
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专题04 修桥选址模型(解析版)
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已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
(1)点A、B在直线m两侧:
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。
(2)点A、B在直线m同侧:
过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长,作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。
方法点拨
一、题型特征:AP+PQ+QB(其中PQ长度一定)
①两动点在一直线上运动,且两动点间的距离不变,两定点分居两动点所在直线的两侧;
②过任一定点作两动点所构成线段的平行且相等,将这一定点经行平移;
③将平移后得到的点与另一定点相连
二、模型本质:两点之间,线段最短。
1.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上的两个动点,且PQ=2,当BP=( )时,四边形APQE的周长最小.
A.3 B.4 C.5 D.2
【解答】解:如图,在AD上截取线段AF=PQ=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点,过A点作FQ的平行线交BC于一点,即为P点,过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.
∵GH=DF=6,EH=2+4=6,∠H=90°,
∴∠GEH=45°,
∴∠CEQ=45°,
设BP=x,则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x,
在△CQE中,∠QCE=90°,∠CEQ=45°,
∴CQ=EC,
∴6﹣x=2,
解得x=4.
故选:B.
1.(2018•如东县二模)如图,正方形ABCD的边长为6,E,F是对角线BD上的两个动点,且EF=,连接CE,CF,则△CEF周长的最小值为 4 .
【解答】解:如图作CH∥BD,使得CH=EF=2,连接AH交BD由F,则△CEF的周长最小.
∵CH=EF,CH∥EF,
∴四边形EFHC是平行四边形,
∴EC=FH,
∵FA=FC,
∴EC+CF=FH+AF=AH,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,∵CH∥DB,
∴AC⊥CH,
∴∠ACH=90°,
在Rt△ACH中,AH==4,
∴△EFC的周长的最小值=2+4,
故答案为2+4.
2.(2020•陕西模拟)如图,正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N,满足AB=MN,点P是BC的中点,连接AN、PM,若AB=6,则当AN+PM的值最小时,线段AN的长度为 2 .
【解答】解:过P作PE∥BD交CD于E,连接AE交BD于N',过P作PM'∥AE交BD于M',当M、N分别与M'、N'重合时,此时AN+PM=A'+EN'=AEN'+PM'=AE的值最小,
∵P是BC的中点,
∴E为CD的中点,
∴PE=BD,
∵AB=BD,AB=PE,
∴PE∥BD,PM'∥AE,
∴四边形PEN'M'是平行四边形,
∴PE=M'N',
∴AB=M'N'=MN,满足题中条件,
∵AE==3,
∵AB∥CD,
∴△ABN'∽△EDN',
∴=2,
∴AN'=2,即AN=2.
3.如图,G、B为直线l上两个动点,且GB=2,P、Q为直线l外两定点,请在直线l上作出使得四边形PGBQ周长最小的G、B.
【解答】解:如图,四边形PG′B′Q即为所求.
4.(2019秋•开福区校级期末)已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为直线BC上一点.
(1)如图1,当E在线段BC上,且DE=AD时,求BE的长;
(2)如图2,点E为BC延长线上一点,若BD=BE,连接DE,M为ED的中点,连接AM,CM,求证:AM⊥CM;
(3)如图3,在(2)条件下,P,Q为AD边上的两个动点,且PQ=5,连接PB、MQ、BM,求四边形PBMQ的周长的最小值.
