专题15 反比例函数（解析版）

这是一份专题15 反比例函数（解析版），共49页。

专题14 反比例函数
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 反比例函数的基础
反比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠o）的函数称为反比例函数。
【注意】1）反比例函数y=kx的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。
2）变式xy=k（定值）、、 （k≠0）
考查题型一 反比例函数的定义
题型1．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（    ）

A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【提示】根据图象中的数据回答即可．
【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意；
B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)，
∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，
∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；
C．∵图象经过点 (4，60)，
∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意；
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】本题考查了函数的图象，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
题型1-1．（2022·海南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），故选：C．
【名师点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
题型1-2．（2022·湖北宜昌·中考真题）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（    ）

5
…

…
…
…

…
1

20
30
40
50
60
70
80
90
100
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断
【详解】∵电流与电路的电阻是反比例函数关系由表格：；
∴在第一象限内，I随R的增大而减小∵∴故选：A
【名师点拨】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减
题型1-3（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为___________．
【答案】
【提示】把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可．
【详解】解：把点代入得：．故答案为：．
【名师点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．
反比例函数解析式的特征:
1）等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.
2）比例系数k≠0
3）自变量x的取值为一切非零实数，函数y的取值是一切非零实数。
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：
1）设反比例函数的解析式为y=kx（k为常数，k≠0）；
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出k值，并将将k值代入所设解析式中。

知识点二 反比例函数的图象和性质（基础）
反比例函数图象的画法的画法（描点法）：
1）列表（自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，尽量多取一些数值）。
2）描点（由小到大的顺序依次连线）
3）连线（用光滑的曲线连接，不能用折线）
反比例函数的性质：

反比例函数图象的特征：
1）反比例函数的图像是双曲线，双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
【易错】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。
2）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形。
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上．
②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上。
3）k的取值与函数图象弧度之间的关系： ①|k|越大，图象的弯曲度越小，离原点越远。
②|k|越小，图象的弯曲度越大，离原点越近。
考查题型二 反比例函数的图象
题型2．（2022·贵州黔西·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（    ）

A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【提示】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合一次函数的图象和性质即可作答．
【详解】由图可知，反比例函数位于二、四象限，∴k<0，∴y=kx+2经过一、二、四象限．故选：B．
【名师点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
题型2-1．（2022·河北·中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ）
A．B．C． D．
【答案】C
【提示】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
【详解】解：依题意，，，且为整数．
故选C．
【名师点拨】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
题型2-2．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（    ）

A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【提示】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．
【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，
，
由图像可知，当时，x的取值范围是或，
故选：A．
【名师点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键．
题型2-3．（2022·贵州安顺·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=（c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据二次函数（a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可．
【详解】解：因为二次函数的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出c＜0，利用对称轴＞0，得出b＜0，所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数经过二、四象限．故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键．
考查题型三 反比例函数的性质
题型3．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（    ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】A
【提示】根据反比函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵6＞0，∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限．故选：A
【名师点拨】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
题型3-1 （2022·江苏泰州·中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   )
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1 B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意；
C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2 D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意；故选：D．
【名师点拨】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．
题型3-2（2022·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【提示】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【名师点拨】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
题型3-3（2022·西藏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．
【名师点拨】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
题型3-4．（2022·四川成都·中考真题）关于x的反比例函数的图像位于第二、四象限，则m的取值范围是________．
【答案】
【提示】根据反比例函数的性质即可确定m-2的符号，从而求解．
【详解】根据题意得：m-2＜0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．
【名师点拨】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
题型3-5．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【答案】
【提示】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，∴这两个点在同一象限，∴，解得：，故答案为：．
【名师点拨】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
题型3-6．（2022·青海·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为，，，压强的计算公式为，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则，，的大小关系为______（用小于号连接）.

【答案】
【提示】先根据这块砖的重量不变可得压力的大小不变，且，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得．
【详解】解：这块砖的重量不变，
不管三个面中的哪面向下在地上，压力的大小都不变，且，
随的增大而减小，
三个面的面积之比是，，故答案为：．
【名师点拨】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．
题型3-7．（2022·江苏镇江·中考真题）反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值_________（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【提示】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过、两点，当时，，∴此反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，∴k可为小于0的任意实数．例如，k＝﹣1等．故答案为：﹣1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【名师点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
题型3-8．（2022·浙江温州·中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．

(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当，且时自变量x的取值范围．
【答案】(1)，见解析(2)或
【提示】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象（2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围．
【详解】（1）解：（1）把点代入表达式，
得，∴，∴反比例函数的表达式是．
反比例函数图象的另一支如图所示．

