专题02 将军饮马模型（解析版）

这是一份专题02 将军饮马模型（解析版），共20页。试卷主要包含了求线段之和的最小值，求两线段差的最大值问题等内容，欢迎下载使用。























将军饮马模型






模型讲解



一、求线段之和的最小值
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：





（2）点A、B在直线同侧：





A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：








（2）一个点在内侧，一个点在外侧：





（3）两个点都在内侧：





（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.





变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.









二、求两线段差的最大值问题
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：






解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

（2）点A、B在直线m异侧：






解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’






方法点拨
一、题型特征：
①AP+PB或者AM+MN+AN
②两定点一动点或一定点两动点
③动点的运动轨迹为直线
二、模型本质：两点之间，线段最短。




例题演练


1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　）

A．EF B．AB C．AC D．BC
【解答】解：连接AK，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，
故选：C．



2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°．

【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
∴AM＝A'M，AN＝A″N，
此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长，
∵BA＝BA′，NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝130°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．
故答案为：100．


3．如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．
（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；
（2）若CD＝，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．

【解答】解：（1）如图1中，连接AB，作线段AB的中垂线MN，交AB于N，交EF于M，连接AM，BM．设DM＝x．

在Rt△ACM中，AM2＝AC2+CM2＝32+（6﹣x）2，
在Rt△BDM中，BM2＝DM2+BD2＝x2+62，
∵AM＝MB，
∴32+（6﹣x）2＝x2+62，
解得x＝，
∴CM＝CD﹣MD＝6﹣＝．

（2）如图2中，如图，作点A故直线GH 的对称点A′，点B关于直线EF的对称点B′，连接A′B′交GH于点P，交EF于点Q，作B′H⊥CA交CA的延长线于H．

则此时AP+PQ+QB的值最小．
根据对称的性质可知：PA＝PA′，QB＝QB′，
∴PA+PQ+QB＝PA′+PQ+QB′＝A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值为线段A′B′的长，
在Rt△A′B′H中，∵HB′＝CD＝，HA′＝DB′+CA′＝7+6＝13，
∴A′B′＝＝＝，
∴AP+PQ+QB的最小值为．

强化训练



1．如图，在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，B（3，3），点D在边AB上，AD＝2BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，若使四边形PCAD周长最小，则点P的坐标为（　　）

A．（，） B．（2，2） C．（，） D．（，）
【解答】解：如图，作点C关于OB的对称点C'，连接PC'，

∵B（3，3），∠OAB＝90°，
∴OA＝AB＝3，
∴∠BOA＝45°，
∵点C关于OB的对称点C'，
∴∠C'OB＝45°，CP+PC'，
∴若使四边形PCAD周长最小，只要PC'+PD最小，
当C'、P、D三点共线时，PC'+PD最小，
设直线C'D交OB于E，则点P与E重合时，四边形PCAD周长最小，
∴点C'在y轴上，且C'（0，），
∵AD＝2BD，
∴D（3，2），
设直线C'D的函数解析式为：y＝kx+b，
，∴，∴，
又∵直线OB：y＝x，∴，解得，
∴点E（），
故选：C．
2．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 　　．

【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，
在Rt△M′ON′中，
M′N′＝＝．
故答案为：．
5．
3．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　120°　．

【解答】解：作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'B，A''E，
∴AM＝A'M，AN＝A''N，
∴AM+AN+MN＝A'M+MN+A''M＝A'A''，
此时△AMN的周长最小，
∵∠B＝∠E＝90°，
∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，
∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，
∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE，
∵∠BAE＝120°，
∴∠A''+∠A'＝∠A'AM+∠NAE＝∠60°，
∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，
故答案为120°．

4．如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内的一点，PO＝10，点Q，R分别在∠AOB的两边上，△PQR周长的最小值是 　10　．

【解答】解：如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P''，
连接P'P''交OA、OB于点Q、R，
此时，△PQR的周长最小，最小即为P'P''的长．
连接OP'，OP''．
根据轴对称性可得：
∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，
OP＝OP'＝OP''＝10，
∵∠AOB＝45°，
∴∠P'OP''＝90°，
∴P'P''＝＝＝．
故答案为：10．

5．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝12，ON＝4．点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是 　4　．

