2023高考数学复习专项训练《平面直角坐标系中的基本公式》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面直角坐标系中的基本公式》，共17页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线Ax-By+C=0(AB≠0)的斜率为()
A、-AB
B、-BA
C、AB
D、BA
A. -ABB. -BAC. ABD. BA
2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是()
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u→,ν→，且n→=(1,2,-2),ν→=(2,1,2)，则α⊥β
B. 若直线l的方向向量为e→=(1,0,3)，平面α的法向量为n→=(-2,0,23)，则直线l//α
C. 若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
3.（5分）下列四个命题中，正确的是()
A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2
B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1=4，则点C到直线AB1的距离为()
A. 2155B. 2105C. 2153D. 2303
5.（5分）若直线l1:2x-ay+1=0与l2:(a-1)x-y-1=0平行，则l1与l2之间的距离为()
A. 2B. 22C. 324D. 24
6.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()
A. 22B. 11C. 23D. 3
7.（5分）直线y-1=k(x-3)，当k变化时，所有直线恒过定点( )
A. (0,0)B. (3,1)C. (1,3)D. (-1,-3)
8.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是B1C1，CC1的中点，直线DN与A1M所成角的余弦值为()
A. -45B. 45C. -35D. 35
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则()
A. AB→与AC→是共线向量
B. AB→的一个方向向量是(2,1,0)
C. AB→与BC→夹角的余弦值是-5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
10.（5分）已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-1,2)，则下列结论中正确的是()
A. l的一个方向向量为u→=(-36,12)B. l在x轴上的截距等于233
C. l与直线3x-3y+2=0垂直D. l与直线3x+y+2=0平行
11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()
A. 点P到平面A1BC1的距离为定值
B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值
C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值
12.（5分）已知△PMN的顶点坐标分别为P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，则()
A. △PMN为直角三角形
B. 过点P斜率范围是[-33,3]的直线与线段MN有公共点
C. x+3y=0是△PMN的一条中位线所在直线方程
D. x-3y+2=0是△PMN的一条高线所在直线的方程
13.（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为侧棱PA、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()
A. PC//平面OMNB. 平面PCD//平面OMN
C. OM⊥PAD. PD⊥平面OMN
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系O-xyz中，点A到坐标原点的距离为2，写出点A的一个坐标 ______.
15.（5分）已知直线l：kx+y+1=0(k∈R)，则原点到这条直线距离的最大值为______．
16.（5分）已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，沿对角线AC将△ABC折起，使二面角B-AC-D的平面角的大小为π2，则B与D之间距离为 ______.
17.（5分）已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y-2z+1=0，直线l是两个平面x-y+3=0与x-2z-1=0的交线，试写出直线l的一个方向向量为 ______，直线l与平面α所成角的余弦值为 ______.
18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知直线l过点A(-2,1).
(1)若直线l与直线2x+3y+5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
20.（12分）如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=6，AB⊥AC，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，AO=22.D是侧棱CC1中点，BD∩CB1=E.
(1)证明：OE//平面AA1C1C；
(2)F，E，C1三点在同一条直线上吗？说明理由，求FEEC1的值．
21.（12分）已知ΔABC的顶点A3,-1，过点B的内角平分线所在直线方程是x-4y+10=0，过点C的中线所在直线的方程是6x+10y-59=0.
(1)求顶点B的坐标；
(2)求直线BC的方程.
22.（12分）在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，各棱长都为a，O为B1E的中点．
(1)求A1E与侧面BCC1B1所成角的正切值；
(2)求平面ACO与平面EDD1E1所成的锐二面角的正弦值．
23.（12分）已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC，AB⊥BC，AB>BC，AB=1，AA1=AD=2，Q为A1B的中点，平面ABB1A1与平面所成的锐二面角的余弦值为.
(1)求证：BD⊥A1C；
(2)若点P是棱AD上的点，且三棱锥P-ABQ的体积为512，求直线PQ和平面A1BC所成角的正弦值的大小.
答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：直线Ax-By+C=0(AB≠0)，
则y=ABx+CB，即直线的斜率为AB，
故选：C.
将直线化成斜截式，即可求解．
此题主要考查直线的斜率，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：对于A，u→⋅ν→=2+2+(-2)×2=0，所以u→⊥ν→，A正确；
对于B，e→⋅n→=-2+0+2=0，所以e→⊥n→，则直线l//α或l⊂α，B错误；
对于C，对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，满足14+14+12=1，
则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
则这两个向量共线，所以D正确．
故选：B.
由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.
此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误；
B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；
C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误；
D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误．
故选：B.
根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D.
