二次函数-三点共线练习题-学生及教师版

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二次函数-三点共线
1．如图，已知二次函数y＝ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．
（1）求a值并写出二次函数表达式；
（2）求b值；
（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB＝MC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；
（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；
（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，x2+1），则MC＝x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB＝MC；
（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN＝NB+MB＝ND+MC，利用中位线定理可得出PQ＝MH，进而可得出PF＝MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），
∴2＝4a+1，解得：a＝，
∴二次函数表达式为y＝x2+1．
（2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），
∴2＝k×0+b，
∴b＝2．
（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．
设点M的坐标为（x，x2+1），则MC＝x2+1，
∴ME＝|x|，EB＝|x2+1﹣2|＝|x2﹣1|，
∴MB＝，
＝，
＝，
＝，
＝x2+1．
∴MB＝MC．
（4）相切，理由如下：
过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．
由（3）知NB＝ND，
∴MN＝NB+MB＝ND+MC．
∵点P为MN的中点，PQ∥MH，
∴PQ＝MH．
∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，
∴四边形NDCH为矩形，
∴QF＝ND，
∴PF＝PQ+QF＝MH+ND＝（ND+MH+HC）＝（ND+MC）＝MN．
∴以MN为直径的圆与x轴相切．


【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、三角形中位线定理、矩形的判定与性质以及直线与圆的位置关系，解题的关键是：（1）代入点的坐标求出a值；（2）代入点的坐标求出b值；（3）利用勾股定理求出MB＝x2+1＝MC；（4）根据三角形中位线定理结合矩形的性质找出PF＝MN．
2．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）点F （0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．

【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）当△AOC∽△AEB时，＝（）2＝（）2＝，求出yE＝﹣，由△AOC∽△AEB得：＝＝，即可求解；
（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解．
【解答】解：（1）由题可列方程组：，
解得：
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2的图象与x轴交于A、B两点，
∴点A（﹣1，0），点B（3，0），
∴AO＝1，BO＝3，
∴∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；
当△AOC∽△AEB时


∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOC＝1，
∴S△AEB＝，
∴AB×|yE|＝，AB＝4，则yE＝﹣，
则点E（﹣，﹣）；
由△AOC∽△AEB得：＝＝，
∴＝；
∴点E（﹣，﹣），＝；

（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，

则FG＝CFsin∠FCG＝CF，
∴CF+BF＝GF+BF≥BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由（2）可知∠ABE＝∠ACO
∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，
|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，
∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；
【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数性质，待定系数法求解析式，点的对称性，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，图形的面积计算等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
3．如图，将边长为8的正方形AOCD放置在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点D在第二象限，点A的坐标为（﹣8，0），点B（0，n）在OC边上运动．连接AB．取AB的中点G，将BG绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，顶点为G的抛物线l经过原点O．
（1）当n＝6时，
①求点E的坐标；
②在抛物线l上是否存在点P，使得∠POA与∠ABO互余？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）当n为何值时，D，O，E三点共线？试判断此时点E是否在抛物线l上，并说明理由．

【分析】（1）①利用勾股定理求出AB的长，过点E作EF垂直y轴于点F，过点G作GH垂直y轴于点H，证明Rt△GBH和Rt△BEF，得到GH＝BF＝4，BH＝EF＝3，从而得解；②根据题意可知∴∠BAO＝∠POA，分情况讨论，当点P在x轴上方和下方时，分别求解，上方时与点G重合，下方时，直线OP与直线AB斜率相等求解；
（2）利用Rt△GBH≌Rt△BEF，表示出E点坐标，代入直线OD求解n值，进而求解抛物线表达式，将点E代入抛物线验证求解．
【解答】解：（1）①在Rt△OAB中，OA＝8，OB＝6，
∴AB＝＝10，
∵点G是BA的中点，BG绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，
∴BE＝BG＝＝5，∠ABE＝90°，
过点E作EF垂直y轴于点F，过点G作GH垂直y轴于点H，