【解答】解：如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP＝N′P，

作点M关于OB的对称点M′，则MQ＝M′Q，
∴MQ+PQ+NP＝M′Q+PQ+N′P，
当N′M′在同一条直线上时取最小值，
连接ON′，OM′，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°
则∠N′OA＝∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∠BOM′＝∠BOA＝50°，
∴∠N′OM′＝2×20°+30°+50°＝120°，
∵ON′＝ON＝4，OM′＝OM＝12，
∴∠AON＝∠AOB﹣∠BOC＝50°﹣30°＝20°，
先作射线ON'与射线ON关于OA对称，
由对称的性质可知∠AON'＝20°，PN＝PN'，
同理作射线OM'与射线OM关于OB对称，
同理∠BOM'＝50°，QM＝QM′，
当N'、P、Q、M'四点共线时，MQ+PQ+NP最小，
则∠N′OM′＝∠N′OP+∠AOB+∠BPM′＝20°+50°+50°＝120°，
作N'垂直OM'的延长线交于点E，
∴∠EON'＝60°，
∴ON'＝ON＝4，
在Rt△N'OE中，∠EN'O＝30°，
根据30°角所对的直角边是斜边的一半可知OE＝2，
则EN'＝2，OM＝OM'＝12，
∴EM′＝OE+OM′＝12+2＝14，
则N′M＝＝＝4．
故答案为：4．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　　．

【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF．

∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝＝5，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝＝，
∴PM+MN+PN≥，
∴PM+MN+PN的最小值为．
故答案为：．
7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是　　．

【解答】解：作点P关于直线AB,AC的对称点Q,R,连接QM,RN,QR,如图:

则PM＝QM,PN＝RN,
.∴△PMN的周长为:PM+MN+PN＝QM+MN+RN,
∴当点Q,M,N,R四点共线时,△MNP的周长最小,即为QR的长,
连接AQ,AP,AR,
:点P关于直线AB,AC的对称点为点Q,R,
∴∠BAQ＝∠BAP,∠CAR＝∠CAP,AQ＝AP＝AR,
∴∠QAP＝2∠BAP,∠RAP＝2∠CAP,
∵∠BAC＝45°,
∴∠BAP+∠CAP＝45°,
∴2∠BAP+2∠CAP＝90°,
∴∠QAR＝∠QAP+∠RAP＝2∠BAP+2∠CAP＝90°,
在Rt△QAR中，∠QAR＝90°,AQ＝AR,
∵AQ²+AR²＝QR²,
∴2AQ²＝QR²,
∴QR＝AQ＝AP,
∴求QR的最小值时，只需求出AP的最小值,
∵点P在BC上运动,
∴当AP⊥BC时，AP的值最小,此时QR的值最小，即△MNP的周长最小,
在Rt△DAC中,∠ADC＝90°,∠DAC＝45°，
∴∠DCA＝90°一∠DAC＝90°﹣45°＝45°＝∠DAC
∴AD＝CD＝12,
∵AB＝17,
∴BD＝AB﹣AD＝17﹣12＝5，
在Rt△DBC中,∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝13,
∴当AP⊥BC时,
S△ABC＝BC•AP＝AB•CD,
∴AP＝＝＝,
∴QR＝AP＝×＝,
∴△NMP的周长的最小值为．
故答案为：。
8．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点，
（1）如图1，若∠O＝∠OMN，过M作射线MD∥OB（如图），点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；
（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB＝20°，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．

【解答】解：（1）设∠O＝∠OMN＝α，
∴∠MNB＝2α，
∵MD∥OB，
∴∠AMD＝α，
∵NE平分∠MNC，
∴∠MNE＝∠ENC，
设∠MNE＝β，
∴∠CNB＝2α﹣2β，
∵MD∥OB，
∴∠MCN＝2α﹣2β，
∴∠EMC+∠MEN＝∠ENC+∠MCN，
∴β+2α﹣2β＝α+∠MEN，
∴∠MEN＝α﹣β，
∴2∠MEN＝∠MCN；
（2）作M点关于OB的对称点M'，N点关于OA的对称点N'，连接M'N'与OB、OA分别交于点P、点Q，连接ON'、OM'，
∴MP+PQ+QN＝M'N'，此时MP+PQ+QN的值最小，
由对称性可知，∠OQN'＝∠OQN，∠OPM'＝∠OPM，
∴∠OPM'＝∠AOB+∠OQP＝∠AOB+（180°﹣∠OQN'），
∵∠AOB＝20°，
∴∠OM'P＝200°﹣∠OQN'，
∴∠OPM+∠OQN＝200°．












1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB+PM的最小值为（　　）

A．3 B．2 C．2+2 D．3+3
【解答】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，
∴PB+PM＝B'P+PM≥B'M，
∴PB+PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB于H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝6，
在Rt△BB'H中，B'H＝B'B•sin60°＝6×＝3，
HB＝B'B•cos60°＝6×＝3，
∴AH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝1，
在Rt△MHB'中，B'M＝＝＝2，
∴PB+PM的最小值为2，
故选：B．