二次函数应用练习题-学生及教师版

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【知识点】
（1）最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案；
（2）其中利用每件商品利润销量总利润，得出关系式求出即可；
（3）要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
【例题讲解】
★★☆例题1．某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每月能售出400双．经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双．设每双降价元，每天总获利元．
（1）如果降价40元，每天总获利多少元呢？
（2）每双售价为多少元时，每天的总获利最大？最大获利是多少？
★★☆练习1．某商场销售一种小商品，每件进货价为190元，调查发现，当销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件，设每件小商品降价元，平均每天销售件．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商场要想使这种小商品平均每天的销售利润达到280元，求每件小商品的销售价应定为多少元？
（3）设每天的销售总利润为元，求与之间的函数关系式；每件小商品降价多少元时，每天的总利润最大？最大利润是多少？
★★☆练习2.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量（桶与销售单价（元之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价）
二、面积问题
【知识点】
结合三角形、矩形等面积公式构造二次函数，利用二次函数最值问题解决实际应用。
【例题讲解】
★☆☆例题1.光明农场准备修建一个矩形苗圃园，苗圃一边靠墙，其他三边用长为48米的篱笆围成．已知墙长为米．设苗圃园垂直于墙的一边长为米．
（1）求当为多少米时，苗圃园面积为280平方米；
（2）若米，当取何值时，苗圃园的面积最大，并求最大面积．
★★☆练习1.如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃的面积为，与墙垂直的边长为．若墙可利用的最大长度为，篱笆总长为，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当围成的花圃的面积为时，求的长；
（3）当为何值时，围成的花圃的面积最大，最大是多少？
【答案】答案见解答（1）的长为，则平行于墙的一边长为，该花圃的面积为；进而得出函数关系即可；
（2）求出花圃的面积为45平方米时的值即可；
（3）根据二次函数的性质即可求出最大值；
★★☆练习2.如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？
★★☆例题2.如图所示，在一矩形空地内建筑一个小的矩形花坛，要求在上，、分别在、上．已知米，米，设（米．
（1）设，求与之间的函数表达式；
（2）当，的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积．
★★☆练习1.如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：，现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为．
（1）求与的函数关系式；
（2）若改造后观花道的面积为，求的值；
（3）若要求，求改造后油菜花地所占面积的最大值．
★★☆练习2.已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
（1）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2）如果，分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
（3）在（1）中，的面积能否等于？说明理由．
三、建系类问题
【知识点】
通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决是解题的关键．
【例题讲解】
★☆☆例题1.一抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽．当水面下降时，
水面的宽为 ．
★☆☆练习1．如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为时，拱顶离水面，当水面下降时，水面的宽为 ．
★★☆例题2．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是
A．小球的飞行高度不能达到
B．小球的飞行高度可以达到
C．小球从飞出到落地要用时
D．小球飞出时的飞行高度为
★★☆练习1.如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与点的水平距离为，高度为．
（1）求与的关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
★★☆练习2.如图，在喷水池的中心处竖直安装一个水管，水管的顶端处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高点，高度为，水柱落地点离池中心处，则水管的长为 ．
★★☆练习3.某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物的顶端处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心 米以内．
★★☆例题3．如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．矩形的长是12米，宽是3米，隧道的最大高度为6米，现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点，点及抛物线顶点的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）一大货运汽车装载某大型设备后高为5米，宽为4米，那么这辆货车能否安全通过？
★★☆练习1.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系．
（1）求抛物线的表达式；
（2）该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？
【题型知识点总结】
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四、减速滑行问题
【知识点】
减速滑行停下时，也就是滑行距离最远时，即在题中需求出最大时对应的值．
【例题讲解】
★☆☆例题1.飞机着陆后滑行的距离（单位：与滑行的时间（单位：的函数关系式是．飞机着陆后滑行 米飞机才能停下来．
★★☆练习1.汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后停下来前进的距离是 米．
★★☆练习2飞机着陆后滑行的距离与滑行时间的函数关系式为，则飞机着陆后滑行 才停下来．
1.【课后练习】
★☆☆1．飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行的时间（单位：的函数解析式是，则飞机着陆后滑行 后才能停下来．
★★☆2飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行时间（单位：的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，滑行最后的所用的时间是 ．