∵点G为AB的中点，GH∥x轴，
∴GH＝OA＝4，BH＝，
∵∠GBO+∠EBO＝∠EBO+∠BEF＝90°，
∴∠GBO＝∠BEF，
在Rt△GBH和Rt△BEF中，
，
∴Rt△GBH≌Rt△BEF（AAS），
∴GH＝BF＝4，BH＝EF＝3，
∴OF＝6﹣4＝2，
∴点E坐标（3，2）；
②存在点P坐标（﹣4，3）或（﹣12，﹣9），使得∠POA与∠ABO互余，
理由如下：∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠POA与∠ABO互余，
∴∠BAO＝∠POA，
当点P在x轴上方时，连接DA，

∵点D为抛物线顶点，
∴GA＝GO，
∴∠GAO＝∠GOA，
即此时点P与点G 重合，坐标为（﹣4，3）；
当点P在x轴下方时，如图，

∵∠BAO＝∠POA，
∴AB∥OP，
已知点A（﹣8，0），B（0，6），
∴设直线AB表达式为y＝kx+b，将点A，B代入，
得，
解得，
∴直线AB的表达式：y＝+6，
∴直线PO的表达式为y＝x，
设抛物线表达式为y＝a（x+4）2+3，代入点（0，0），求得a＝﹣，
∴抛物线表达式为y＝﹣（x+4）2+3，
联立直线和抛物线，
解得，，
故点P坐标（﹣12，﹣9）；
综合上述，点P坐标（﹣4，3）或（﹣12，﹣9），使得∠POA与∠ABO互余；
（3）根据题意知点D（﹣8，8），
∴直线OD的解析式为y＝﹣x，

由（1）知Rt△GBH≌Rt△BEF，
∴BF＝GH＝4，EF＝BH＝，
∴点E坐标（，n﹣4），
∵点E在直线OD上，
∴﹣＝n﹣4，
解得n＝，
∴点E坐标（，﹣），
此时抛物线顶点G（﹣4，），
设抛物线表达式y＝a（x+4）2+，代入（0，0），解得a＝﹣，
∴抛物线表达式y＝（x+4）2+，
代入点E得（+4）2+＝﹣≠，
故点E不在抛物线l上．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、待定系数法求函数表达式，解题关键是证明Rt△GBH≌Rt△BEF，得到点E坐标，进而求解题目问题．
4．抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为A，抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线C1与C2相交于点P．
（1）当m＝﹣3时，在所给的平面直角坐标系中画出C1，C2的图象；
（2）已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；
（3）设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．

【分析】（1）根据列表法画出函数图象即可；
（2）A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），代入直线AB的解析式，求出k＝1，求出直线AB解析式为y＝x+3，则可得出答案；
（3）求出点P的坐标为（，），由二次函数的性质可得出q的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝﹣3时，
抛物线C1：y＝﹣x2﹣6x﹣9，列表如下：
x
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
y
﹣4
﹣1
0
﹣1
﹣4
抛物线C2：y＝﹣（x+1）2+2，列表如下：
x
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
y
﹣2
1
2
1
﹣2
答：C1，C2函数图象如图所示．

（2）证明：∵y＝﹣（x﹣m）2+m+3，y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，
∴A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），
设直线AB解析式为y＝kx+b，
将A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入y＝kx+b得：

①﹣②得，2m+4＝（2m+4）k，
∴2（m+2）＝2（m+2）k
∵m≠﹣2，
∴k＝1，
把k＝1代入①得，b＝3，
∴
∴直线AB解析式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝1，
∴C（﹣2，1）在直线AB上，即点A，B，C三点共线．
（3）解：，
③﹣④得，（x+m+4）2﹣（x﹣m）2+2m+4＝0，
（2x+4）（2m+4）+2m+4＝0，
∴（2x+5）（2m+4）＝0
∵m≠﹣2，
∴，
把代入③得，，
点P的坐标为（，），
因此，，
∵m≠﹣2，
∴q．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象的画法，三点共线的证明及二次函数的性质等知识．注意方程思想在解题中的应用．
5．已知O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．
（1）求证：AD＝CD；
（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；
（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝S△OAE？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）求出A、C两点的坐标，可得四边形OABC是矩形，则OA∥BC，∠BCA＝∠OAC，由对称可得∠ACD＝∠ACB，等量代换得∠ACD＝∠OAC，等角对等边即可得出AD＝CD；
（2）设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，由（1）得CD＝AD＝4﹣m，在Rt△OCD中，根据勾股定理可得m＝，可得D的坐标，再由B、C、D三点的坐标通过待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；
（3）过点E作EM⊥x轴于M，由S△AED＝AE•DE＝AD•EM，可得EM＝，设△PBC中BC边上的高为h，由S△PBC＝S△OAE可得h＝2，则点P的纵坐标为0或4，分别将y＝0和y＝4代入抛物线的函数表达式即可求解．
【解答】（1）证明：∵y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴A（4，0），C（0，2），
由对称得∠ACD＝∠ACB，
∵B（4，2），
∴四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠ACD＝∠OAC，
∴AD＝CD；

