二次函数图像练习题-学生及教师版

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一、二次函数解析式
【知识点】
1.一般式： .
如果已知二次函数的图象上的三点坐标（或称函数的三对对应值）、、，那么方程组就可以唯一确定，从而求得函数解析式．
2.顶点式：
由于，所以当已知二次函数图象的顶点坐标 时，就可以设二次函数形如，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线又称为二次函数图象的对称轴．
3.交点式： ．
我们知道，，这里分别是方程的两根．当已知二次函数的图象与轴有交点（或者说方程有实根）时，就可以令函数解析式为，从而求得此函数的解析式．
【例题讲解】
★☆☆例1. 若二次函数图象的顶点坐标，且图象过点，求二次函数的解析式．
【答案】
【解析】解：设抛物线的解析式为，
把点代入抛物线的解析式得到，
抛物线的解析式为，即．
【备注】本题考查二次函数的性质，解题的关键学会利用抛物线的顶点式解决问题，属于中考常考题型．
★☆☆练习1. 已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过原点，求该函数的解析式．
【答案】．
【解析】解：设二次函数的解析式为，
函数图象经过原点，
，
解得，
该函数解析式为．
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用顶点式解析式求解更加简便．
★☆☆例题2．已知：抛物线经过，，．
（1）求抛物线的解析式；
【答案】（1）；
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为，
根据题意得，
解得．
所以抛物线解析式为；
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
★☆☆练习1．已知：抛物线经过，，三点，求：
（1）求抛物线的解析式；
【答案】（1）；
【解析】解：（1）设抛物线解析式为，
根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为；
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
★☆☆例3. 关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求二次函数的解析式；
【答案】（1）；
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为，
即；
【备注】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
★☆☆练习1．已知二次函数的图象与轴交点为，，与轴交点为．
（1）求二次函数的解析式；
【答案】．
【解析】解：（1）设二次函数解析式为：，
把与轴交点为代入得：，
，
故二次函数解析式为：；
【备注】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，关键是根据与轴交点坐标正确设出的形式．
二、二次函数图象与系数关系
知识点：
1. 的符号决定抛物线的开口方向：
①时，抛物线开口向上； ②时，抛物线开口向下．
2. 决定抛物线的开口大小：
①越大，抛物线开口越小； ②越小，抛物线开口越大．
3. 和共同决定抛物线对称轴的位置
①时，抛物线的对称轴为轴； ②、同号时，对称轴在轴的左侧；③、异号时，对称轴在轴的右侧． 简要概括为“左同右异” ．
4. 的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）
①时，抛物线与轴的交点为原点；②时，交点在轴的正半轴；
③时，交点在轴的负半轴．
5. 决定了函数图象与轴的交点情况（和4a共存时考虑顶点）：
①，有两个交点； ②，有一个交点； ③，没有交点．
6．取特值：如当时, ，当时，等(有的只有a、c或b、c的，考虑根据对称轴转化).
【例题讲解】
★★☆例题1．已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：
①；②；③；④，
则其中结论正确的是
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】．
【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，所以①正确；
抛物线开口向上，
，
又抛物线对称值为直线，
，，
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以②正确；
当时，，即，所以③正确；
当时，，即，
把代入得，即，所以④正确．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
★★☆练习1．已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①②⑤④，则其中正确结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】．
【解析】解：抛物线开口相下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①错误；
抛物线与轴有两个交点，
，所以②错误；
对称轴为直线，
，抛物线与轴另一交点坐标为，
当时，，即，
，即，所以③正确；
，
，所以④正确．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标；当，抛物线与轴有两个交点．
三、二次函数几何变换
【知识点】
1． 平移变换
（1）利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点，然后平移变换；
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．
【例题讲解】
★☆☆例题1．已知抛物线经过和两点．
（1）求出这个抛物线的解析式；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为 ．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）将和两点代入抛物线解析式得：
，
解得：，
这个抛物线的解析式为：；
（2），
将该抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线解析式为：．
故答案为：．
【备注】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的平移，得出二次函数解析式是解题关键．
★☆☆练习1．已知抛物线沿轴向下平移3个单位后，又沿轴向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式为．试求原抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】解：根据题意，，沿轴向左平移2个单位，又沿轴向上平移3个单位后得到
．
故原函数的解析式为．
【备注】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
★★☆例题2．二次函数的图象如图所示，将其沿轴翻折后得到的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【答案】．
【解析】解：二次函数的图象的顶点坐标为，
点关于轴的对称点的坐标为，
又因为二次函数的图象沿轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，
所以所得抛物线的解析式为．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