★★☆3.运城菖蒲酒产于山西垣曲．莒蒲洒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪．菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化．菖蒲酒每瓶的成本价是35元，某超市将售价定为55元时，每天可以销售60瓶，若售价每降低2元，每天即可多销售10瓶（售价不能高于55元），若设每瓶降价元．
（1）用含的代数式表示菖蒲酒每天的销售量．
（2）每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？
★★☆4.天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件与销售价（元件）之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求每天的销售利润（元与销售价（元件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
★★☆5.如图，某农户计划用长的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为．
（1）若生物园的面积为，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？
（2）若要使生物园的面积最大，该怎样围？
★★☆6.某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．
（1）设图中（与墙垂直的边）长为米，则的长为 米（请用含的代数式表示）；
（2）若整个鸡场的总面积为米，求的最大值．
★★☆7.如图，用长33米的竹篱笆围成一个矩形院墙，其中一面靠墙，墙长15米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为米，院墙的面积为平方米．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若院墙的面积为143平方米，求的值；
（3）若在墙的对面再开一个宽为米的门，且面积的最大值为165平方米，求的值．
★★☆8.如图，矩形中，，，点、分别从、同时出发，点在边上沿方向以的速度匀速运动，点在边上沿方向以的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
（1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）求的面积的最大值．
★★☆9.工人师傅用一块长为，宽为的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）
（1）若长方体底面面积为，求裁掉的正方形边长；
（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的3倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用为50元，底面每平方米的费用为200元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
★★☆10.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，有以下两种围法，
（1）如图1，设花圃的宽为米，面积为米，求与之间的含函数表达式，并确定的取值范围；
（2）如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料造了宽为1米的两个小门，设花圃的宽为米，面积为米，求与之间的函数表达式及的最大值？
★★☆11．图中是抛物线拱桥，点处有一照明灯，水面宽，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，已知点的坐标为．
（1）点与水面的距离是 ；
（2）求这条抛物线的解析式；
（3）水面上升，水面宽是多少？
★★☆12．有一个截面的边缘为抛物线的拱桥桥洞，桥洞壁离水面的最大高度是2米，水面宽度为4米．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式．
（2）若水面下降1米，求水面宽度增加了多少米？
★★☆13．如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离处跳起投篮，球运行的高度与运行的水平距离满足解析式，当球运行的水平距离为时，球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为．
（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？
（2）若该运动员身高，这次跳投时，球在他头顶上方处出手，问球出手时，他跳离地面多高？
★★☆14．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子，点恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任意平面上，水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为．请完成下列问题：
（1）将化为的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；
（2）写出左边那条抛物线的表达式；
（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？
★★☆15．如图所示，一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为，，，现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若有一辆高，宽为的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其它因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰到隧道的顶部（抛物线部分为隧道顶部，、为壁）？
2．【拔高练习】
★★★1．某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第天为整数）的生产成本为（元台），与的关系如图所示．
（1）若第天可以生产这种设备台，则与的函数关系式为 ，的取值范围为 ；
（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？
（3）求当天销售利润低于10800元的天数．
★★★2.某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量（件与销售单价（元之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出与之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为（元，求与之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
★★★3.两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼处透过窗户发现乙楼处出现火灾，此时，，在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在高的处喷出，水流正好经过，．若点和点、点和的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移，再向左后退了 ，恰好把水喷到处进行灭火．
★★★4．有一辆宽为的货车（如图①，要通过一条抛物线形隧道（如图②．为确保车辆安全通行，规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为．已知隧道的跨度为，拱高为．
（1）若隧道为单车道，货车高为，该货车能否安全通行？为什么？
（2）若隧道为双车道，且两车道之间有的隔离带，通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高．