2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》

一 、单选题（本大题共13小题，共65分）

1.（5分）设集合，，则等于

A、

B、

C、

D、

A.  B.
C.  D.

2.（5分）下列四个函数中，与表示同一函数的是 
 

A.  B.  C.  D.

3.（5分）实数，满足，若的取值与，均无关，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4.（5分）设，则，，中最大的一个是

A.  B.  C.  D. 不能确定

5.（5分）将石子摆成如下图的梯形形状．即数列为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第项与的差，即

A.  B.
C.  D.

6.（5分）已知等差数列的前项和为，，则数列

A. 有最大项，无最小项 B. 有最小项，无最大项
C. 既无最大项，又无最小项 D. 既有最大项，又有最小项

7.（5分）已知平面内的三点，，，若，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 
 

A.  B.
C.  D.

9.（5分）角度化成弧度为

A.  B.  C.  D.

10.（5分）已知函数，，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

11.（5分）已知，则

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则

12.（5分）程序框图如图所示，现输入如下四个函数：，，，，则可以输出的函数是
 

A.  B.  C.  D.

13.（5分）下列不等式中错误的是

A.  B.
C.  D.

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知x、y、z为非零实数，代数式的值所构成的集合中的所有元素为____________________.

15.（5分）已知函数在区间上有且只有三个零点，则实数的取值范围为 _______. 
 
 

16.（5分）已知向量，共线，其中，则的最小值为______．

17.（5分）数列，的一个通项公式是 ______ ．

18.（5分）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，，平面，，则三棱锥的体积为__________.

三 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点 
求函数的解析式； 
若角满足，，求值．

20.（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，， ，． 
 

求异面直线与所成角的正切值；

证明：平面平面；

求直线与平面所成角的正弦值．

21.（12分）已知函数 
求方程的解； 
当时，求函数的最值，并求取最值时对应的的值．

22.（12分）已知圆的方程为： 
求过点且与圆相切的直线的方程； 
直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程； 
圆上有一动点，，若向量，求动点的轨迹方程．

23.（12分）已知函数． 
设集合，，若，求实数的取值范围； 
若对于恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】null;

【解析】解：由，解得 
， 
，则或， 
则 
故选： 
由已知先求出集合，然后结合补集及交集运算即可求解． 
此题主要考查了集合的交集及补集运算即可求解．
 

2.【答案】B;

【解析】

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，进行判断即可． 

解：对于，，与的定义域不同，不是同一函数； 对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数； 对于，，与的对应关系不同，不是同一函数． 
对于，，与的定义域不同，不是同一函数； 故选
 

3.【答案】D;

【解析】 
该题考查了圆的标准方程以及正余弦函数的图象与性质，考查了转化思想方法，是中档题． 
根据实数，满足，设，，求出的取值范围，再讨论的取值范围，求出的值与，均无关时的取值范围即可． 
 
解：实数，满足， 
可设，， 
则，其中； 
， 
当时， 
，其值与，均无关； 
实数的取范围是． 
故选：． 
 

 

4.【答案】C;

【解析】解：， 
． 
只需比较与的大小． 
， 
． 
故选：． 
先由基本不等式确定，的大小，再对，作差比较即可． 
这道题主要考查比较几个数的大小问题．比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成．
 

5.【答案】D;

【解析】，，    
 

6.【答案】D;

【解析】解：数列为等差数列， 
，， 
， 
， 
函数在和上分别是单调减函数， 
，当时，， 
数列中的最大项是，最小项是， 
数列既有最大项，又有最小项， 
故选： 
先求得，即可得到，由函数在和上分别是单调减函数，可得，当时，，故数列有 
最大项，也有最小项． 
此题主要考查等差数列的通项公式，前项和公式的应用，数列的函数特性，以及数列的单调性的应用，属于中档题．
 

7.【答案】A;

【解析】解：平面内的三点，，， 
由题意得，， 
，， 
解得 
故选： 
利用向量坐标运算法则求出，，再由，列方程能求出 
此题主要考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】B;