（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，
∴CD＝AD＝4﹣m，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
∴m＝，
∴D（，0），
设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：y＝ax2+bx+c，
把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：
，
解得：．
∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x+2；

（3）解：存在，
过点E作EM⊥x轴于M，

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD＝，
∴S△AED＝AE•DE＝AD•EM，
∴×2×＝×（4﹣）EM，
∴EM＝，
设△PBC中BC边上的高为h，
∵S△PBC＝S△OAE，
∴×OA•EM＝BC•h，
∴××4×＝×4h，
∴h＝2，
∵C（0，2），B（4，2），
∴点P的纵坐标为0或4，
①y＝0时，x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝；
②y＝4时，x2﹣x+2＝4，
解得：x3＝，x4＝（舍去），
∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法，矩形的性质、对称的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，解题的关键是利用待定系数法求出过B、C、D三点的抛物线的函数表达式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．在平面直角坐标系中，抛物线Γ：y＝ax2﹣4ax+3a（a＜0）与x轴交于点A，B（点B在点A的右侧），抛物线顶点为C点，△ABC为等腰直角三角形．
（1）求此抛物线解析式；
（2）若直线l1：y＝kx﹣k与抛物线Γ有两个交点，且这两个交点与抛物线Γ的顶点所围成的三角形面积等于6，求k的值；
（3）若点D（2，0），且点E，D关于点C对称，过点D作直线l2交抛物线Γ于点M，N，过点E作直线l3∥x轴，过点N作NF⊥l3于点F，求证：点M，C，F三点共线．
【分析】（1）△ABC为等腰直角三角形，则∠ACB直角，求出CD＝AD＝AB，进而求解；
（2）由S△APC＝×CH（xP﹣xA）＝×（3﹣k﹣1）（1﹣k）＝6，即可求解；
（3）由点M、F的坐标得：直线MF的表达式为y＝（x﹣x2）+2，当x＝2时，y＝（2﹣x2）+2＝＝1，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax+3a＝0，解得x＝1或3，

故点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0），则AB＝2，
当△ABC为等腰直角三角形，则∠ACB直角，
过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝AD＝AB＝1，
故点C的坐标为（2，1），
将点C的坐标的代入抛物线表达式得：1＝4a﹣8a+3a，解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3①；

（2）设直线y＝kx﹣k与抛物线的另外一个交点为点P，设CD交AP于点H，
∵y＝kx﹣k＝（k﹣1）x②，故该直线过点A（1，0），如图1，
联立①②并解得：x＝1（舍去）或3﹣k，即点P的横坐标为3﹣k，
当x＝2时，y＝kx﹣k＝k，
则S△APC＝×CH（xP﹣xA）＝×（3﹣k﹣1）（1﹣k）＝6，
解得k＝5或﹣2；