（2）当时，，解得．
由图象可知，当，且时，
自变量x的取值范围是或．
【名师点拨】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
知识点三 k值的意义（难点）
1）设点P（a，b）是双曲线上y=kx任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k2）．

2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．

考查题型四 已知比系数求特殊图形面积
题型4．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（    ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【提示】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，∵A为反比例函数y=图象上一点，∴xy=1，∴S△ABO=AB•OB=xy=×1=，故选：B．
【名师点拨】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直观．
题型4-1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（    ）

A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【提示】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，

∵，
∴
∵
∴
故选：B．
【名师点拨】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键．
题型4-2．（2021·西藏·中考真题）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（    ）

A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【答案】A
【提示】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，

∵＝，∴＝，
∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________．

【答案】4
【提示】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．
【详解】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4,∴S△ABD =4,答案为：4.
【名师点拨】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
题型4-4．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）

【答案】a
【提示】设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【详解】解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C1上的任意一点，∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）
＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）＝mn﹣bmn+ba．故答案为：a．
【名师点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．
考查题型五 根据图形面积求比例系数
题型5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【提示】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．
【名师点拨】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
题型5-1．（2022·山东日照·中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（    ）

A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【提示】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，∴k1-k2=-3，故选：B．
【名师点拨】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
题型5-2．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为(   )

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【提示】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点E为OC的中点，∴，
∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，∴△OEB∽△OCD，∴，∴S△OCD＝1，则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．故选：B．
【名师点拨】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
题型5-3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（    ）

A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【提示】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，AB∥OD，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．

【名师点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
题型5-4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点（0，4），（3，4），将向右平移到位置，的对应点是，的对应点是，函数的图像经过点和的中点，则的值是______．

【答案】6
【提示】作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，设AC=EO=BD=a，表示出四边形ACEO的面积，再根据三角形中位线的性质得出FG，EG，即可表示出四边形HFGO的面积，然后根据k的几何意义得出方程，求出a，可得答案．
【详解】过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，根据题意，得AC=EO=BD，

设AC=EO=BD=a，∴四边形ACEO的面积是4a．
∵F是DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，∴FG是△EDQ的中位线，
∴，，∴四边形HFGO的面积为，
∴，解得，∴k=6．故答案为：6．
【名师点拨】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
题型5-5．（2022·四川乐山·中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=，则k=______．

【答案】3
【提示】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=，以及S△ADE=S△ADO=，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OD、DE，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE=，∵AD⊥x轴，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO=，
设点D(x，y) ，∴S△ADO=OA×AD=xy=，∴k=xy=3．故答案为：3．
【名师点拨】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键．
题型5-6．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E和点A，点B、C在x轴上，的面积为6，则______________．

【答案】8
【提示】如图作EF⊥BC，由矩形的性质可知，设E点坐标为（a，b），则A点坐标为（c，2b），根据点A，E在反比例函数上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OEC的面积可列出等式，进而求出k的值．
【详解】解：如图作EF⊥BC，则，

设E点坐标为（a，b），则A点的纵坐标为2b，则可设A点坐标为坐标为（c，2b），
∵点A，E在反比例函数上，∴ab=k=2bc，解得：a=2c，故BF=FC=2c-c=c，
∴OC=3c，故，解得：bc=4，∴k=2bc=8，故答案为：8．
【名师点拨】本题考查矩形的性质，反比例函数的图形，反比例函数系数k的几何意义，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
题型5-7．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则______．

【答案】6
【提示】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：

∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），∵平行四边形ABCD的面积为6，∴，
∴；故答案为6．
【名师点拨】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义是解题的关键．
题型5-8．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．

【答案】32
【提示】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为∴
∵，点C与原点O重合，∴
∵与y轴平行，∴A点坐标为
∵A在上∴，解得故答案为：．
【名师点拨】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
题型5-9．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．点，点的纵坐标为－2．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)，(2)
【提示】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
（1）
将代入，解得，
∴反比例函数表达式为．
当时，代入，解得，即．
将、代入，
得，解得．
∴一次函数表达式为．
（2）
设一次函数的图像与轴交点为，

将代入，得，即．
∵，，，
∴．
【名师点拨】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
3）直线与双曲线的关系：
①当（异号不相交）时，两图象没有交点；
②当（同号有交点）时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。

