是实数，那么“”是“”的充分不必要条件
C. 命题“， ”的否定是“， ”
D. “”是“”的充分不必要条件3.（5分）过点作圆的切线，则切线方程为A.  B.
C.  D. 或4.（5分）命题“，”的否定为A、，B、，C、，D、，A. ， B. ，
C. ， D. ，5.（5分）若点为圆：的弦的中点，则直线的方程是A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 6.（5分）已知椭圆的左焦点为，则A.  B.  C.  D. 7.（5分）设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为A、B、C、D、A.  B.
C.  D. 8.（5分）若直线与圆的两个交点恰好关于轴对称，则等于 A.               B.             
C.               D. 9.（5分）“命题为真”是“命题为真”的A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件10.（5分）命题“所有实数的平方都是正数”的否定是A. 所有实数的平方都不是正数 B. 有的实数的平方是正数
C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有一个实数的平方不是正数11.（5分）方程化简的结果是A.  B.
C.  D. 12.（5分）设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为A、B、C、D、A.  B.  C.  D. 13.（5分）若椭圆经过点，随椭圆的离心率A.  B.  C.  D. 二 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在直角坐标平面内，点是圆：上任意一点，点是圆：上任意一点，动点满足，则点的轨迹方程为 ______ .15.（5分）陈述句“或”的否定形式是 ______.16.（5分）存在如下结论：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆现已知在平面直角坐标系中，，动点满足，若点的轨迹为一条直线，则__________若，则点的轨迹方程为__________.17.（5分）已知椭圆：，存在过左焦点的直线与椭圆交于、两点，满足，则椭圆离心率的最小值是______．18.（5分）已知经过点作圆：的两条切线，切点分别为，两点，则直线的方程为______．三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知命题：指数函数是上的增函数，命题：不等式有解．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．20.（12分）在平面直角坐标系中，已知直线：，圆：，圆：． 
当时，试判断圆与圆的位置关系，并说明理由； 
若圆与圆关于直线对称，求的值； 
在的条件下，若为平面上的点，是否存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆与圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．21.（12分）已知圆的圆心在轴的正半轴上，且轴和直线均与圆相切． 
求圆的标准方程； 
设点，若直线与圆相交于，两点，且为锐角，求实数的取值范围．22.（12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线 
求的方程，并说明是什么曲线； 
过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点，点关于轴的对称点为 
①证明：是直角三角形； 
②求直线与直线的斜率的积的最小值，并写出此时直线的方程．
 23.（12分）已知椭圆 
求直线被椭圆截得的弦长； 
若直线与椭圆相切，求实数的值．
答案和解析1.【答案】B;【解析】解：圆的标准方程为， 
所以圆心的坐标为， 
由圆的面积等于，可得圆的半径， 
所以，整理可得：，解得， 
所以，即圆心坐标为， 
故选： 
由圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标，由圆的面积可得圆的半径的值，进而求出的值，再求圆心的坐标． 
此题主要考查圆的一般方程与标准方程之间的转化及圆的性质的应用，属于基础题．
 2.【答案】D;【解析】解：对于：命题“若，，，则”是真命题，故逆否命题是真命题，故A错； 
对于：已知，都是实数，那么“”是“”的充分必要条件，故B错； 
对于：命题“， ”的否定是“， ”故错； 
对于：若“”“；若“”不能得到，故正确： 
故选：． 
，利用原命题与逆否命题同真、假命题判定； 
，利用充分必要条件的定义判定； 
，利用全称命题的否定判定； 
，利用充要条件的定义判定； 
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题的否定；充要条件，难度中档．
 3.【答案】C;【解析】解：点在圆：上， 
圆心与点的连线与过点的圆的切线垂直， 
又，切线方程为，即 
故选： 
由已知可得，点在圆：上，求出所在直线的斜率，然后利用两直线垂直与斜率的关系求得切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 
此题主要考查圆的切线方程的其求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 4.【答案】null;【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定是：， 
故选： 
根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 
此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 5.【答案】null;【解析】解：因为圆：的圆心， 
所以， 
故直线的斜率为，直线方程为，即 
故选： 
由已知结合直线与圆相交的性质先求出直线的斜率，即可求解． 
此题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
 6.【答案】B;【解析】 
该题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 
利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出． 
 