（3）由抛物线的表达式知，点C（2，1），
∵点E，D关于点C对称，故点E的坐标为（2，2），

设点M、N的横坐标分别为x1，x2，
∵直线MN过点D，故设直线MN的表达式为y＝k（x﹣2）②，
联立①②并整理得：x2+（k﹣4）x+（3﹣2k）＝0，
∴x1+x2＝4﹣k，x1x2＝3﹣2k，
则点M的坐标为（x1，kx1﹣2k），点F的坐标为（x2，2）
由点M、F的坐标得：直线MF的表达式为y＝（x﹣x2）+2，
当x＝2时，y＝（2﹣x2）+2＝＝＝1，
故点C（2，1）过直线MF，
即点M，C，F三点共线．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（0，﹣2）
（1）若点（﹣2，0）也在该抛物线上，请用含a的关系式表示b；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，若以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C（B在C左侧），且△ABC有一个内角为60°，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P与点O关于点A对称，且O、M、N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）把点（0，﹣2）、（﹣2，0）代入抛物线解析式，然后整理函数式即可得到答案．
（2）根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向上，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
（3）由（1）的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣x12+2）、点N的坐标为（x2，﹣x22+2），由O、M、N三点共线可得出x2＝﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）把点（0，﹣2）、（﹣2，0）分别代入，得
．
所以b＝2a﹣1．

（2），如图1，∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小；
同理：当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向上，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，1）．
∵点C在抛物线上，且c＝﹣2，b＝0，
∴3a﹣2＝1，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2．
（3）证明：由（1）可知，点M的坐标为（x1，﹣2），点N的坐标为（x2，﹣2）．
如图2，直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴x1﹣＝x2﹣，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，﹣4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x﹣4，
∵点M的坐标为（x1，﹣2），
∴﹣2＝k2x1﹣4，
∴k2＝，
∴直线PM的解析式为y＝x﹣4．
∵•﹣4＝＝﹣2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．