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2BB1=4，
取AC的中点O，取A1C1中点D，连接OD，则OD⊥平面ABC，
连接OB，因为△ABC是等边三角形，
所以OB⊥AC，
因为OB，AC⊂平面ABC，
所以OB，AC，OD两两垂直，
所以以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=2BB1=4，所以AO=OC=2,OB=42-22=23,BB1=22，
故A(0,-2,0),B(23,0,0),C(0,2,0),B1(23,0,22)，
AC→=(0,4,0),AB1→=(23,2,22)，
点C到直线AB1的距离为d=|AC→|2-(AC→⋅AB1→|AB1→|)2=16-((0,4,0)⋅(23,2,22)12+4+8)2=2303.
故选：D.
建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式进行求解．
此题主要考查了点到直线的距离计算，属于中档题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查两条直线平行的判定及应用以及平行线之间的距离问题，属于基础题.
解：因为直线l1:2x-ay+1=0与l2:(a-1)x-y-1=0平行，所以2×(-1)=-a×(a-1)，解得a=-1或a=2.当a=-1时，l1:2x+y+1=0与l2:-2x-y-1=0重合，故舍去;
当a=2时，l1:2x-2y+1=0与l2:2x-2y-2=0之间的距离d=|-2-1|22+(-2)2=324.故选C.
6.【答案】B;
【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)，
又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)，
∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13，
∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11.
故选：B.
根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】B;
【解析】解：由直线y-1=k(x-3)，当k变化时，令y-1=0，
解得x=3，y=1，
所有直线恒过定点(3,1)，
故选：B.
由直线y-1=k(x-3)，当k变化时，令y-1=0，解出即可得出．
此题主要考查了直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A1(2,0,2)，M(1,2,2)，D(0,0,0)，N(0,2,1)；
所以DN→=(0,2,1)，A1M→=(-1,2,0)，
所以DN→⋅A1M→=0+4+0=4，|DN→|=0+4+1=5，|A1M→|=1+4+0=5，
所以直线DN与A1M所成角的余弦值为csθ=|DN→·A1M→|DN→||A1M→||=45.
故选：B.
建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出异面直线DN与A1M所成角的余弦值．
此题主要考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
9.【答案】BCD;
【解析】解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，
对于A，AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)，∵2-1≠12，∴AB→与AC→不是共线向量，故A错误；
对于B，∵AB→=(2,1,0)，则直线AB的一个方向向量是(2,1,0)，故B正确；
对于C，BC→=(-3,1,1)，则cs=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=2×(-3)+1×1+0×111×5=-5511，故C正确；
对于D，由选项A知，向量AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)不共线，令n→=(1,-2,5)，
则n→·AB→=2×1+1×(-2)=0，n→·AC→=-1×1+2×(-2)+1×5=0，∴n→⊥AB→,n→⊥AC→，
∴n→=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量，故D正确．
故选：BCD.
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】null;
【解析】解：直线l的倾斜角等于120°，则n→=(cs120°,sin120°)=(-12,32)是直线l的方向向量，斜率为tan120°=-3，
由于l经过点(-1,2)，于是l：y-2=-3(x+1)，即3x+y+3-2=0.
对于A：由于u→=3n→，所以A正确；
对于B：3x+y+3-2=0中由y=0得：x=2-33=23-33，B错误；
对于C：直线3x-3y+2=0的斜率为33，由于-3×33=-1，则l与直线3x-3y+2=0垂直，C正确；
对于D：l与直线3x+y+2=0斜率相同，纵截距不同，因此两者平行，D正确．
故选：ACD.
根据条件写出直线l的方程，根据直线间位置关系的等价条件进行判断即可．
此题主要考查直线的方程以及平行垂直的等价条件，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1，
所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确；
对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1，
又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值，
所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确；
对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确；
对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变，
所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定，
即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误．
故选：ABC.
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】AC;
【解析】解：∵△PMN的顶点坐标分别为P(1,3),M(-1,-3),N(4,0)，
可得kPM=3,kPN=-33,kPMkPN=-1，故直线PM和PN垂直，△PMN为直角三角形，A正确；
∵过点P与线段MN有公共点，的直线斜率范围是(-∞,-33]∪[3,+∞)，B错误；
过PM的中点(0,0)，与PN平行的直线方程为y-0=-33(x-0)，即x+3y=0，故C正确；
点P在直线x-3y+2=0上，但不与MN垂直，故D错误，
故选：AC.
由题意，利用两条直行平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
此题主要考查两条直行平行、垂直的条件，用点斜式求直线的方程，属于基础题．
13.【答案】ABC;
【解析】解：如图，连接AC，易得PC//OM，所以PC//平面OMN，结论A正确．

同理PD//ON，所以平面PCD//平面OMN，结论B正确．
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，又PC//OM，所以OM⊥PA，结论C正确．
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN//AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，因为PD与CD不垂直，故D错误．
故选：ABC.