考查题型六 求反比例函数解析式
题型6（2022·江苏常州·中考真题）某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据：平均每人拥有绿地，列式求解．
【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地．故选：C
【名师点拨】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．
题型6-1．（2022·陕西·中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=
【提示】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数的图象上，∴m=×2，解得：m=1，∴A(−2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=，∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，∴k=-2×1=-2，∴这个反比例函数的表达式为y=，故答案为：y=．
【名师点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
题型6-2．（2022·山东威海·中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．

【答案】24
【提示】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，

∵点B（0，4），A（2，0），∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠CBA=90°，AB=BC，∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，∴∆ABO≅∆BCE，∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，∴C（4，6），将点C代入反比例函数解析式可得：k=24，
故答案为：24．
【名师点拨】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
题型6-3．（2022·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是______．
【答案】
【提示】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可．
【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则，
∵点恰好在反比例函数的图像上，∴，故答案为：．
【名师点拨】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型6-4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．

(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【提示】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
（1）解：根据题意可得，
在中，，，，
，，，，
的中点是B，，；
（2）解：当时，，，，
．
【名师点拨】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
题型6-5．（2022·甘肃武威·中考真题）如图，B，C是反比例函数y=（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y=x-1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．

(1)求此反比例函数的表达式；
(2)求△BCE的面积．
【答案】(1)(2)1
【提示】（1）根据直线y=x-1求出点A坐标，进而确定OA，AD的值，再确定点C的坐标，代入反比例函数的关系式即可；
（2）求出点E坐标，进而求出EC，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：当y=0时，即x-1=0，∴x=1，
即直线y=x-1与x轴交于点A的坐标为（1，0），∴OA=1=AD，又∵CD=3，
∴点C的坐标为（2，3），而点C（2，3）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×3=6，∴反比例函数的图象为y=；
（2）解：方程组的正数解为，∴点B的坐标为（3，2），
当x=2时，y=2-1=1，∴点E的坐标为（2，1），即DE=1，∴EC=3-1=2，
∴S△BCE=×2×（3-2）=1，答：△BCE的面积为1．
【名师点拨】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
题型6-6．（2022·广西柳州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图像与反比例函数y=（k2≠0）的图像相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．
【答案】(1)y＝x+1；(2)△AOD的面积为10
【提示】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出值，从而得到反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析式求出一次函数解析式；
(2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
（1）
∵反比例函数图像与一次函数图像相交于点A（3，4），B（﹣4，m），，
解得k2＝12，∴反比例函数解析式为，，解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），，解得，∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）∵A（3，4），，∴OA＝OD，∴OD＝5，
△的面积×5×4=10．
【名师点拨】本题是反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
考查题型七 反比例函数与一次函数
题型7 ．（2022·重庆·中考真题）反比例函数的图象如图所示，一次函数（）的图象与的图象交于，两点，

(1)求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)一次函数的图象与x轴交于点C，连接，求的面积．
【答案】(1)一次函数的表达式为；函数图象见解析；(2)或(3)2
【提示】（1）把，分别代入求出m，n的值，再运用待系数法求出a，b的值即可；
（2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答；
（3）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵一次函数（）的图象与的图象交于，两点，∴把，分别代入，得，，
解得，，∴，，
把，代入，得：，解得，
∴一次函数的表达式为；
画出函数图象如下图：

（2）∵直线与反比例函数交于点A（1，4），B（-2，-2）
∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或；
（3）如图，

对于，当时，，解得，，∴点C的坐标为（-1，0）
∵A（1，4）∴
【名师点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．
题型7-1．（2022·四川资阳·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．

(1)求一次函数的表达式；
(2)结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
(3)将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
【答案】(1)一次函数的表达式为(2)(3)
【提示】（1）将、两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数，进而得到反比例函数的解析式．
（1）解：由题意得：，，∴，∴，
由题意得，解得：，∴一次函数的表达式为：；
（2）解：由图像可知，当时，
一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
（3）解：一次函数的图像平移后为，函数图像经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，反比例函数的解析式为 ．
【名师点拨】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
题型7-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、两点，与双曲线交于点、两点，．

(1)求，的值；
(2)求点坐标并直接写出不等式的解集；
(3)连接并延长交双曲线于点，连接、，求的面积．
【答案】(1)，(2)，或(3)
【提示】（1）根据点在直线上，把点代入，求出的值；过作轴于点，得，根据，可求出点的坐标，可得点的坐标，代入反比例函数，即可求出的值；
（2）根据交点坐标的性质，可求出点的坐标，根据，得，根据函数图象，即可得到解集；
（3）根据同底同高，得，，即可．
（1）∵点在直线上，∴解得
过作轴于点∴
∵∴∴∴
∴在中，令，得∴∴∴．