【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质、等边三角形的性质以及一次（二次）函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出a、b满足的关系式；（2）①利用等边三角形的性质找出点C的坐标；②利用一次函数图象上点的坐标特征找出点N′在直线PM上．
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2（m≠0）与直线l1：y＝x+m交于A、B两点，点B在点A右侧．点M（m，p）在直线l1上，点N与点M关于y轴对称，线段MN与y轴交于点P．
（1）试求出m，p的关系式．
（2）直线AP、BP分别与抛物线交于点C，D．
①是否存在一个实数m满足BD∥x轴？若存在，请求出此时m的大小；若不存在，请说明理由；
②求证：对于每个给定的实数m，总有C、D、N三点共线．
【分析】（1）把点M代入直线l1的解析式即可确定m和p的关系；
（2）①当BD∥x轴，说明点B，D，M的纵坐标相同，由于点B在直线l1上，先用含m的式子表示出点B，再由点B在抛物线上，列出关于m的方程，若方程有解，则m存在，否则不存在；
②先设出点A和B的坐标，再用点A和B的坐标表示出点C和D的坐标，由根与系数的关系的关系确定直线CD的解析式，把点N代入直线CD的解析式即可．
【解答】解：（1）∵点M在直线l1上，
∴p＝，
∴p＝m+1；
（2）①不存在，
当BD∥x轴时，点B，P，D的纵坐标相同，
由（1）知点P（0，m+1），
∴点B的纵坐标为m+1，
又∵点B在直线l1上，
∴m+1＝，
解得x＝m，
∴B（m，m+1），
∵点B在抛物线上，
∴m+1＝＝m，此方程无解，
∴m不存在；
②证明：设点A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），
联立直线l1和抛物线的解析式得：
，
即x2﹣x﹣m2＝0，
由根与系数的关系可得：
，
由（1）知点P（0，m+1），N（﹣m，m+1），
设直线AC的解析式为y＝kx+m+1，
联立直线AC和抛物线的解析式得：x2﹣kmx﹣m2﹣m＝0，
由根与系数的关系得：，
∴，k＝，
∴＝，
同理可得：，，
设直线CD的解析式为y＝nx+b，
则n＝＝[]÷（），
化简得n＝，
把点C，D代入y＝x+b，
得：，
两式相加得：，
即：，
解得b＝，
∴直线CD的解析式为y＝，
当x＝﹣m时，y＝＝m+1，
∴点N在直线CD上，
∴C，D，N三点共线．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要能写出点P，N的坐标，会联立直线和抛物线的解析式，会利用根与系数的关系将直线CD的解析式用含m的式子表示出来，然后利用一次函数的性质确定点P就在直线CD上．
9．已知过坐标原点O的抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，﹣1），与x轴的另一个交点为A，过O的直线与抛物线交于另一点B，与抛物线的对称轴交于点M，点M关于点P的对称点为点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M在x轴上方时，证明：A、B、N三点共线；
（3）若点M坐标为（1，1），问是否存在垂直于y轴的直线y＝t，使得直线上只有一个点Q满足∠OQB＝90°，若存在，求出t的值以及点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）因为抛物线经过原点，代入原点坐标，得到c＝0，再由于顶点为（1，﹣1），利用顶点坐标公式，求出a，b的值，即可解决；
（2）设直线OB的解析式为y＝kx，联立直线与抛物线解析式，求出B点坐标，继而表示出M点坐标，因为M，N关于P点对称，表示出N点坐标，令y＝0，则x2﹣2x＝0，由此求出A点坐标，分别求出直线AB和直线AN的解析式，由于两条直线解析式相同，故A，B，N三点共线；
（3）由点M的坐标，利用待定系数法，求出直线OB的解析式，进而得到B点坐标，由于∠OQB＝90°，所以O，Q，B在以OB为直径的圆上，设为⊙H，又Q在直线y＝t上，当直线y＝t与⊙H相切时，直线y＝t上只存在一点Q，使∠OQB＝90°，由于H是OB的中点，利用中点坐标公式得到H点坐标，求出去QH的长度，由此写出Q点坐标，同时，直线y＝t可以在OB上方，也可以在OB下方，所以可以得到两个答案．
【解答】解：（1）∵抛物线经过原点，
∴把（0，0）代入到抛物线解析式中，得c＝0，
∴抛物线解析式为：y＝ax2+bx，
∵抛物线的顶点为（1，﹣1），
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x；
证明：（2）令y＝0，则x2﹣2x＝0，
∴x＝0或2，
∴A（2，0），
设直线OB的解析式为y＝kx，
联立，
化简得，x2﹣kx﹣2x＝0，
∴x1＝0，x2＝k+2，
∴点B的坐标为（k+2，k2+2k），
∵M在抛物线的对称轴上，且在直线OB上，
∴M（1，k），
∵点M关于点P的对称点为点N，
∴N（1，﹣2﹣k），
设直线AB的解析式为y＝m（x﹣2），
代入点B的坐标得，mk＝k2+2k，
∴m＝k+2，
∴直线AB的解析式为y＝（k+2）（x﹣2），
同理，直线AN的解析式为y＝（k+2）（x﹣2），
∵直线AB和直线AN的解析式为同一个解析式，
∴A，B，N三点共线；
解：（3）设直线OM为y＝nx，代入点M（1，1）得n＝1，
∴直线OM的解析式为：y＝x，
联立，
化简得x2﹣3x＝0，
∴x＝0或3，
∴B（3，3），
取OB的中点H，
当∠OQB＝90°时，
HO＝HQ＝HB，
∴O，Q，B在以OB为直径的圆上，
∵要使得直线y＝t上只有一个点Q满足∠OQB＝90°，
∴直线y＝t与⊙H只有一个公共点或当t＝0或3时，⊙O与直线y＝t的交点有一个是点O或点B，
∴直线y＝t相切于点Q，点Q（0，3）或（3，0）；
∴HQ⊥直线y＝t，
∵H为OB的中点，O（0，0），B（3，3），
∴H（），
OB＝3，
∴＝，
∴当Q在H上方时，Q（，），t＝，
当Q在H下方时，Q（，），t＝．

【点评】本题是一道二次函数综合题，利用待定系数法求解AN和AM的解析式，是解决第2问的关键，同时，第3问中直角的存在性问题转化成直线与圆的位置关键，是解决第3问的关键．
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．