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
此题主要考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.【答案】（2，0，0）（答案不唯一）;
【解析】解：设A(x,y,z)，
因为点A到坐标原点的距离为2，
所以x2+y2+z2=4，
故答案为：(2,0,0)(答案不唯一).
利用空间两点间的距离求解．
此题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．
15.【答案】1;
【解析】解：直线l：kx+y+1=0，恒过定点(0,-1)，
原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到点(0,-1)的距离d=1．
∴原点O到直线l距离的最大值为1．
故答案为1．
由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值．
该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
16.【答案】855;
【解析】解：过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，

∵AB=1，BC=2，∴AC=5，
∵12AB·BC=12AC·BE=12AC·DF，
∴BE=DF=255，则AE=CF=55，即EF=355，
∵二面角的平面角为π2，∴EB→·FD→=0，
∵BD→=BE→+EF→+FD→，
∴BD→2=(BE→+EF→+FD→)2
=BE→2+EF→2+FD→2+2BE→·EF→+2EF→·FD→+2BE→·FD→
=45+95+45=175，则|BD→|=855，
即B与D之间距离为855，
故答案为：855.
过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，则由题意可求得BE=DF=255，EF=355，由二面角的平面角为π2，得EB→·FD→=0，再利用BD→=BE→+EF→+FD→可求得结果．
此题主要考查空间中两点间距离的求法，考查了转化思想，属于中档题．
17.【答案】（2，2，1） 659;
【解析】解：已知空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0，
由平面α的方程为x+2y-2z+1=0，可得平面α的法向量为n→=(1,2,-2)，
平面x-y+3=0的法向量为m1→=(1,-1,0)，x-2z-1=0的法向量为m2→=(1,0,-2)，
设直线l的方向向量为m→，则{m→⋅m1→=0m→⋅m2→=0，即{x-y=0x-2z=0，
令z=1则取m→=(2,2,1)，
设直线l与平面α所成角θ，0°⩽θ⩽90°，
则sinθ=|cs〈m→,n→〉|=49×9=49,csθ=659，
故答案为：(2,2,1)；659
由题意可得平面α的法向量，同理可得平面x-y+3=0的法向量以及x-2z-1=0的法向量，根据已知可知直线l与这两个法向量垂直，可设直线l的方向向量为m→=(x,y,z)，即得方程组，求得直线l的一个方向向量；继而利用向量的夹角公式可求得直线l与平面α所成角的余弦值．
此题主要考查了线面角的计算，属于中档题．
18.【答案】26;
【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)，
设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)，
则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)，
由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|，
所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26，
即△ABC的周长的最小值为26.
故答案为：26.
求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）设直线l的方程为3x-2y+m=0，
则3×（-2）-2×1+m=0，解得m=8，
故直线l的方程为3x-2y+8=0．
（2）当直线l过原点时，斜率为-12，由点斜式求得直线l的方程是y=-12x，即x+2y=0，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点A（-2，1）代入方程可得a=-1，
故直线l的方程是x+y+1=0，
综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0．;
【解析】
(1)根据已知条件，结合两直线垂直的条件，即可求解．
(2)根据已知条件，分直线l过原点，直线l不过原点两种情况讨论，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
20.【答案】证明：（1）连接BO，并延长BO交AC于G，连接DG，

∵AB=AC=6，AB⊥AC，F是线段BC的中点，
∴AF=32，又AO=22，
∴O是△ABC的重心，
∴BOOG=2，又D是侧棱CC1中点，
∴BB1=2CD，BEED=2，
∴OE∥GD，又OE⊄平面AA1C1C，GD⊂平面AA1C1C，
∴OE∥平面AA1C1C；
解：（2）连接AC1，则GD∥AC1，OE∥AC1，
∴A，C1，O，E四点共面，又AO∩BC=F，
∴F∈AO，F∈平面AC1OE，
又F∈BC，BC⊂平面BB1C1C，
∴F∈平面BB1C1C，
