专题13 胖瘦模型（解析版）

专题13 胖瘦模型

模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。

模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。

      根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。

结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ.

证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      ∵CQ=BP  ∴CQ+PQ=BP+PQ 则BQ=PC

      在∆ABQ和∆ACP中

     AB=AC

∠B=∠C   ∴∆ABQ≌∆ACP（SAS） ，∴AP=AQ

BQ=PC

文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APQ（等腰三角形）得到新∆ABQ（变胖了），通过证明∆ABQ≌∆ACP（SAS）

结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ.

证明：∵∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      在∆ABP和∆ACQ中

     AB=AC

∠B=∠C   ∴∆ABP≌∆ACQ（SAS） ，∴AP=AQ

CQ=BP

文字简述：∆APC（胖子）减去∆APQ（等腰三角形）得到新∆ACQ（变瘦了），通过证明∆ABP≌∆ACQ（SAS）

结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM

证明：∵ ∆ABC为等腰三角形 ∴AB=AC ∠B=∠C

      ∵ AM⊥BC，∴BM=MC

      在∆ABM和∆ACM中

      AB=AC

AM=AM   ∴∆ABM≌∆ACM（SSS） ∴AP=AQ

BM=MC

文字简述：∆ABP（瘦子）加上∆APM（直角三角形）得到新∆ABM（变胖了），∆APC（胖子）减去∆APM（直角三角形）得到新∆ACM（变瘦了），通过证明∆ABM≌∆ACM（SSS）

方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。

【提高测试】

1．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】A

【分析】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．

【详解】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．

∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，

∴PK＝PD，

在Rt△BPK和Rt△BPD中，

，

∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），

∴BK＝BD，

∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°，

∴∠KPD＝∠APC，

∴∠APK＝∠CPD，故①正确，

在△PAK和△PCD中，

，

∴△PAK≌△PCD（ASA），

∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，

∴BK﹣AB＝BC﹣BD，

∴BD﹣AB＝BC﹣BD，

∴AB+BC＝2BD，故③正确，

∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），

∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，

∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．

故选A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．（2022秋·山东日照·八年级期中）如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．

【答案】A

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决．

【详解】解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F，

则∠QFC=90°，

∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E，

∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°，

∴∠PEA=∠QFC，

∵∠ACB=∠QCF，

∴∠A=∠QCF，

在△PEA和△QFC中，

，

∴△PEA≌△QFC（AAS），

∴AE=CF，PE=QF，

∵AC=AE+EC=4cm，

∴EF=CF+EC=4cm，

∵∠PED=90°，∠QFD=90°，

∴∠PED=∠QFD，

在△PED和△QFD中，

，

∴△PED≌△QFD（AAS），

∴DE=FD，

∵DE+FD=EF=4cm，

∴DE=2cm，

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答．

3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期中）如图，过边长为8的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，连接交边于，当时，的长为_____________．

【答案】4

【分析】过作交于，得出是等边三角形推出，利用等腰三角形的三线合一性质得出，证明得出，进而推出即可求解．

【详解】解：如图，过作交于，

则，，即，

∵是边长为8等边三角形，

∴，，

∴，则是等边三角形，

∴，又，，

∴，，

在和中，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

故答案为：4．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，题型较好，难度适中，综合利用相关知识进行推导求解是解答的关键．

4．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．

【答案】见解析.

【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．

【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∴CE＝CF，

∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，

∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），

∴∠ACF＝∠ECB，

∴∠ACB＝∠ECF，

∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∴∠ACB+∠AOB＝180°，

∴∠OAC+∠OBC＝180°．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

5．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD．

【答案】见解析

【详解】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．

试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．

点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．

6．（2022·湖南怀化·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；

(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．

【答案】(1)见详解；

(2)0.5a．

【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；

（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．

【详解】（1）如下图所示，过点M作MQCN，

∵为等边三角形，MQCN，

∴，

则AM=AQ，且∠A=60°，

∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，

又∵MQCN，

∴∠QMP=∠CNP，

在，

∴，  

则MP=NP；

（2）∵为等边三角形，且MH⊥AC，

∴AH=HQ，  

又由（1）得，，

则PQ=PC，

∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．

7．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．

【答案】见解析

【分析】方法一，在BC上截取BE，使，连接DE，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，再根据全等三角形的性质可得，，由AD=CD等量代换可得，继而可得，由于，可证；