【分析】（1）根据题意推出顶点坐标，从而求出a和c的关系；
（2）由已知先得出点B的坐标，在得出C的坐标以及顶点，用待定系数法求出解析式即可；
（3）先用含有k的式子表示出A，C，D三个点的坐标，然后求出直线AC和直线AD的k值，即可判断是否在一条直线上．
【解答】解：（1）由题意可得抛物线与x轴的交点即为顶点坐标，
∴，，
解得c＝4a，
∴c＝4a；
（2）①由题意可知，定点A为抛物线的顶点，
∵当k＝0时，△ABC是等腰直角三角形，
又∵y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1，
∴直线过点（1，1），
∵k＝0，
∴B（0，1），
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴A（1，0），C（2，1），
代入解析式y＝ax2+bx+c，
得：y＝x2﹣2x+1；

②联立直线和抛物线的解析式，得：
，
解得：，
∴D（），
，
∴C（，），A（1，0），
∴直线AD的解析式中k的值为：
，
∴直线AC的解析式中k的值为：
，
∴kAD＝kAC，
∴点A，C，D三点共线．

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，最常用的求解析式方法是待定系数法，最近几年比较爱考，一定要记住做法，本题还用到了等腰直角三角形的对称性，基本知识点一定要牢记．
11．设抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）与直线l：y＝kx﹣4（k＞0）交于A，B两点（点B在点A的右侧）．
（1）如图，若点A（，﹣），且a+c＝﹣1，
①求抛物线Γ与直线的解析式；
②求△AOB的面积；
（2）设点C是点B关于y轴的对称点，当点A，O，C三点共线时，求实数c的值．

【分析】（1）①将点A坐标代入直线解析式中，即可得出直线l的解析式，将点A坐标代入抛物线解析式中得出a+c＝﹣①，
结合a+c＝﹣1，即可得出结论；
②利用三角形的面积的计算方法即可得出结论；
（2）设出A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），得出C（﹣b，bk﹣4），进而求出直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，
判得出mbk＝2（m+b）①，再由点A，B在抛物线上，得出am2+c＝mk﹣4②，ab2+c＝bk﹣4③，由①②③即可得出结论．
【解答】解：（1）①将点A（，﹣）代入直线l：y＝kx﹣4（k＞0）中，
得k﹣4＝﹣，
∴k＝3，
∴直线l的解析式为y＝3x﹣4；

将点A（，﹣）代入抛物线Γ：y＝ax2+c（a＞0）中，
得，a+c＝﹣①，
∵a+c＝﹣1②，
联立①②解得，a＝2，c＝﹣3，
∴抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3；

②如图1，直线l与x轴的交点记作点D，
由①知，直线l的解析式为y＝3x﹣4，
∴D（，0），
∴OD＝，
由①知，抛物线Γ的解析式为y＝2x2﹣3，直线l的解析式为y＝3x﹣4，
联立得，，
解得，或，
∴B（1，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝OD•|yA|﹣OD•|yB|＝OD•（|yA|﹣|yB|）＝××（﹣1）＝1；

（2）如图2，
∵点A，B在直线l：y＝kx﹣4上，
∴设点A（m，mk﹣4），B（b，bk﹣4）（b＞m），
∵点C是点B关于y轴的对称点，
∴C（﹣b，bk﹣4），
∴直线AC的解析式为y＝kx+﹣4，
∵点A，O，C三点共线，
∴直线AC过原点，
∴﹣4＝0，
∴mbk＝2（m+b）①，
∵点A（m，mk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，
∴am2+c＝mk﹣4②，
∵点B（b，bk﹣4）在抛物线Γ：y＝ax2+c上，
∴ab2+c＝bk﹣4③，
②﹣③得，am2﹣ab2＝mk﹣bk，
∴k＝a（m+b）④，
联立①④得，abm＝2，
②×b﹣③×m得，abm2+bc﹣（ab2m+cm）＝bmk﹣4b﹣（bmk﹣4m），
∴abm（m﹣b）﹣（m﹣b）c＝4（m﹣b），
∴abm﹣c＝4，
∴c＝abm﹣4＝2﹣4＝﹣2．


【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中三角形的面积的计算方法，轴对称的性质，处理am2+c＝mk﹣4②，ab2+c＝bk﹣4③，这三个式子是解本题的关键．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足；当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．