★★☆练习1．已知一条抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，求这条抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】解：与抛物线的图象关于轴对称的抛物线的解析式为，即．
【备注】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用轴对称得出所求抛物线的顶点坐标是解题关键．
★★★练习2．将抛物线沿直线翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式．
【答案】．
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，而点关于直线的对称点为，所以新抛物线的解析式为．
【备注】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标．
★★☆例题3．将抛物线绕它的顶点旋转，所得抛物线的解析式是
A．B．
C．D．
【答案】．
【解析】解：，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线绕它的顶点旋转，
新抛物线的解析式为．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
★★☆练习1．将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【答案】．
【解析】解：如图，
由于所得函数图象与原函数图象关于原点对称，
故所得函数顶点为，
则所得函数为．
故选：．
【备注】此题考查了函数的对称变化，找到所求函数的顶点坐标是解题的关键．
★★☆练习2 . 如图，点为抛物线上任一点，将抛物线绕顶点逆时针旋转后得到的新图象与轴交于、两点（点在点的上方），点为点旋转后的对应点．若点的横坐标为4时，则点的坐标为
A．B．，C．D．，
【答案】．
【解析】解：，
顶点为，
把代入，得，
即点横坐标为4，纵坐标为4，
点横纵坐标与顶点差值为2、4，
点坐标为．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题过程中，注意顶点的坐标是联系点、点坐标的一个过渡数据．
四、二次函数区间最值
★★☆例题1 . 已知二次函数及实数，求
（1）函数在一的最小值；
（2）函数在的最小值．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：二次函数的图象如图：
顶点坐标为，，
（1）当时，函数为减函数，
最小值为当时，．
当时，，
（2）当，且，
即：时，函数为减函数，
最小值为：，
当，即时，
函数的最小值为．
当时，最小值．
【备注】本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是题中要根据的取值范围答案得出的取值范围，再得出的最小值．
★★☆练习1 . 二次函数在的范围内有最小值，则的值是
A．B．C．2D．3
【答案】．
【解析】解：把二次函数转化成顶点坐标式为，
又知二次函数的开口向下，对称轴为，
故当时，二次函数有最小值为，
故，
故．
故选：．
【备注】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解析本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
★★☆例题2 . 已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是
A．B．C．或D．或
【答案】．
【解析】解：，
①若，当时，，
解得：；
②若，当时，，
解得：（舍；
③若，当时，，
解得：或（舍，
的值为或，
故选：．
【备注】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．
★★☆练习1 . 已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是 ．
【答案】或．
【解析】解：由二次函数为常数），得到对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，由题意得：当时，最小值为，代入得：，即，不合题意，舍去；
当时，由题意得：当时，最小值为，代入得：，即或（舍去）；
当时，由题意得：当时，最小值为，代入得：，即，
综上，的值是或，
故答案为：或
【备注】此题考查了二次函数的最值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
五、二次函数与一次函数结合
★★☆例题1 . 如图，、两点在一次函数与二次函数的图象上
（1）求一次函数和二次函数的解析式；
（2）请直接写出时，自变量的取值范围．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）把代入得，解得，
一次函数解析式为；
把、代入得，解得，
抛物线解析式为；
（2）当时，．
【备注】本题考查了二次函数与不等式（组：函数值与某个数值之间的不等关系，一般要转化成关于的不等式，解不等式求得自变量的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
★★☆练习1 . 如图所示，，两点在二次函数与一次函数图象上．
（1）求的值和二次函数的解析式．
（2）请直接写出使时，自变量的取值范围．
（3）二次函数交轴于，求的面积．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）在一次函数图象上
；
，两点在二次函数图象上
，
解得：；
二次函数的解析式为；
（2）由图象可得时，自变量的取值范围为或；
（3）二次函数交轴于，
，
又，
轴，如图，
的面积为：．
的面积为3．
【备注】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的关系及函数在三角形面积计算中的应用，熟练掌握相关基础知识并数形结合是解题的关键．
★★☆例题2 . 如图，坐标系中有抛物线和直线．
（1）求取何值时，抛物线与直线没有公共点；
（2）变化，当抛物线的顶点在直线上时，求直线被它截得的线段长．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）根据题意得，
整理得，
因为抛物线与直线没有公共点，
所以△，
解得．
所以当时，抛物线与直线没有公共点；
（2）抛物线的顶点在直线上，
抛物线的顶点为，
代入解析式得，，
抛物线的解析式为，
解得或，
直线和抛物线的交点为和，
直线被抛物线截得的线段长．
【备注】本题考查了二次函数的性质，把两函数的交点问题转化为一元二次方程根的情况是本题的关键．
★★☆练习1 . 如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】解：令，
即，
解得或3，
则点，．
由于将向右平移2个长度单位得，
则解析式为，
当与相切时，
令，
即，△，
解得，
当过点时，
即，，
当时直线与、共有3个不同的交点．
故答案为：．
【备注】本题主要考查抛物线与轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解析本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
六、二次函数与方程
知识点：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况。
图象与轴的交点个数：
① 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．
② 当时，图象与轴只有一个交点；
③ 当时，图象与轴没有交点.
