专题02 三角形全等-倍长中线（解析版）

这是一份专题02 三角形全等-倍长中线（解析版），共22页。






















倍长中线模型







模型讲解



【结论】
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，则：AB＝CD．


【证明】
方法一：延长DE至点F，使EF＝DE．
∵E是BC的中点
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，

∴△BEF≌△CED（SAS）．
∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF．
∴AB＝CD．

方法二：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．

方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
∵，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．


方法点拨


例题演练

1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（　　）

A．3＜AD＜13 B．1.5＜AD＜6.5 C．2.5＜AD＜7.5 D．10＜AD＜16
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，
∴1.5＜AD＜6.5，
故选：B．

2．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．
（1）若∠BAN＝15°，求∠N；
（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．



【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC∥BN，
∴∠NBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，
∴在△ABN中，
∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；

（2）∵AC∥BN，
∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，
又∵点G是线段BE的中点，
∴BG＝EG，
∴△NBG≌△AEG（AAS），
∴AG＝NG，AE＝BN，
∵AE＝CF，
∴BN＝CF，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠ABN＝∠ACF，
又∵AB＝AC，
∴△ABN≌△ACF（SAS），
∴AF＝AN，
∵AG＝NG＝AN，
∴AF＝2AG．







3．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
（2）如图1，求证：EF＝2AD．

【解答】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝65°，
∴∠EAB＝50°，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝75°，
∴∠CAF＝30°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，
∴50°+2∠BAC+30°＝180°，
∴∠BAC＝50°．

（2）证明：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，
∵EF＝2AD，
∴AH＝EF，
在△BDH和△CDA中，
，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△ABH和△EAF中，
，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠AEF＝∠ABH，EF＝AH＝2AD，



强化训练

5．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．
（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；
（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．

【解答】解：（1）∵AD＝2BD，S△BDC＝6，
∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，
∵E为CD中点
∴＝6，
∵EH⊥AC
∴AC•EH＝6
∵EH＝2
∴AC＝6
∵AB＝AC
∴AB＝6
（2）如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，
在△BED和△GEC中，

∴△BED≌△GEC（SAS）
∴BD＝CG，∠ABE＝∠G
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB
∵∠A＝∠CBF
∴∠ABF+∠A＝∠ACB
∵∠BFC＝∠ABF+∠A
∴∠BFC＝∠ACB
∴BF＝BC
∵∠A＝∠ABE＝∠CBF
∴∠A＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF
∴∠ABF＝∠GBC
在△ABF和△GBC中，

∴△ABF≌△GBC（AAS）
∴AF＝CG
又∵BD＝CG
∴AF＝BD
∵AF+CF＝AC，AB＝AC
∴BD+CF＝AB


6．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．

（1）若CN＝12.5，CE＝7，求BD的值．
（2）求证：CN⊥AD．
（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，
∴BE＝2CN＝25，
∵CE＝7，
∴BC＝＝24，
∵CD＝CE＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝17；

（2）在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，
∴CN＝BN，
∴∠CBE＝∠NCD，
∴∠NCD＝∠CAD，
∵∠NCD+∠NCA＝90°，
∴∠CAG+∠GCA＝90°，
∴∠CGA＝90°，
∴CN⊥AD；

（3）（2）中的结论还成立，如图2，延长CN到F使FN＝CN，连接BF，
在△CEN与△BFN中，
，
∴△CEN≌△BNF，
∴CE＝BF，∠F＝∠ECN，
∵∠CBF＝180°﹣∠F﹣∠BCF，∠DCA＝360°﹣∠DCE﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣∠ECF﹣∠BCF，
∴∠CBF＝∠DCA，
∵CE＝CD，
∴BF＝CD，
在△ACD与△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF，
∴∠DAC＝∠BCF，
∵∠BCF+∠ACH＝90°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CN⊥AD．

7．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．
（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；
（2）求证：BD＝AB+AE．