【分析】①先判断抛物线关于y轴对称，从而知道b＝0，由A点坐标可得c的值，再由已知条件可得△ABC是等边三角形，从而算出B、C坐标，代入抛物线解析式算出a的值．
②只需求出直线PM的解析式，然后验证N点关于y轴的对称点N'也在直线PM上即可．
【解答】解：①当x1＜x2＜0时，x1﹣x2＜0，
∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
当0＜x1＜x2时，x1﹣x2＜0，
∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，
∴y1﹣y2＞0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小．
∴抛物线关于y轴对称，
∴b＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2，
如图，连接OB、OC，设BC交y轴于点D．

由对称性可知，△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，
∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），
将C点坐标代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②设直线OM的解析式为y＝k1x，
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
化为x1﹣x2＝，
∵x1≠x2，
∴x1x2＝﹣2，
∴，
∴，
设点N关于y轴的对称点为N'，
则N'的坐标为，
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP﹣2OA＝4，即点P的坐标为（0，4），
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为，
∴，
∴，
∴直线PM的解析式为x+4．
∵，
即N'在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、角平分线的判定等重要知识点，有一定难度．本题的第二问，实际上是抛物线的一个重要几何性质，值得重视．
13．抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为A，抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线C1与C2相交于点P．
（1）当m＝1时，求抛物线C1的顶点坐标；
（2）已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；
（3）设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．
【分析】（1）将m＝1代入抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3，先按照x＝﹣求得抛物线C1的顶点横坐标，再将横坐标代入解析式求得纵坐标即可；
（2）先得出A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），再用待定系数法求得直线AB的解析式，然后将点C的横坐标代入直线AB的解析式，计算得出y值等于点C的纵坐标即可证得结论；
（3）联立，求得方程组的解，从而可用含m的式子表示出点P的坐标，将点P的纵坐标配方，由二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）当m＝1时，抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可化为：y＝﹣x2+2x+3，
∴其顶点横坐标为：x＝﹣＝1，
将x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣1+2+3＝4，
∴当m＝1时，抛物线C1的顶点坐标为（1，4）；
（2）证明：∵抛物线C1：
y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3
＝﹣（x﹣m）2+m+3，
∴A（m，m+3）；
∵抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，
∴B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入，
得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝x+3＝﹣2+3＝1，
∴点C（﹣2，1）在直线AB上，
∴点A，B，C三点共线；
（3）联立，
把①代入②，得：﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，
解得x＝﹣，
把x＝﹣代入①，得：
y＝﹣+2m×（﹣）﹣m2+m+3＝﹣m2﹣4m﹣，
∴方程组的解为：，
∴点P的坐标为（﹣，﹣m2﹣4m﹣），
∴点P的纵坐标q＝﹣m2﹣4m﹣＝﹣（m+2）2+，
∵m≠﹣2，
∴q的取值范围是q＜．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线的顶点坐标的求法、待定系数法求函数的解析式、三点共线的证明及二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
14．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．
（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；
（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．
①求点A的坐标和抛物线的解析式；
②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．
【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；
（2）①y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；②计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解．
【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：y＝a（x﹣2）2＝ax2﹣4ax+4a，
则c＝4a；
（2）y＝kx+1﹣k＝k（x﹣1）+1过定点（1，1），
且当k＝0时，直线l变为y＝1平行x轴，与y轴的交点为（0，1），
又△ABC为等腰直角三角形，
∴点A为抛物线的顶点；
①c＝1，顶点A（1，0），
抛物线的解析式：y＝x2﹣2x+1，
②，

x2﹣（2+k）x+k＝0，
x＝（2+k±），
xD＝xB＝（2+k﹣），yD＝﹣1；
则D，
yC＝（2+k2+k），
C，A（1，0），
∴直线AD表达式中的k值为：kAD＝＝，直线AC表达式中的k值为：kAC＝，
∴kAD＝kAC，点A、C、D三点共线．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大．
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日期：2021/12/30 17:27:24；用户：H；邮箱：orFmNt56CfiWW8ow2q20RYw63MXA@weixin.jyeoo.com；学号：32859684