华师大版九年级下册3. 求二次函数的表达式公开课教学设计及反思

 26.2.3 求二次函数的表达式

教学目标

【知识与能力】

能用待定系数法求二次函数的解析式。

【过程与方法】

  能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式。

【情感态度价值观】

体会待定系数法与方程思想。

教学重难点

【教学重点】

用待定系数法求二次函数的解析式。

【教学难点】  

根据已知条件恰当地选取适当的方法求二次函数的解析式。          

课前准备

多媒体

教学过程

阅读教材，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．

2．二次函数的三种常见表达式为：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c均为常数)；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0，a，h，k均为常数)；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1、x2为抛物线与x轴交点的两个横坐标，且x1≠x2)．

3．已知二次函数y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2的图象过点(0,5)，求m的值，并写出二次函数的解析式．

解：m＝3，y＝x2＋6x＋5.

4．用待定系数法求二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，需要求出a、b、c的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】已知抛物线的顶点为(1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求抛物线的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线的顶点坐标→设顶点式求抛物线的解析式．

【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－3.

∵抛物线与y轴交于点(0，－5)，将其代入可得a＝－2，

∴抛物线的解析式为y＝－2(x－1)2－3，即y＝－2x2＋4x－5.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知二次函数顶点坐标(h，k)及过其他一点，通常设二次函数的顶点式，即y＝a(x－h)2＋k.

【例2】一个二次函数的图象经过(0，－2)，(－1，－1)，(1,1)三点，求这个二次函数的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标→设一般式求其解析式

【解答】设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.

根据题意，得解得

∴抛物线的解析式为y＝2x2＋x－2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y＝ax2＋bx＋c，从而列三元一次方程组来求解．

【例3】抛物线经过点(－1,0)，(5,0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．

【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一点的坐标→一般设交点式求其解析式

【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝，

则该抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－5)，

即y＝x2－2x－.

【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1,0)，(x2,0)时，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．二次函数图象的顶点坐标是(3,5)，且抛物线经过点A(1,3)．求此抛物线的解析式．

解：y＝－(x－3)2＋5.

2．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)，B(1,0)，C(m,2m＋3)，D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．

解：抛物线的解析式为y＝2x2＋x－3.把C(m,2m＋3)代入，得2m2＋m－3＝2m＋3，解得m1＝－，m2＝2，∴点C的坐标为或(2,7)．

3．已知二次函数的图象经过点(0,3)、(－3,0)、(2，－5)．

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)请你判断点P(－2,3)是否在这个二次函数的图象上？

解：(1)此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.

(2)当x＝－2时，y＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3，∴点P(－2,3)在此二次函数的图象上．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例4】如图，二次函数的图象的顶点坐标为，现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为(2,1)．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．

【互动探索】已知顶点坐标→设顶点式求二次函数解析式→作辅助线(如图)求出B点坐标→验证点B是否在(1)中的抛物线上．

【解答】(1)设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋.

∵图象过A(2,1)，

∴a＋＝1，即a＝，

∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2＋.

(2)点B在这个函数图象上．

理由如下：如图，过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为点C、D.

在△AOC与△OBD中，∠AOC＝∠OBD＝90°－∠BOD，∠ACO＝∠ODB＝90°，OA＝OB，

∴△AOC≌△OBD，

∴DO＝AC＝1，BD＝OC＝2，∴B(－1,2)．

当x＝－1时，y＝×(－1－1)2＋＝2，

∴点B在这个函数图象上．

【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个点是否在函数图象上，只需要将点的坐标代入函数解析式，看点的坐标是否满足解析式．若满足，则点在函数图象上；若不满足，则点不在函数图象上．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点横坐标，x1≠x2)：

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；

(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．