Ⅰ.当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
Ⅱ. 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
★☆☆例题1．抛物线的图象的部分如图所示，则关于的一元二次方程的解是 ．
【答案】，．
【解析】解：观察图象可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
抛物线与轴的另一交点坐标为，
一元二次方程的解为，．
故本题答案为：，．
【备注】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法．一元二次方程的解实质上是抛物线与轴交点的横坐标的值．
★☆☆练习1．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
那么方程的一个近似根是
A．1B．1.1C．1.2D．1.3
【答案】．
【解析】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：．
【备注】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
六、二次函数与不等式
★★☆例题1．如图，函数与的图象交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】或．
【解析】解：抛物线与直线交于，两点，
，，
抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
不等式的解集为或．
故答案为：或．
【备注】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
★☆☆练习1．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：
（1）求的表达式；
（2）关于的不等式的解集是 ．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）根据题意设的表达式为：
，
把代入得，
；
（2）当时，；当时，；
直线与抛物线的交点为和，
而或时，，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
【备注】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
【课后练习】
【巩固练习】
★☆☆1．根据下列条件求二次函数的解析式
（1）抛物线过，，三点，并求出顶点和对称轴；
（2）当时，，且图象过；
（3）与轴交点的横坐标分别是，时，与轴交点为，并求出顶点和对称轴．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）设二次函数的解析式为，
把，代入得：，
把代入得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：，即；
（2）设二次函数的解析式为，
当时，，
顶点坐标为，
代入得：，
把代入得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：，即；
（3）设二次函数的解析式为，
与轴交点的横坐标分别是，，
把，代入得：，
与轴交点为，
代入得：，
解得：，
所以二次函数的解析式为：，即．
【备注】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式的应用，能正确设解析式是解此题的关键，利用待定系数法求二次函数解析式时，注意合理利用抛物线解析式的三种形式．
★☆☆2．已知抛物线经过点，，．
（1）求该抛物线的解析式；
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）把，，代入，
得：，
解得：．
则抛物线的解析式为；
【备注】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，难度中．
★☆☆3．已知二次函数的图象与坐标轴交点的坐标分别为，，．
（1）求此函数的解析式；
（2）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（3）根据图象直接写出时的取值范围．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为，
把，，代入得，
解得，
此函数的解析式即；
【备注】本题考查了二次函数的性质，以及用待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线的顶点坐标的方法，是中考的常见题型．
★☆☆4．已知抛物线经过，，三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）把，，代入，
得：
解得：；
则抛物线的解析式为；
【备注】考查学生对二次函数知识的掌握情况，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现．解函数的解析式的问题可以利用待定系数法，转化为方程组问题．
★★☆5．已知二次函数图象如图所示，现有下列结论，①； ②；③；④；则其中正确的结论是 （只填写序号）．
【答案】①②③
【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，
，
，即
故①，③正确
当时，
故②正确
④错误
故答案为①②③
【备注】本题考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置． 当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异），③常数项决定抛物线与轴交点． 抛物线与轴交于．
★★☆6．已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：
①；②；③；④若，，是抛物线上两点，则．其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】．
【解析】解：①由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，则△，故①正确；
②抛物线开口向上，得：；
抛物线的对称轴为，，故；
抛物线交轴于负半轴，得：；
所以；
故②正确；
③观察图象得当时，，
即，
故③正确；
④，，是抛物线上两点，则．故④正确；
所以①②③④这四个结论都正确．
故选：．
