2023春长沙四大名校集团八年级同步复习——专题05 几何最值问题无答案

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专题05 几何最值问题【类型一】平移型将军饮马【基本图形】已知A、B两点，MN长度为定值，确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小。                           【例1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，求四边形APQE的周长最小值，并求此时P、Q的坐标。
【练1】（青一入学）如图，正方形ABCD的对角线行的两个动点M、N满足，P是BC的中点，连接AN、PM，若 则求AN+PM的最小值。【练2】如图，线段MN在等腰直角△BCD的斜边BD上运动，P为BC的中点，连接PM、CN。若，则四边形PMNC周长的最小值是       。【类型二】型最值问题【例2】如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点。若∠DAB=60°，则的最小值等于________，则的最小值等于________；若∠DAB=45°，则的最小值等于________，则的最小值等于________；若∠DAB=30°，则的最小值等于________。    
1. 在等边△ABC中，AB=8，AD⊥BC，M是AD上一点，N是AC上一点，①求MN+MC的最小值；②求的最小值。  【类型三】以斜边中线定理为背景的几何最值（点圆最值）【问题一】已知直角三角形的斜边长为4，直角顶点C在平面内运动。取斜边中点O，P为平面内一定点，且PO=4。在点C的运动过程中，求PC长度的取值范围。   【问题二】已知直角三角形的斜边长为4，直角顶点C在平面内运动，求直角△ABC面积的最大值。  【问题三】如图，直角的顶点在射线OM上，两边分别交射线ON于A、B两点，若顶点P到射线ON的距离为，则AB长度的最小值为      。    【例3】⑴（长郡联考）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求EF的最小值。⑵（长郡联考改）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，取EF的中点M，求AM（PM）的最小值。 ⑶（长郡联考改）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，取EF的中点M，当P从B运动到C时，求点M运动的路径长。 【例4】如图，A、B为射线OE上两点，点P为射线OF上一点，且。若；则线段AB的最小值为        ；若；则线段AB的最小值为        ；若；则线段AB的最小值为        ；
1. 如图，AD=4,E、F为正方形ABCD边BC、CD上的动点，且DE=CF，连接AE、DF交于点P，连接CP，则CP长的最小值为      。     【巩固练习】1、已知正方形ABCD，F从C开始由C向D运动，连接BF，过A作AN⊥BF于N。⑴连接CN，若AB=4，则CN的最小值为      ；⑵在BC上取点M，且CM=1，连接NM，若AB=4,则NM的最小值为      ；⑶连接CN，若CN的最小值为5，则AB=       。  2、（青一八下第一次月考节选）如图，已知直线与坐标轴轴交于点,与轴交于点，以为边在轴右侧做正方形。点是边上一动点，连接,过做的垂线，垂足为，求线段的最小值。   
 3、（青一八上期末T24）已知：如图，在矩形中，，，为直线上一点。(1)如图1，当在线段上，且时，求的长；(2)如图2，点为边延长线上一点，若，连接，为的中点，连接、，求证：；(3)如图3，在(2)条件下，、为边上的两个动点，且，连接、、、，求四边形的周长的最小值.