24.2.3圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系 课件＋教案＋学案

导入新课

课件展示：

师：圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?

生：圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.

学生思考问题

引发学生思考，激发学生的学习兴趣

讲授新课

师：

1.如图，在两张透明纸上，分别作半径相等的圆O和圆O’，把两张纸叠在一起，使圆O与圆O’重合，用图钉钉住圆心，将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？

生：两个圆能够重合

师：如图，顶点在圆心的角(∠AOB，∠A’OB’)叫做圆心角。当∠AOB=∠A’OB’时，根据上述圆的性质，你能猜测出，两个圆心角所对的与、弦AB与弦A’B’，弦心距OM与弦心距OM’之间有怎样的关系？

生：

生：AB=A’B’

生：OM=OM’

师：如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠ A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

生：根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与点A′重合，点B与点B′重合．因此，弧AB与弧A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合． 弦心距OM与OM’也重合，弧AB=弧A′B′， AB=A’B’，OM=OM

师：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.

师：思考

  在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得什么结论？

在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？

生：同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。

师：等对等定理整体理解：

师： 把圆心角等分成360份,则每一份的圆心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.则每一份这样的弧叫做1º的弧.

生：这样,1º的圆心角对着1º的弧,

         1º的弧对着1º的圆心角.

         n º的圆心角对着nº的弧,

         n º的弧对着nº的圆心角.

师：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.

课件展示：

例4 如图1，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上。　　　　

求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°。

课件展示：

例5  已知：如图，点O是∠A平分线上的一   点，⊙O分别交∠A两边于点C、D、E、F。

 求证：CD=EF

例6、如图，AB、CD为圆O的两条直径，CE为圆O的弦，且CE//AB，为40°，求∠BOD的度数.

学生在纸上画圆，然后折叠，然后交流发现的问题.

学生猜测出两个圆心角所对的与、弦AB与弦A’B’，弦心距OM与弦心距OM’之间的关系

.

学生在老师的指导下，验证刚才的猜测，并总结定理和推论

师生共同分析圆心角所对的弧的度数

师生共同归纳性质

学生动手练习，教师及时展示学生练习结果，并及时给予点评.

通过观察，使学生形象、直观地理解圆的中心对称性.

学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。

培养学生独立思考，自己解决问题的能力

培养学生观察能力和探究问题的能力、动手能力，以及与他人合作交流的能力，充分体现了教师为主导，学生为主体的教学思想，同时也突出了重点，突破难点.

通过例题讲解，让学生加深对新知识的理解，培养学生分析问题和解决问题的能力.

课堂练习

1．如果两个圆心角相等，那么       （       ）

A．这两个圆心角所对的弦相等

B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D．以上说法都不对

答案：D

2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于    　.  答案:60 °

3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则与的关系是（       ）

A.= B.>  C.<  D.不能确定

答案：A

4. 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．

（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．

（2）如果弧AB=弧CD，那么____________，______________．

（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________．

  (4)如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE     OF

 答案： (1)弧AB=弧CD， ∠AOB=∠COD

(2) AB=CD，∠AOB=∠COD

(3)弧AB=弧CD, AB=CD

(4)=

5. 如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE， ∠COD=35°，求∠AOE的度数．

答案：

解：∵弧BC=弧CD=弧DE，

 ∴ ∠ BOC= ∠COD= ∠ DOE=35°.

∴ ∠ AOE= 180°-3×35°=75°

拓展提升

如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？=2 也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？

答案：

解： =2 成立，CD=2AB不成立.不是，取的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以==. =2 ，弦AB=CE=DE,在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.

中考链接

1.【哈尔滨中考】半径为6的圆中，圆心角 的余弦值为 ，则角所对的弦长等于 (       )

  A、4      B、10       C、8       D、6

答案：D

2.【广安中考】如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于      度

答案：40

学生自主解答，教师讲解答案。

学生自主解答，教师讲解答案。

练中考题型

通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。

分层练习，可以照顾全体学生，让学有余力的学生有更大的进步.

让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.

课堂小结

学生归纳本节所学知识

回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。

板书

圆心角

顶点在圆心的角

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等

推论：

同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中如果有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。