（2）∵点是和交点∴解得，
∵点在第三象限∴∴由图象得，当或时，
不等式的解集为或．
（3）∵和同底同高∴
∵∴．
【名师点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换．
考查题型八 利用反比例函数解决实际问题
题型8．（2022·江苏扬州·中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【提示】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．
【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示：

由图可知，
、乙、、丁在反比例函数图像上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，
故选：C．
【名师点拨】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
题型8-1．（2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．

【答案】400
【提示】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），∴，
∴反比例函数的解析式为，当S=0.25时，．故答案为：400
【名师点拨】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
题型8-2．（2022·浙江台州·中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．

(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】(1)(2)
【提示】（1）运用待定系数法求解即可；（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
【详解】（1）由题意设，把，代入，得∴关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．∴小孔到蜡烛的距离为．
【名师点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
题型8-3．（2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)(2)当16≤≤25时，400≤S≤625
【提示】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案．
(1)解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2，∴=500米2×20米=10000米3；
(2)由（1）得：，则（），S随着的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；∴当16≤≤25时，400≤S≤625．
【名师点拨】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
题型8-4．（2022·山东枣庄·中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……


(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；(2)y＝（x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【提示】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【名师点拨】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
题型8-5．（2022·辽宁大连·中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．

(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【答案】(1)(2)
【提示】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围．
(1)解：∵密度与体积V是反比例函数关系，∴设，
∵当时，，∴，∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
(2)解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，当时，，
∴当时，即二氧化碳密度的变化范围是．
【名师点拨】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
题型8-6．（2022·山东临沂·中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点，并用细麻绳固定，在支点左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．写出y关于x的函数解析式；若，求的取值范围．

(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为，的长为，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．

……
0.25
0.5
1
2
4
……

……





……


【答案】(1)；(2)，表、图见解析
【提示】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；
（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．
（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，∴2x=0.5y，
∴；∵4>0，∴y随x的增大而增大，∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，
∴．
（2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为，的长为，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5=xy，∴；
当x=0.25时，；当x=0.5时，；当x=1时，；
当x=2时，；当x=4时，；
填表如下：

……
0.25
0.5
1
2
4
……

……
4
2
1


……
画图如下：

【名师点拨】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
考查题型九 反比例函数与几何问题
题型9．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【提示】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，
∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．

【名师点拨】此题考查的是反比例函数与几何综合，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
题型9-1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为3，则（    ）

A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【提示】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，），C（3-t，+t），由点C在反比例函数y=的图象上，推出t=3-，进而求出点B的坐标（3，6-），再点C在反比例函数y=的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，

设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．∴点D的坐标为（3，），∴点C的坐标为（3-t，+t）．
∵点C在反比例函数y=的图象上，∴（3-t）（+t）=k2，化简得：t=3-，
∴点B的纵坐标为+2t=+2（3-）=6-，∴点B的坐标为（3，6-），
∴3×（6-）=，整理，得：+=18．故选：B．
【名师点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出，之间的关系．
题型9-2（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______．

【答案】
【提示】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：

∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题．
题型9-3．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2．

(1)求点A的横坐标；
(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【答案】(1)A（-1，-2）(2)
【提示】（1）将y=-2代入中即可求解；
（2）由题意可得B（2，），则C（-1，），由即可求解；
（1）解：将y=-2代入中，，解得：，∴A（-1，-2）．
（2）由题意可得B（2，），
∵轴，轴，∴C（-1，），
∴．
【名师点拨】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
题型9-4．（2022·四川达州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)或或
【提示】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
（1）解：把代入一次函数，得，解得，，
把代入反比例函数，得，，反比例函数的表达式为；
（2）解：令，解得或，当时，，即，
当时，，，
；
（3）解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即；
当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即；
当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即；
综上，P点坐标为或或．
【名师点拨】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．
题型9-5．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数图象过，两点．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)如图，函数的图象分别与函数图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)
【提示】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，进行计算即可；
【详解】（1）解：把代入，得，解得，，所以反比例函数解析式是；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解和得，和，，和，
，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，当点、、在一条直线上时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，

△ABP的周长= ，
．
【名师点拨】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点位置是解题关键．
题型9-6．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)12
【提示】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可．
（1）将A(2，-4)代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．将B(-4，m)代入，得：，
，将A，B代入，得：，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）
设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．

令，则，∴点D的坐标为(-2，0)，
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，∴CDy轴，
∴
=12．
【名师点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．