方法2，延长BA到点E，使，由角平分线的定义可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，．由，可得，继而求得，由，继而可得；

方法3， 作于点E，交BA的延长线于点F，由角平分线的定义可得，由，，可得，根据全等三角形的判定可证和全等，继而可得，再根据HL定理可得可证．

【详解】解：方法1 截长如图，在BC上截取BE，使，

连接DE，

因为BD是的平分线，

所以．

在和中，

因为

所以，

所以，．

因为，

所以，

所以．

因为，

所以．

方法2  补短

如图，延长BA到点E，使．

因为BD是的平分线，

所以

在和中，

因为，

所以，

所以，．

因为，

所以，

所以．

因为，

所以．

方法3  构造直角三角形全等

作于点E．交BA的延长线于点F

因为BD是的平分线，

所以．

因为，，

所以，

在和中，

因为，

所以，

所以．

在和中，

因为，

所以，

所以．

因为，

所以．

8．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）已知矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处．

(1)如图 ，已知折痕与边交于点，连接，，．若与 的面积比为 ，求边的长．

(2)如图 ，在（）的条件下，擦去折痕 、线段 ，连接 ．动点 在线段上（点与点，A不重合），动点在线段的延长线上，且 ，连接 交 于点 ，作 于点 ．试问当点 ， 在移动过程中，线段 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律；若不变，求出线段的长度．

【答案】(1)边的长为

(2)线段的长度不变，长度为

【分析】（1）先证明，由 与 的面积比为 ，得到，则，，设 ，则 ，在 中， 由勾股定理得，即可得到答案；

（2）作，交 于点，先证明，得到，，进一步得到，由勾股定理得到的长度，得到结论即可．

【详解】（1）解：∵四边形是矩形，

∴，，．

由折叠可得：，．

∴．

∴．

，

，

与 的面积比为 ，

 ，

，，

设 ，则 ，

在 中，，

由勾股定理得 ，

解得：，

即，

，

边 的长为 ．

（2）作 ，交 于点 ，如图 ．

 ，，

 ．

 ．

 ，

 ．

 ，，

 ．

 ，

 ．

在 和 中，

 ．

 ．

 ．

 ．

由（）中的结论可得：，，．

 ．  

 ．

  在（）的条件下，当点 ， 在移动过程中，线段 的长度不变，长度为 ．

【点睛】此题考查了相似三角形综合题、矩形的性质，全等三角形的判定与性质、翻折的性质，勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，

9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在中，为的平分线，如图，若，求线段的长度．

【答案】4.8

【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，证明△ACD≌△AED（SAS），得出∠C=∠AED，证出∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得出答案；

【详解】解：在AB上截取AE=AC，连接DE，如图1所示：

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠DAE=∠DAC，

在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED（SAS），

∴∠C=∠AED，

∵∠C=2∠B，

∴∠AED=2∠B，

∵

∴

∴，

∴BE=DE，

∵

∴

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．

10．（2021·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：

（1）AB＝BE；

（2）∠CAE＝∠ABC；

（3）AD＝CE；

（4）CD＋CE＝AB．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解

【分析】（1）BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF为公共边，可证得△ABF≌△EBF，可证得结论；

（2）∠BAC＝90°可得∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，所以∠CAE＝∠ABC；

（3）连接DE，则可证得△ABD≌△EBD，所以AD＝DE，且∠DEC＝90°，AB＝AC，所以∠C＝45°，所以CE＝DE，所以可得AD＝CE；

（4）由（3）可得AD＝CE，所以CD＋AD＝CD＋CE＝AC＝AB．

【详解】证明：（1）∵BD平分∠ABC，AE⊥BD，

∴∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EFB＝90°，

在△ABF和△EBF中，

，

∴△ABF≌△EBF（ASA），

∴AB＝BE；

（2）∵∠BAC＝90°，

∴∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°，

∴∠CAE＝∠ABF＝ ∠ABC；

（3）连接DE，

在△ABD和△EBD中

∵，

∴△ABD≌△EBD（SAS），

∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠C＝45°，

∴CE＝DE，

∴AD＝CE；

（4）由（3）可得AD＝CE，

∴CD＋CE =CD＋AD＝AC＝AB．

【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，注意观察所求线段或角之间的关系，找到所在的两个三角形，证明全等即可解决．