专题01 最短路径问题1（解析版）

【模型1】

蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？

【路径演示】

（1）AB=；

（2）AB=；

（3）AB=。

由此可见，ab、bc、ac谁小，则路径就最小。

【结论】

最短路径=

【模型2】

蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点到C点的最短路径？

【路径演示】

由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC=

方法点拨

一、解决方法：

①确定水平方向移动路程②确定竖直方向移动路程

③利用勾股定理求解

二、方法解析：

。

1．如图，一个长方体的长宽高分别是6米、3米、2米，一只蚂蚁沿长方体的表面从点A到点C'所经过的最短路线长为（　　）

A． B． C． D．以上都不对

【解答】解：如图所示，

路径一：AC′＝＝；  路径二：AC′＝＝；

路径三：AC′＝＝；

∵61＜73＜85，

∴为最短路径．

故选：C．

2．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，底面半径为cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最短路程为（　　）cm．

A．6 B．10 C． D．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点M，N的最短距离为线段

MN的长，

∵AM＝9﹣3＝6（cm），AN为底面半圆弧长，AN＝•π＝8（cm），

在Rt△AMN中，

MN＝＝＝10（cm）．

故选：B．

3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（　　）

A．18 B．15 C．12 D．8

【解答】解：将台阶展开，如图，

因为AC＝3×3+1×3＝12，BC＝9，

所以AB2＝AC2+BC2＝225，

所以AB＝15，

所以蚂蚁爬行的最短线路为15．

故选：B．

1．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm

【解答】解：如图，

（1）AB＝＝＝3；

（2）AB＝＝15，

由于15＜3；

则蚂蚁爬行的最短路程为15cm．

故选：C．

2．如图，有一长方体容器，AB＝3，BC＝2，AA'＝4，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点C爬到点A'的最短爬行距离是（　　）

A． B． C．7 D．

【解答】解：如图1，A′C＝＝＝，

如图2，A′C＝＝＝，

如图3，A′C＝＝＝3，

∵＜3＜，

∴从点C爬到点A'的最短爬行距离是．

故选：B．

3．如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是　2　cm．

【解答】解：①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，

在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）；

②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，

在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG＝＝＝2（cm）；

③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，

在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG＝＝（cm）．

∴蚂蚁爬行的最短路程是2cm，

故答案为：2．

4．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，4cm的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点A处在长方体的表面爬到长方体上和A相对的棱的中点B处，则需要爬行的最短路径长为（　　）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【解答】解：如图，AB＝＝，

∴需要爬行的最短路径长为，

故选：A．

5．如图，长方体的长EF为3cm，宽AE为2cm，高CE为4cm，B是GF的中点，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点D爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是（　　）

A．5cm B．cm C．（2+3）cm D．（2+）cm

【解答】解：将长方体展开，连接DB，

根据题意可得，HB＝2+2＝4，DH＝3，

由勾股定理得：DB＝＝＝5，

则它需要爬行的最短距离是5cm；

故选：A．

6．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（　　）

A． B． C．10 D．

【解答】解：如图1所示，

则AB＝＝2；

如图2所示，

AB＝＝10，

故它运动的最短路程为10，

故选：C．

7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　）

A．20cm B．2cm C．（12+2）cm D．18cm

【解答】解：如图1，

∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，

∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，

∴MN＝＝20；

如图2，

∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，

∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，

∴MN＝＝＝2．

∵20＜2，

∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20．

故选：A．

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8．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．20

【解答】解：如图所示，

在圆柱的截面ABCD中AB＝16，BC＝12，

∴AB＝×16＝8，BS＝BC＝6，

∴AS＝＝10．

故选：A．

9．如图，有一圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需　17　m（油罐底面圆的周长为15m，高AB＝8m）．

【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：

则AC＝底面周长＝15m，BC＝8m，

在Rt△ABC中，AB＝＝17（m），

故答案为：17．

声明：试题解析著作权属所有，101．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（　　）

A．10 B．50 C．120 D．130

【解答】解：如图所示，

∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，

∴AB＝＝50（cm）．

答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50cm，

故选：B．

11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm、10dm和6dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短距离是　73　dm．

【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，

BC＝55，

由勾股定理得：AB＝＝＝73dm，

故答案为：73．

12．如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？

【解答】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×25+3×15＝120，BC＝90，

由勾股定理得：AB＝＝＝150cm，

答：最短路程是150cm．

1．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　cm（杯壁厚度不计）．

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．

故答案为20．