【备注】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，关键是根据对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式等．
★★☆7．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④；⑤，
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】．
【解析】解：①由图知：抛物线与轴有两个不同的交点，则△，故①正确；
②抛物线的对称轴为，则，，故②错误；
③抛物线开口向上，得：；，故；
抛物线交轴于负半轴，得：；
所以；故③正确；
④观察图象得当时，，
即，
，
，即，故④正确；
⑤根据抛物线的对称轴方程可知：关于对称轴的对称点是；
当时，，所以当时，也有，即；故⑤正确；
综上所述，正确的说法是：①③④⑤．
故选：．
【备注】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
★★☆8．二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数，求、的值．
【答案】，．
【解析】解：将新二次函数向下平移3个单位，再向右平移2个单位，
得到的解析式为，即，
，
又，
，．
【备注】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
★★☆9．函数与的图象关于 对称，也可以认为函数的图象，是函数的图象绕 旋转得到的．
【答案】轴，原点．
【解析】解：由函数与的图象开口方向，顶点坐标可知，
函数与的图象关于轴对称，
也可以认为函数的图象，是函数的图象绕原点旋转得到的．
故本题答案为：轴，原点．
【备注】本题考查了抛物线关于坐标轴对称的抛物线解析式求法．类似于点关于坐标轴对称的坐标求法，关于轴对称，点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于轴对称，点横坐标变为相反数，纵坐标不变．
★★☆10．将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为
A．B．C．D．
【答案】．
【解析】解：根据题意，可得，得到．
故旋转后的抛物线解析式是．
故选：．
【备注】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
★★☆11．已知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为6，则的值为
A．或1B．或5C．3或1D．3或5
【答案】．
【解析】解：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
①若，时，取得最小值6，
可得：，
解得：或（舍；
②若，当时，取得最小值6，
可得：，
解得：或（舍．
综上，的值为或5，
故选：．
【备注】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
★★☆12．已知二次函数，为常数）．
（Ⅰ）当，时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当时，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（Ⅰ）当，时，二次函数解析式为，
，
当时，有最小值；
（Ⅱ）当时，二次函数解析式为，
在函数值的情况下，只有一个自变量的值与其对应，
有两个相等的实数解，
方程整理为，
△，解得或，
此时二次函数的解析式为或；
（Ⅲ）当时，二次函数解析式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
若，解得，在范围内随的增大而增大，则时，，
，解得（舍去）；
若，即，在范围内，当时有最小值，即，解得（舍去）或（舍去）；
若，解得，在范围内随的增大而减下，则时，，
，解得；
综上所述，的值为．
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
★★☆13．已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为 ．
【答案】或．
【解析】解：，
对称轴是．
①当时，，，
解得：（舍，，
；
②当时，，，
解得：（舍，，
，
综上得：或．
故答案为：或．
【备注】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出的值是解题的关键．
★★☆14．如图在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点一次函数的图象与抛物线交于，两点
（1）求二次函数的表达式；
（2）当取什么值时，两个函数的函数值都随增大而增大？
（3）当取什么值时，一次函数值大于二次函数值？
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）根据题意，知
，
解得，，
故二次函数的表达式是：；
（2）抛物线的对称轴是：，则当时，两个函数的函数值都随增大而增大；
（3）根据图象可得时，一次函数值大于二次函数值．
【备注】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质，正确根据函数的图象比较函数值的大小是关键．
★★☆15．已知抛物线的解析式是
（1）求证：此抛物线与轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与直线的一个交点在轴上，求的值．
【答案】详见答案解析
△，
方程①有两个不等的实数根，
原抛物线与轴有两个不同的交点；
（2）令，根据题意有：，
解得或．
【备注】本题考查的是抛物线与轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．
★★☆16．已知抛物线和一点，过点的直线，若直线与该抛物线只有一个交点，则这样的直线的条数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】详见答案解析
【解析】解：分两种情况：
当直线与抛物线的对称轴不平行时，
设经过点且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为
，
，
经过点且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为，
与抛物线只有一个交点
只有一个实数根，即方程的△，
，
，
过点的直线，与抛物线只有一个交点的直线的条数是2条．
当直线与抛物线的对称轴平行时，
过点的直线与轴平行时也与抛物线只有一个公共点，