【解答】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,
∴DE=AD=8,
在Rt△CDE中,CE===2,
∴BE=BC﹣CE=8﹣2;
(2)如图2,连接BM,
∵点M是DE的中点,
∴DM=EM,
∵BD=BE,
∴BM⊥DE,
∴∠BMD=90°,
∵点M是Rt△CDE的斜边的中点,
∴DM=CM,
∴∠CDM=∠DCM,
∴∠ADM=∠BCM
在△ADM和△BCM中,
,
∴△ADM≌△BCM(SAS),
∴∠AMD=∠BMC,
∴∠AMC=∠AMB+∠BMC=∠AMB+∠AMD=∠BMD=90°,
∴AM⊥CM;
(3)如图3中,过点Q作QG∥BP交BC于G,作点G关于AD的对称点G',连接QG',当点G',Q,M在同一条线上时,QM+BP最小,而PQ和BM是定值,
∴此时,四边形PBMQ周长最小,
∵QG∥PB,PQ∥BG,
∴四边形BPQG是平行四边形,
∴QG=BP,BG=PQ=5,
∴CG=3,如图2,在Rt△BCD中,CD=6,BC=8,
∴BD=10,
∴BE=10,
∴BG=BE﹣BG=5,CE=BE﹣BC=2,
∴HM=1+3=4,HG=CD=3,
在Rt△MHG'中,HG'=6+3=9,HM=4,
∴MG'===,
在Rt△CDE中,DE===2,
∴ME=,
在Rt△BME中,BM===3,
∴四边形PBMQ周长最小值为BP+PQ+MQ+BM=QG+PQ+QM+BM=MG'+PQ+BM=+5+3,
5.(2018春•宝安区期末)如图1,已知平行四边形ABCO,以点O为原点,OC所在的直线为x轴,建立直角坐标系,AB交y轴于点D,AD=2,OC=6,∠A=60°,线段EF所在的直线为OD的垂直平分线,点P为线段EF上的动点,PM⊥x轴于点M点,点E与E′关于x轴对称,连接BP、E′M.
(1)请直接写出点A的坐标为 (﹣2,2) ,点B的坐标为 (4,2) ;
(2)当BP+PM+ME′的长度最小时,请直接写出此时点P的坐标为 (2,) ;
(3)如图2,点N为线段BC上的动点且CM=CN,连接MN,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的EP的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)如图1中,
在Rt△ADO中,∵∠A=60°,AD=2,
∴OD=2•tan60°=2,
∴A(﹣2,2),
∵四边形ABCO是平行四边形,
∴AB=OC=6,
∴DB=6﹣2=4,
∴B(4,2)
(2)如图1中,连接OP.
∵EF垂直平分线段OD,PM⊥OC,
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°,
∴四边形OMPE是矩形,
∴PM=OE=,
∵OE=OE′,
∴PM=OE′,PM∥OE′,
∴四边形OPME′是平行四边形,
∴OP=EM,
∵PM是定值,
∴PB+ME′=OP+PB的值最小时,BP+PM+ME′的长度最小,
∴当O、P、B共线时,BP+PM+ME′的长度最小,
∵直线OB的解析式为y=x,
∴P(2,).
故答案为(2,)
(3)如图2中,当PM=PN=时,
∵△MNC是等边三角形,
∴∠CMN=∠CNM=60°,
∵PM⊥OC,
∴∠PMN=∠PNM=30°,
∴∠PNF=30°+60°=90°,
∵∠PFN=∠BCO=60°,
∴PF=PN÷cos30°=2,
∵EF==5,
∴PE=5﹣2=3.
如图3中,当PM=MN时,
∵PM=MN=CM=,
∴EP=OM=6﹣.
如图4中,当点P与F重合时,NP=NM,此时PE=EF=5.
综上所述,满足条件的EP的值为3或6﹣或5.
1.(2017•内江)如图,已知直线l1∥l2,l1、l2之间的距离为8,点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为4,PQ=4,在直线l1上有一动点A,直线l2上有一动点B,满足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ= 16 .
【解答】解:作PE⊥l1于E交l2于F,在PF上截取PC=8,连接QC交l2于B,作BA⊥l1于A,此时PA+AB+BQ最短.作QD⊥PF于D.
在Rt△PQD中,∵∠D=90°,PQ=4,PD=18,
∴DQ==,CD=PD﹣PC=18﹣8=10,
∵AB=PC=8,AB∥PC,
∴四边形ABCP是平行四边形,
∴PA=BC,
∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16.
故答案为16.