【解答】解：延长AH、BC相交于点M，
∵▱ABCD
∴CD＝AB＝4，CD∥AB
∵CH＝2
∴DH＝CD＝2
∵CD∥AB
∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA
∴△MCH∽△MBA
∴
∴＝
∴MH＝AH，BM＝2BC
∵△ABO为等边三角形
∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4
∴∠DOH＝∠AOB＝60°
∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°
∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD
∴△DOH是等边三角形
∴OH＝OD＝DH＝2
∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10
∵OD＝OE＝2
∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2
∴点E是OA的中点
∵△ABO为等边三角形
∴BE⊥OA，∠ABE＝30°
∴BE＝AE＝2
在Rt△BEM中，∠BEM＝90°
∴BE2+EM2＝BM2
∴（2）2+102＝BM2
∴BM＝4
∴BC＝2
（2）作BM∥AH交AG的延长线于M．

∵AE∥BM，
∴∠EAF＝∠M，
∵EF＝FB，∠AFE＝∠MFB，
∴△AEF≌△MBF（AAS），
∴AE＝BM，
易证∠AOD＝∠ABM＝120°，∠DAO＝∠MAB，
∵AO＝AB，
∴△AOD≌△ABM（ASA），
∴OD＝BM＝AE，
∴BD＝BO+OD＝AB+AE．
8．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，
∴DF＝BE，CF＝BE，
∴DF＝CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°
∵BF＝DF，
∴∠DBF＝∠BDF，
∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE＝2∠DBF，
同理得：∠CFE＝2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，
∴DF＝CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．
∵F为BE中点，
∴EF＝BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE＝GB，DF＝GF．
∵AD＝DE，
∴AD＝GB，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AD＝BC﹣GB，
∴DC＝GC．
∵∠ACB＝90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF＝GF．
∴DF＝CF，DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AD＝DE．
∴∠AED＝∠ABC＝45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠DEF＝∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF＝BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴ED＝HB，
∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝4，
∵AD＝1，
∴ED＝BH＝1，
∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得
DH＝，
∴DF＝，
∴CF＝
∴线段CF的长为．



9．在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．
（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；
（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求证：DE＝DF．

【解答】（1）解：∵D是BC中点，
∴BD＝DC，
∵CF⊥AE，
∴∠CFA＝∠CFD＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠CFD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE＝CF，
∵∠ABE＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，
∴BE＝CF＝1，
∵∠CFA＝90°，∠CAE＝45°，
∴AC＝CF＝．

（2）证明：∵BC平分∠ABE，
∴∠1＝∠2，
∵∠CFE＝∠BEF＝90°，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD≌△GCD（ASA），
∴BD＝CD，
延长FD交BE于H，
∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，
∴△BDH≌△CDF（ASA），
∴DH＝DF，
∴DF＝HF，
∵∠HEF＝90°，
∴DE＝HF＝DF，
∴DE＝DF．



1（2017年仙桃中考真题）．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是　 　；
（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值．

【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝45°，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，
∴CE＝BE，
∴AF＝CE，
∵DA＝DC，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE＝45°，
∴MD＝ME，
故答案为MD＝ME；

（2）MD＝ME，理由：
如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
∵DA＝DC，∠ADC＝60°，
∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝30°，
∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，
∴CE＝BE，
∴AF＝CE，
∵DA＝DC，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∴∠MDE＝30°，
在Rt△MDE中，tan∠MDE＝，
∴MD＝ME．

（3）如图3，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，
∴∠FAM＝∠EBM，
∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，
∴△AMF≌△BME，
∴AF＝BE，MF＝ME，
延长BE交AC于点N，
∴∠BNC＝∠DAC，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠BNC＝∠DCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE，
∴AF＝CE，
∴DF＝DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，
∵∠ADC＝α，
∴∠MDE＝，
在Rt△MDE中，＝tan∠MDE＝tan．