二次函数与平四、特四、相似三角形练习题-学生及教师版

这是一份二次函数与平四、特四、相似三角形练习题-学生及教师版，文件包含二次函数与平四特四相似三角形-教师版docx、二次函数与平四特四相似三角形-学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
一、二次函数与平行四边形、特殊的平行四边形
【知识点】
代数方法：对角线法
结论：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。
解题方法步骤：
分别表示四个点坐标，
分类讨论：
（1）以为对角线，则
以为对角线，则
以为对角线，则
分别解一元一次方程或二元一次方程组
注：动点在函数图象上或横纵坐标有关系时，只需设一个未知数可以表示出另一个未知数，解一元一次方程即可；当动点的横纵坐标没有关系时，需要分别设出横纵坐标，求解二元一次方程组。
【例题讲解】
★★☆例1. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）若点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形的面积为，求关于的函数关系；
（3）若点为抛物线上任意一点，点为轴上任意一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）在二次函数的图象上，
，
解得，
抛物线的函数解析式为；
点的坐标为，
设直线的解析式为，则
，
解得，
直线的函数解析式为：；
（2）点是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
，
过点作轴于点，则，，，
四边形的面积的面积四边形的面积，
，
化简，得；
（3）①若为平行四边形的一边，则、到的距离相等，
，
．
当时，解方程得，
，，
点的坐标为；
当时，解方程得，
，，
点的坐标为，或，；
②若为平行四边形的一条对角线，则，
，
点的坐标为．
综上所述，满足条件的点的坐标为、，、，．
【备注】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求出直线及抛物线的解析式、抛物线上点的坐标特征、解一元二次方程、平行四边形的性质、抛物线的性质等知识的综合应用，运用割补法及配方法是解决问题的关键，解题时注意运用分类讨论的思想．
★★☆练习1. 如图，一次函数分别交轴、 轴于、两点，抛物线过、两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当 取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）一次函数分别交轴、 轴于、两点，
、点的坐标为：，，
将其分别代入，得
，
解得，
抛物线解析式为：；
（2）点在直线上，点在抛物线上，
，，
则．
又如图所示，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，即四边形为平行四边形，
，即，
整理，得
，
解得．
即当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【备注】本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．解答（2）题时，要注意题中的限制性条件“在第一象限交直线于，交这个抛物线于”，所以以、、、为顶点的四边形是平行四边形，即四边形为平行四边形．
★★☆例题2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）将、两点的坐标代入得，
解得．
所以二次函数的表达式为；
（2）如图，
，
存在点，使四边形为菱形．
设点坐标为，
交于
若四边形是菱形，则有．
连接则于．
，
．
解得，（不合题意，舍去）
点的坐标为．
（3）如图1，
，
过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设
易得，直线的解析式为．
则点的坐标为．
．
，
当时，四边形的面积最大
此时点的坐标为，四边形面积的最大值为．
【备注】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质得出点的纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．
★★☆练习1．综合与探究
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，，连接和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点的坐标为 ．
（3）点是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点的坐标；
（4）若点是轴上的动点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1），
，
抛物线过点、
解得：
抛物线解析式为
（2）当时，，解得：，
，抛物线对称轴为直线
点在直线上，点、关于直线对称
，
当点、、在同一直线上时，最小
设直线解析式为
，解得：
直线
，
故答案为：，
（3）过点作轴于点，交直线与点
设，，则
当时，面积最大
点坐标为，时，面积最大，最大值为．
（4）存在点，使以点、、、为顶点的四边形是菱形．
，
①若为菱形的边长，如图3，
则且，
，，，
②若为菱形的对角线，如图4，则，
设
解得：
综上所述，点坐标为，，，，．
【备注】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性质，一次方程（组的解法，菱形的性质，勾股定理．第（4）题对菱形顶点存在性的判断，以确定的边进行分类，再画图讨论计算．
★★☆例题3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）因为抛物线经过、两点，
所以可以假设，
，，
，代入抛物线的解析式得到，
或或．
（2）如图1中，由题意，点在轴的右侧，作轴于，交于．
，
，
，
直线与轴交于点，则，
的解析式为，
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时．
