专题13 一次函数（解析版）

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专题13 一次函数
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 变量与函数
变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1）变量可变，而常量不变。
2）常量和变量的区分：在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
【函数概念的解读】1）有两个变量。
2）一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3）对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法： 1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
5）实际问题中函数定义域要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

优点
缺点
解析法
准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系
求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法
自变量和与它对应的函数值数据一目了然

所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法
形象的把自变量和函数值的关系表示出来
图像中只能得到近似的数量关系
知识点二 一次函数的图形与性质
正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。
【扩展】正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）。
一次函数定义：如果y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数，k叫比例系数。当b=0时，一次函数y=kx+b变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。
【扩展】1）一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（-，0）。
2）直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s= 。
画一次函数图象：
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点；
2）当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，一般取（0,0）、（1，k）两点。
【正比例函数与一次函数的性质（重难点、考点）】
一、图像特征
　
b>0
b0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限



图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k0，b>0时，图象经过一、二、三象限，y随x的增大而增大；
（2）k>0，b0，即a0，b1⋅b20即可）
【提示】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得b>0，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数y=x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b>0
故答案为：1答案不唯一，满足b>0即可）
【名师点拨】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
题型3-9．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出一个函数的表达式，使其图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交：________．
【答案】y=x+5
【提示】结合题意，根据一次函数图像的性质提示，即可得到答案．
【详解】函数y=x+5的图像如下，函数分别于x轴相交于点B、和y轴相交于点A，

当x=0时，y=5，即A0,5
当y=0时，x=−5，即B−5,0
∴函数图像分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交
故答案为：y=x+5．
【名师点拨】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解．
题型3-10．（2022·湖南永州·中考真题）已知一次函数y=x+1的图象经过点m,2，则m=______．
【答案】1
【提示】把点（m，2）代入一次函数y=x+1，列出关于m的一元一次方程，解之即可得m的值．
【详解】解：∵一次函数y=x+1的图象经过点（m，2）
∴把点（m，2）代入一次函数，得
m+1=2
解得：m=1
故答案为：1．
【名师点拨】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．根据一次函数图像上点的特征得出关于m的一元一次方程是解题的关键．
考查题型四 一次函数的性质
题型4．（2022·贵州遵义·中考真题）若一次函数y=k+3x−1的函数值y随x的增大而减小，则k值可能是（    ）
A．2 B．32 C．−12 D．−4
【答案】D
【提示】根据一次函数的性质可得k+312x+1，即x>2−2n，
又由x>0，得2−2n≤0，
解得n≥1，
∴n的取值范围为n≥1．
【名师点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键．
题型5-4．（2022·浙江绍兴·中考真题）一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）．
x
0
0.5
1
1.5
2
y
1
1.5
2
2.5
3
为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择：y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c （a≠0），y=kx（k≠0）．
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图像．

(2)当水位高度达到5米时，求进水用时x．
【答案】(1)y＝x＋1（0≤x≤5），图见解析
(2)4小时
【提示】（1）观察表格数据，y的增长量是固定的，故符合一次函数模型，建立模型待定系数法求解析式，画出函数图像即可求解；
（2）根据y=5，代入解析式求得x的值即可求解．
（1）选择y＝kx＋b，将（0，1），（1，2）代入，
得b=1， k+b=2， 解得k=1， b=1.
∴y＝x＋1（0≤x≤5）．

（2）当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4．
答：当水位高度达到5米时，进水用时x为4小时．
【名师点拨】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，求一次函数的解析式，根据题意建立模型是解题的关键．
题型5-5．（2022·陕西·中考真题）如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．

输人x
…
−6
−4
−2
0
2
…
输出y
…
−6
−2
2
6
16
…
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；
(2)求k，b的值；
(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．
【答案】(1)8
(2)k=2b=6
(3)−3
【提示】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；
对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；
对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．
（1）
当x=1时，y=8×1=8；
故答案为：8；
（2）
将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b，得−2k+b=2b=6，
解得k=2b=6；
（3）
令y=0，
由y=8x，得0=8x，∴x=03，
故选A．
【名师点拨】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
题型6-2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，直线y=x+b和y=kx+4与x轴分别相交于点A(−4,0)，点B(2,0)，则x+b>0kx+4>0解集为（    ）

A．−40解集为−40时，即-2x+2>0，
解得：x