专题14 二次函数（解析版）

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专题14 二次函数
【热考题型】

【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
2）a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；

基本形式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h

顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)

a>0 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a0
x0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。
a0，取得最小值；a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
②当a0的前提下，当b>0时，−b2a0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，−b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【名师点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线y=(x−2)2+1，下列结论错误的是（    ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x32 C．m”或“y2，则x1y2，则x1>x2，进而可求解．
（1）解：当x=3时，m=23−32+6=6，∴m=6．
（2）平移后的图象如图所示：

由题意得：−12x2+5=12x2，解得x=±5，
当x=5时，y=0，则交点坐标为：(5,52)，
当x=−5时，y=0，则交点坐标为：(−5,52)，
综上所述：y=−12x2+5与y=12x的交点坐标分别为(5,52)和(−5,52)．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴x=3，a=2>0，
∴当xy2，则x1y2，则x1>x2，
综上所述：点Px1,y1,Qx2,y2在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1>y2，则x1x2，故答案为：．
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质
题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数y=3(x+1)(2−x)的图像和性质的叙述中，正确的是（    ）
A．点(0,2)在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x=1 D．与直线y=3x有两个交点
【答案】D
【提示】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x=−b2a=12∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；故选：D．
【名师点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（    ）
A．x1 C．x2
【答案】B
【提示】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵y=2x2−4x+5=2x−12+3
∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．
【名师点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是（   ）

A．a0
C．当x−2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【提示】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【名师点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（    ）
A．b>0 B．c0 D．3a+c=0
【答案】D
【提示】图象开口向下，得a0或m0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；
②当m0,b2−4ac>0与y轴的交点坐标为（0，3），
y=ax2+bx+ca>0可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，∴c＝-3，故②错误；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0中a＞0，−b2a=1，∴b＜0，又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax+1x−3，代入（0，3）得：3=−3a，
解得：a＝－1，∴y=−x+1x−3=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；故选：D．
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
题型7-4．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】1，−3
【提示】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为y=−x−12+2，
再向下平移5个单位，y=−x−12+2−5即y=−x−12−3．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【名师点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
题型7-5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−3(2)m的值为4(3)n>3
【提示】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4即可解得抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；（2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为(1,4−m)，代入y=x2+2x−3可解得m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得抛物线L3为y=(x−n+1)2−4，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线L3上，当y1＞y2时，可得(2−n)2−4>(4−n)2−4，即可解得n的取值范围是n>3．
（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4得：a(1+1)2−4=0，解得a=1，
∴y=(x+1)2−4=x2+2x−3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；
（2）解：抛物线L1:y=(x+1)2−4的顶点为(−1,−4)，
将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为(−1,−4+m)，而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，把(1,4−m)代入y=x2+2x−3得：
12+2×1−3=4−m，解得m=4，答：m的值为4；
（3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=(x−n+1)2−4，
∵点B(1,y1)，C(3,y2)都在抛物线L3上，∴y1=(1−n+1)2−4=(2−n)2−4，
y2=(3−n+1)2−4=(4−n)2−4，∵y1＞y2，∴(2−n)2−4>(4−n)2−4，
整理变形得：(2−n)2−(4−n)2>0，
(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0
−2×(6−2n)>0，6−2n3，∴n的取值范围是n>3．
【名师点拨】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
知识点五 二次函数与方程、不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系：
1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；
③当△0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
2）ax2+bx+c3
【提示】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．
【名师点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
题型8-4．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．

【答案】−40时，有4ac−b20，∴顶点纵坐标4ac−b24a0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a0时①②的提示过程，写出③中当a>0,△0时，抛物线开口向上．当△=b2−4ac0﹒
∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a>0﹒∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：

∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【名师点拨】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
考查题型九 二次函数与不等式
题型9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−2,0,B6,0，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2