【解析】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数， 
中的函数不能输出，因为此函数没有零点； 
中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当时函数值为，故B正确； 
中的函数不能输出，因为不存在零点； 
中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数． 
故选：． 
本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项． 
该题考查选择结构，解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质，然后比对四个选项中的函数，对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键．
 

9.【答案】A;

【解析】解：弧度， 
故选： 
直接利用角度与弧度的关系求解即可． 
此题主要考查角度与弧度的互化，基本知识的考查．
 

10.【答案】A;

【解析】 
由分段函数解析式可得函数在区间上满足一个函数值对应两个自变量的函数值的集合，求出函数在上的值域，由是的子集求解．该题考查函数的最值及其几何意义，关键是对题意的理解，是中档题． 
 
解：， 
当时，，当时，． 
一个函数值对应两个自变量的函数值的范围为． 
在上为减函数，最大值为． 
的值域为 
要使对任意，总存在两个，使得， 
则，即． 
实数的取值范围是． 
故选：． 
 


 

11.【答案】A;

【解析】解：假设，则，  
从而，可得若，则，  
故选A． 
利用反证法思想，即可得出结论．  
该题考查对数的运算，考查反证法思想，比较基础．
 

12.【答案】D;

【解析】解：由题得输出的函数要满足是奇函数且有零点，  
与轴无交点，故不存在零点，故不符合题意；  
是偶函数，故不符合题意；  
是非奇非偶函数，故不符合题意；  
是奇函数，且存在零点，符合题意，  
故只有符合题意，  
故选：． 
该程序的作用是输出满足条件①，即函数为奇函数②存在零点，即函数图象与轴有交点．逐一分析四个函数，不难得到正确答案．  
这道题主要考查使用框图，函数的基本性质，属于基础题．
 

13.【答案】B;

【解析】解：答案A：， 
所以A正确． 
答案B：，， 
所以B错误． 
答案C：， 
所以C正确． 
答案D：，即， 
所以答案D正确． 
故选：． 
该题考查单位圆中四个三角函数线间的大小关系．，， 
该题考查了三角函数线的应用，属于基础题
 

14.【答案】-4，0，4;

【解析】略
 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查函数零点与方程根的关系，由函数零点及方程根的关系即可解答本题. 
 
解：由题意，当时，函数， 
此时，令，解得， 
所以当，单调递增，当时，单调递减， 
， 
①当时，函数在上无零点， 
又因为在上是二次函数，最多只有两个零点， 
所以不合题意，舍去. 
②当时，函数在上存在一个零点， 
此时，有个零点， 
将代入得， 
解得，， 
由函数定义域得不合题意，舍去 
③当时，函数在上存在两个零点， 
此时，有一个零点， 
即方程在有个根， 
因为方程开口向上，对称轴 
 或 
解得： 
综上，的取值范围为 
故答案为
 

16.【答案】;

【解析】 
由向量共线的坐标表示可得，则，展开后运用基本不等式即可得到所求最小值． 
该题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘法和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题． 
 
解：向量，共线，其中，， 
可得， 
即为． 
则， 
当且仅当时，上式取得等号． 
则的最小值为． 
故答案为：．
 

17.【答案】;

【解析】解：，，，，，是以为首项和公比的等比数列，  
且，，，，，是以为首项，以为公差的等差数列，  
此数列的一个通项公式是，  
故答案为：．  
分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式．  
该题考查数列的通项公式，以及等差、等比数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】 
由题意画出图形，求出的长，再由棱锥体积公式求解． 
此题主要考查多面体外接球表面积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 
 
解：如图， 
 
由题意，，，， 
设，则三棱锥的外接球的直径即是以，，为棱的长方体的对角线． 
则， 
再由，得 
，即 
三棱锥的体积为 
故答案为 
 

 

19.【答案】解：由条件，周期，即，所以，即 
因为的图象经过点，所以． 
， 
 
由，得， 
即，可得：，即． 
因为，解得：或．;

【解析】这道题主要考查了由的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换的应用及正弦函数的图象和性质，属于基础题． 
由条件可求周期，利用周期公式可求，由的图象经过点，可求． 
解得，即可得解函数解析式． 
由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得结合范围，即可得解的值． 