解：椭圆的左焦点为， 
， 
， 
． 
故选B．
 7.【答案】null;【解析】解：由题意易知设过的直线与圆相交于，两点时，直线的斜率存在， 
设过的直线方程为，又直线与圆有个各个点， 
圆心到直线：的距离， 
解得， 
经过中点与圆心的直线的斜率， 
故选： 
先设出过的直线方程为，再根据直线与圆有两个交点，建立的不等式，解不等式可得的范围，再根题意可得所求直线的斜率为，从而再通过函数思想即可求解． 
此题主要考查直线与圆的位置关系，两直线垂直的斜率关系，函数思想，属基础题．
 8.【答案】A;【解析】解：直线与圆的两个交点恰好关于轴对称， 
可知， 
当时，直线与圆，的两个交点和． 
故选A． 
判断直线与坐标轴的关系，然后判断直线与圆的位置关系即可． 
该题考查直线与圆的方程的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．
 9.【答案】D;【解析】解：若为真命题，则，少有一个为真命题，  
若为真命题，则，都为真命题，  
则“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，  
故选：． 
根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 
这道题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．
 10.【答案】D;【解析】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”， 
命题“所有实数的平方都是正数”的否定是： 
“至少有一个实数的平方不是正数”． 
故选 
原命题给出的是全称命题，全称命题的否定一定是特称命题． 
此题主要考查全称命题的否定，属于简单题.
 11.【答案】D;【解析】 
该题考查椭圆的定义问题，属于基础题． 
根据方程得出它表示的几何意义是椭圆，从而求出方程化简的结果是椭圆的标准方程． 
 
解：方程， 
表示平面内到定点，的距离的和是常数的点的轨迹， 
它的轨迹是以，为焦点，长轴，焦距的椭圆； 
，，， 
椭圆的方程是，即为化简的结果． 
故选D．
 12.【答案】null;【解析】解：设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，， 
因为，，解得，， 
所以，则，则， 
所以离心率为： 
故选： 
由于椭圆的定义，结合已知条件中，解得和的值，再利用，得到，的关系，代入离心率公式即可求得所要答案． 
此题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．
 13.【答案】D;【解析】 
根据题意，将的坐标带入椭圆方程，分析可得的值，进而由椭圆的离心率公式计算可得答案． 
此题主要考查椭圆的几何性质，关键是掌握椭圆的离心率公式． 
 
解：根据题意，椭圆经过点， 
则有，即， 
所以椭圆的离心率． 
故选：．
 14.【答案】;【解析】解：由题意，， 
， 
， 
点的轨迹为椭圆，且， 
， 
点的轨迹方程为 
故答案为： 
由，可得，所以点的轨迹为椭圆，且，，求出，即可求出点的轨迹方程． 
此题主要考查了点的轨迹方程，以及椭圆的定义，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
 15.【答案】x≤1且y≠0;【解析】解：“或”的否定形式为且 
故答案为：且 
根据命题的否定形式即求解． 
此题主要考查了命题的否定形式，属于基础题．
 16.【答案】;;【解析】 
设点的坐标为，利用两点间的距离公式表示出、，代入等式 
， 化简整理得答案 
此题主要考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础.解析   设，由，  可得两边平方，整理得点的轨迹方程为 
若点的轨迹为一条直线，则解得或舍去若，则点的轨迹方程为，即
 17.【答案】;【解析】解：椭圆：，存在过左焦点的直线与椭圆交于、两点，满足， 
可得，即，所以． 
所以椭圆离心率的最小值是：． 
故答案为：． 
利用椭圆的性质，以及已知条件列出不等式，转化求解即可． 
此题主要考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
 18.【答案】;【解析】 
该题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题． 
求出以、为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程． 
 