又平面AC1OE∩平面BB1C1C=C1E，
∴F∈C1E，即三点C1，E，F在一条直线上，
所以EFEC1=FOOA=12．;
【解析】
(1)由题可得O是△ABC的重心，然后利用线面平行的判定定理即得；
(2)由题可得A，C1，O，E四点共面，进而可得点F在平面BB1C1C与平面AC1OE的交线上，结合条件即得．
此题主要考查了直线与平面平行的判定定理，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设B(x,y)，则AB中点(x+32,y-12)，由6⋅x+32+10⋅y-12-59=0x-4y+10=0，解得x=10y=5，故 B(10,5).(2)设点A关于直线x-4y+10=0的对称点为A'(m,n)，则m+32-4⋅n-12+10=0n+1m-3=-4，得m=1n=7，即A'(1,7).直线BC经过点A'和点B，
故直线BC的方程2x+9y-65=0.;
【解析】此题主要考查了待定系数法求直线方程的运用，考查了计算能力，属于中档题．
(1)先设点B的坐标(x,y)，根据∠B的内角平分线方程是x-4y+10=0得到关于x，y的一个方程，再结合AB中点(x+32,y-12)在过点C的中线上，即可求出点B的坐标；
(2)先求出点A关于直线x-4y+10=0的对称点A'，因为直线BC经过点A'和点B，根据A'和点B的坐标即可求出直线BC的方程．
22.【答案】解：（1）过A1作A1P⊥E1F1于P，连接PE，
在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，因为FF1⊥平面A1B1C1D1E1F1，
所以FF1⊥A1P，又因为E1F1∩FF1=F1，
所以A1P⊥侧面EFF1E1，
所以∠A1EP为A1E与侧面EFF1E1所成的角，
因为侧面EFF1E1∥侧面BCC1B1，
所以∠A1EP也为A1E与侧面BCC1B1所成的角，
经过计算得，PF1=a2，A1P=3a2，
进一步得，PE=EE12+PE12=132a，
所以tan∠A1EP=A1PPE=3911；
（2）延长AC交ED的延长线于点G，连接D1G，
过C作CH⊥DG，过H作HK⊥D1G于K，连接CK，
则CH⊥平面EGDE1，
进一步得，CK⊥D1G，
所以∠CKH为平面ACO与平面EGDE1所成的锐二面角的平面角，
经过计算得，CH=32a，CK=305a，
所以sin∠CKH=CHCK=104．;
【解析】
(1)过A1作A1P⊥E1F1于P，连接PE，则A1P⊥侧面EFF1E1，所以∠A1EP为A1E与侧面EFF1E1所成的角，再结合已知条件求解即可．
(2)延长AC交ED的延长线于点G，连接D1G，过C作CH⊥DG，过H作HK⊥D1G于K，连接CK，则CH⊥平面EGDE1，所以∠CKH为平面ACO与平面EGDE1所成的锐二面角的平面角，进而求出结果即可．
此题主要考查了直面角的求解，考查了二面角的求解，属于中档题．
23.【答案】(1)证明：∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC，AB⊥BC，
∴AB，AD，AA1两两互相垂直，
∴以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又∵AB=1，AA1=AD=2，∴B(1,0,0)，A1(0,0,2)，D(0,2,0)，
∵Q为A1B的中点，∴Q(12,0,1)，设BC=a(0∴DQ→=(12,-2,1)，CD→=(-1,2-a,0)，
设平面QCD的法向量为n1→=(x1,y1,z1)，则n1→.CD→=-x1+(2-a)y1=0n1→.DQ→=12x1-2y1+z1=0，
令y1=2，得x1=4-2a，z1=a+2，即平面QCD的一个法向量为n1→=(4-2a,2,a+2)，
又∵平面ABB1A1的一个法向量为n0→=(0,1,0)，
n1→.n0→=2，n1→=5a2-12a+24，n0→=1，
∴25a2-12a+24=47777，解得a=12或a=1910，
∵0∴A1→C=(1,12,-2)，BD→=(-1,2,0)，
∴A1→C.BD→=0，∴BD⊥A1C；
(2)解：设P(0,t,0)，(0∴SΔ=12SΔAA1B=12，
又三棱锥P-ABQ的体积为512，∴13×12×t=512，解得t=52，
∴P(0,52,0)，∴PQ→=(12,-52,1)，
设平面A1BC的法向量为n2→=(x2,y2,z2)，
∵A1→C=(1,12,-2)，BC→=(0,12,0)，
∴n2→.BC→=12y2=0n2→.A1C=x2+12y2-2z2=0，令x2=2，得z2=1，
∴平面A1BC的一个法向量为n2→=(2,0,1)，
设直线PQ和平面A1BC所成角为θ，
则sinθ=cs\left=25×52=225，
即直线PQ和平面A1BC所成角的正弦值225.
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【解析】此题主要考查利用空间向量判定线线的垂直、平行关系，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，考查空间想象能力与计算能力，涉及棱锥的体积计算，属于综合题.
(1)以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由平面ABB1A1与平面QCD所成的锐二面角的余弦值为47777，得C(1,12,0)，再计算A1→C.BD→=0即可；
(2)由三棱锥P-ABQ的体积为512，得P(0,52,0)，从而得平面A1BC的一个法向量为n2→=(2,0,1)，因为PQ→=(12,-52,1)，则sinθ=cs\left=25×52=225，即可.