若直线与该抛物线只有一个交点，则这样的直线的条数是3条．
故选：．
【备注】本题考查了二次函数性质，正确的设出解析式并用一个系数表示出另一个系数是解析本题的关键．
★★☆17．已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围为
A．B．且C．D．且
【答案】详见答案解析
【解析】解：令，则．
二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的解，
，
解得：且．
故选：．
【备注】本题拷出来抛物线与轴的交点，牢记“△时，抛物线与轴有2个交点”是解题的关键．
★★☆18．已知二次函数的图象与轴有两个交点，求：
（1）的取值范围；
（2）当取最大整数值时，求抛物线与轴的交点坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）因为抛物线与轴有两个交点，
所以△，
解得；
（2）的最大整数为2，
当时，抛物线解析式为，
当时，，解得，．
所以抛物线与轴的交点坐标为，，．
【备注】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程问题；△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
★★☆19．已知二次函数的部分图象如图，则关于的一元二次方程的解为 ．
【答案】或1．
【解析】解：根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，所以该点适合方程，代入，得
解得，①
把①代入一元二次方程，得
，②
解②，得
，
关于的一元二次方程的解为，
故答案为或1．
【备注】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解析，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
★★☆20．如图，二次函数与一次函数交于点，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，则的取值范围是 ；
（3）已知点是在轴下方的二次函数图象的点，求的面积的最大值．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）把，分别代入，得：．
解得：．
所以．
把，分别代入，得：．
解得：．
故二次函数的解析式为：．
（2）结合函数图象知：当时，则的取值范围是：．
故答案是：．
【备注】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
★★☆21．阅读材料，解答问题．
例．用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．，抛物线开口向上．
又当时，，解得，．由此得抛物线的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当或时，．的解集是：或．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．（画出大致图象）．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）观察图象，可得一元二次不等式的解集是：
（2）设，则是的二次函数．
，抛物线开口向上．
又当时，，
解得，．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当时，．
的解集是：
【备注】本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．
【拔高练习】
★★★1．如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与关联．
（1）已知两条抛物线①：，②：，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由；
（2）抛物线，动点的坐标为，将抛物线绕点旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）关联．
理由：，
又，成立，
；
（2）抛物线的顶点的坐标为，
动点的坐标为，
点在直线上，
作关于的对称点，分别过点、作直线的垂线，垂足为，，则，
点的纵坐标为6，
当时，，
解得：，，
①设抛物的解析式为：，
点在抛物线上，
，
．
抛物线的解析式为：；
②设抛物的解析式为：，
点在抛物线上，
，
．
抛物线的解析式为：；
的解析式为：或．
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
★★★2．对于任意实数、，定义﹡，则函数﹡﹡1，当时，的范围为
A．B．C．D．
【答案】；
【解析】解：任意实数、，定义﹡，
﹡﹡，
当时候有最小值，当时有最大值
故选：．
【备注】此题考查了函数最大（小值问题，明确对称轴，开口方向，自变量的取值范围是解题的关键．
★★★3．已知二次函数是常数）
（1）证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点．
（2）若、是该二次函数图象上的两个不同点，求二次函数解析式和的值；
（3）若，，在函数图象上，且，求的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】详见答案解析．
【解析】解：（1）由题意得：△，
不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点；
（2）、是该二次函数图象上的两个不同点，
抛物线的对称轴是：，
，，
二次函数解析式为：；
（3）当时，，
解得：，，
如图所示，由图象得：的取值范围是．
【备注】本题考查抛物线与轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，解析此类问题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解析．
★★★4．二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：对称轴为直线，
，
二次函数解析式为．
当时，；
当时，；
当时，．
相当于与直线的交点的横坐标，
当时，在的范围内有解．
故答案为：．
【备注】本题考查了二次函数的图象以及二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．

1
1.1
1.2
1.3
1.4

0.04
0.59
1.16
0
1
2
0
1
2
3
4
0
0
3
8