解：如图， 
 
由几何性质可知，，即共圆，且直径为， 
的圆心为，半径为， 
以、为直径的圆的方程为，将两圆的方程相减可得公共弦的方程， 
故答案是：．
 19.【答案】解：命题p为真命题时，1-a＞1即a＜0， 
命题q：不等式a+2x-1＞0有解， 
当a＞0时，显然有解；当a=0时，2x-1＞0有解； 
当a＜0时，∵a+2x-1＞0有解，∴△=4+4a＞0∴-1＜a＜0． 
从而命题q：不等式a+2x-1＞0有解时a＞-1． 
又命题q是假命题，∴a≤-1． 
∴p是真命题，q是假命题时，a的取值范围（-∞，-1]．;【解析】 
先求出命题，为真时，实数的取值范围．结合命题是真命题，命题是假命题，可得答案． 
该题考查的知识点是指数函数的单调性，不等式与不等关系，复合命题，难度中档．
 20.【答案】解：（1）t=-1时，圆C1的圆心C1（-4，1），半径=2；圆C2的圆心C2（4，4），半径=6 
∴圆心距|C1C2|=＞+=8 
∴两圆相离 
（2）圆C2的圆心C2（-4t，4），半径= 
∵圆C1与圆C2关于直线l对称，又直线l的斜率 
由得t=0；， 
（3）假设存在P（a，b）满足条件：不妨设的方程为y-b=k（x-a）（k≠0） 
则的方程为y-b=- 
因为圆C1与圆C2的半径相等，又直线被圆C1截得的弦长与直线被圆C2截得的弦长相等， 
所以圆C1的圆心到直线距离，和圆C2的圆心到直线的距离相等， 
即= 
整理得|（a+4）k-b+1|=|（b-4）k+a| 
即（a+4）k-b+1=（b-4）k+a或（a+4）k-b+1=（4-b）k-a 
即（a-b+8）k-a-b+1=0或（a+b）k+a-b+1=0 
因为k取值无穷多个 
所以或 
解得或 
∴这样的点P可能是P1（-），P2（-） 
∴所求点P的坐标为（-）和（-）．;【解析】 
求得两圆的圆心距，与半径半径，即可求得结论；  
确定圆的圆心与半径，两圆圆与圆关于直线对称，直线的斜率，可求的值；  
利用圆与圆的半径相等，又直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，可得圆的圆心到直线距离，和圆的圆心到直线的距离相等，由此可得结论． 
该题考查圆与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查存在性问题的探求，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
 21.【答案】解：（1）设圆C：（x-a）2+（y-b）2=r，（r＞0）， 
故由题意得，解得a=2，b=0，r=2， 
则圆C 的标准方程为：（x-2）2+=4．（6分） 
（2）将y=x+m代入圆C的方程，消去y并整理得2+2（m-2）x+=0． 
令△=4（m-2）2-8＞0，得-2-2＜m＜-2+2，（8分） 
设M（，），N（，）， 
则+=2-m，=． 
则=（，-1），=（，-1） 
若∠MPN为锐角，得•＞0， 
即+（+m-1）（+m-1）＞0， 
即2+（m-1）（+）+（m-1）2＞0， 
即+（m-1）（2-m）+（m-1）2＞0， 
即+m-1＞0， 
解得m＞或m＜． 
∵-2-2＜m＜-2+2， 
∴（，-2+2）∪（-2-2，）． 
故实数m的取值范围是（，-2+2）∪（-2-2，）（12分）;【解析】 
根据条件建立方程关系求出圆心坐标和半径即可．  
联立直线和圆的方程，利用消元法转化为根与系数之间的关系，进行求解即可． 
这道题主要考查圆的方程的求解以及直线和圆位置关系的应用，利用转化法结合根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
 22.【答案】解：（Ⅰ）由题意得， 
整理得曲线C的方程：）y≠0）， 
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆； 
（Ⅱ） 
①直线PQ的斜率为k，其方程为y=kx，（k＞0）． 
⇒， 
记，则P（u，uk），Q（-u，-uK），E（u，0）． 
  于是直线QG的斜率为，方程为y=， 
⇒（2+）-2ux+-8=0…②． 
则，-u+=⇒，． 
从而直线PG的斜率为=-． 
∴×=-1， 
∴PQ⊥PG， 
故△PQG为直角三角形； 
②直线P′G的斜率为， 
∴直线PQ与直线P′G的斜率的积为．（k=1时取等号）． 
直线PQ与直线P′G的斜率的积的最小值为2． 
此时直线PG的方程y=-x+．;
 【解析】 
利用直接法不难得到方程； 
①直线的斜率为，其方程为，联立方程可得，， 
  于是直线的斜率为，方程为，， 
从而直线的斜率为有，即可证明 
②直线的斜率为，时取等号即可求解． 
此题主要考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，重点考查运算能力，难度大．
 23.【答案】解：（1）设直线y=x-1与椭圆E相交于AB两点且A（，），B（，）， 
由，消去y得3-4x-2=0． 
∴+=，=-， 
∴|AB|==． 
（2）由，得（1+2）+8kx+4=0， 
∵直线y=kx+2与椭圆E相切，∴Δ=（8k）2-4×（1+2）×4=0， 
解得k=±．;【解析】 
设直线与椭圆相交于两点且，，联立方程组可得，，利用弦长公式可求； 
联立方程可得，利用可求实数的值． 
此题主要考查利用弦长公式求弦长，考查椭圆的切线斜率的求法，属中档题．