 

20.【答案】（1）解：如图， 
​​​​​​​ 
在四棱锥P-ABCD中， 
因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC. 
又因为AD⊥PD， 
故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角. 
在RtPDA中，=2， 
所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2． 
（2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC. 
又因为AD⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PDC， 
所以AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD， 
所以平面PDC⊥平面ABCD． 
（3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB． 
由于平面PDC⊥平面ABCD， 
而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，PE平面PDC， 
故PE⊥平面ABCD． 
由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角. 
在PDC中， 
由PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°， 
在RtPEC中，PE=PCsin30°=． 
由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC， 
又PC平面PDC，因此BC⊥PC． 
在RtPCB中，PB==． 
在RtPEB中，sin∠PBE==． 
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为．;

【解析】该题考查直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、计算能力． 
判断为异面直线与所成的角，在中，求异面直线与所成角的正切值． 
说明，通过，，证明平面，然后证明平面平面． 
在平面中，过点作于，连接说明为直线与平面所成的角，求出，，在中，通过，求直线与平面所成角的正弦值．
 

21.【答案】解：（1）∵f（x）-3=0， 
∴lo2x-2lox-3=0， 
∴（lox-3）（lox+1）=0， 
∴lox=3或lox=-1， 
∴． 
（2）设t=lox，∵，∴t∈[-1，2]， 
f（x）=-2t=（t-1）2-1， 
当t=1，即x=2时，f（x）min=-1， 
当t=-1，即x=时，f（x）max=3．;

【解析】 
由题意可得，从而求解方程的根；  
利用换元法求函数的最值． 
该题考查了函数与方程的关系，同时考查了换元法求函数的最值，属于基础题．
 

22.【答案】解：（1）当k不存在时，x=2满足题意； 
当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2）， 
由=2得，k=-， 
则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0； 
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，-），这两点的距离为2，满足题意； 
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0， 
设圆心到此直线的距离为d， 
∴d==1，即=1， 
解得：k=， 
此时直线方程为3x-4y+5=0， 
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1； 
（3）设Q点的坐标为（x，y）， 
∵M（，），=（0，），=+， 
∴（x，y）=（，2）， 
∴x=，y=2， 
∵2+2=4， 
∴+（）2=4，即+=1．;

【解析】 
分两种情况考虑：当直线的斜率不存在时，直线满足题意；当存在时，变形出方程，利用圆心到的距离列出方程，求出方程的解得到的值，确定出此时方程，综上，得到满足题意直线的方程； 
分两种情况考虑：当直线垂直于轴时，此时直线方程为，直线与圆的两个交点距离为，满足题意； 
当直线不垂直于轴时，设其方程为，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线的方程； 
设，表示出，，代入已知等式中化简得到，，代入圆方程变形即可得到轨迹方程． 
该题考查了直线与圆的位置关系，以及与直线有关的轨迹方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，以及平面向量的数量积运算，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要求学生考虑问题要全面，做到不重不漏．
 

23.【答案】解：（1）当x≥0时，f（x）≤，即，解得0≤x≤2； 
当x＜0时，f（x）即0成立， 
综上，f（x）的解集为{x|x≤2}，即A=（-∞，2]． 
设g（x）=-6x+p， 
因为A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4-6×2+p＜0，解得p＜8， 
所以实数p的取值范围为：（-∞，8）． 
（2）因为t∈[1，2]，所以f（t）=， 
2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，即恒成立， 
即（）（22t+1+m）≥0， 
因为22t-1≥3，所以22t+1+m≥0恒成立，即m≥-（1+22t）， 
因为t∈[1，2]，所以-（1+22t）∈[-17，-5]，则m≥-5． 
故实数m的取值范围为[-5，+∞）．;

【解析】 
解不等式得到，令，由，得，解出即可； 
对不等式进行等价转化，分离出参数后，转化为函数最值问题解决； 
该题考查函数恒成立问题及不等式的求解、集合运算，具有一定综合性，恒成立问题的常用解决方法是转化为函数最值处理．