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
、如图中，四边形是矩形时，
有（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，，
由可得，
，
，
，
，．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，，即，
、如图中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点，
，即．
②当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点坐标为，或．
【备注】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
★★☆练习1．在平面直角坐标系（如图）中，经过点的抛物线与轴交于点，点与点、点与点分别关于该抛物线的对称轴对称．
（1）求的值以及直线与轴正方向的夹角；
（2）如果点是抛物线上一动点，过作平行于轴交直线于点，且在的右边，过点作与点，设的横坐标为，的周长为，试用表示；
（3）点是该抛物线的顶点，点是轴上一点，是坐标平面内一点，如果以点、、、为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）将点代入抛物线的解析式得：，解得：，
．
抛物线的对称轴为直线．
令得：，则．
点与点、点与点分别关于该抛物线的对称轴对称，
，．
设直线的解析式为．
将、代入得：，解得：，，
直线的解析式为．
直线与轴正方向的夹角为．
（2）如图1所示：
设，则，，．
，，
为等腰直角三角形．
．
（3），
．
①为矩形的对角线时，如图2所示：
由矩形的性质可知：为的中点，，，
．
由两点间的距离公式可知：．
，
，．
②当为矩形的一边时，如图3所示：过作轴，垂直为，过作轴，垂足为．
在中，，，
，
，
，．
．
，．
，
的坐标为．
点与关于点对称，
．
综上所述，点的坐标为，或或或．
【备注】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解析本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求抛物线的顶点坐标、矩形的性质、锐角三角函数的定义，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
★★☆例题4．如图，抛物线经过点，，三点，设点是抛物线上一动点，且在轴下方，四边形是以为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点运动时，试求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并求出面积的最大值？
（3）是否存在这样的点，使平行四边形为正方形？若存在，求点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）设所求抛物线的解析式为，
抛物线经过点，，三点，则由题意可得：
，解得．
所求抛物线的解析式为：．
（2）点是抛物线上一动点，且在轴下方，
，
即，表示点到的距离．
是平行四边形的对角线，
，
与之间的函数关系式为：，的最大值为．
（3）当，且时，平行四边形是正方形，
此时点坐标只能，，而坐标为，点在抛物线上，
存在点，，使平行四边形为正方形，
此时点坐标为，．
【备注】此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法、平行四边形的性质以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．
★★☆练习1．如图，已知二次函数的图象经过，两点．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于，两点（点在对称轴的左侧），过点，作轴的垂线，垂足分别为，．当矩形为正方形时，求点的坐标；
（3）在（2）的前提下，能否在轴上找一点，使最小？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）二次函数的图象经过，两点．
，
解得：，
，
，
，
，
对称轴为直线；
（2）当矩形为正方形时，假设点坐标为，
点坐标为，，即，，
对称轴为：直线，到对称轴距离等于到对称轴距离相等，
，
解得：，（不合题意舍去），
时，，
点坐标为：．
（3）能．
理由：，
．
设，
时最小，
，解得，
．
【备注】此题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式以及利用图象观察函数值和正方形性质等知识，根据题意得出、两点坐标之间的关系是解决问题的关键．
二、二次函数与相似三角形
【知识点】
题型分析：二次函数动点形成相似三角形， 两个三角形其一是定三角形，另一是动三角形。
解题步骤：一、找相等角
二：设动点坐标
三：利用相似三角形的判定定理列出相似比
四：利用等量关系计算
【例题讲解】
★★☆例题1．如图，平面直角坐标系中，已知，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、两点，二次函数的图象经过点、点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是该二次函数图象的顶点，求的面积；
（3）如果点在线段上，且与相似，求点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）一次函数的图象与轴、轴分别交于点、两点，
，，
二次函数的图象经过点、点，
，，
二次函数的解析式为：．
（2），
，
过点作轴交于点，如图，
则，
；
（3）①若，如图，
此时，，
由、两点坐标可求得的解析式为：，
的解析式为：，
由解得：，
，；
②若，如图，
此时，，
，，，
，
．
综上所述，满足要求的点坐标为：，或．
【备注】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式，铅垂高法求三角形面积、相似三角形的判定与性质，难度中等．分类讨论思想的应用是解析（3）问的关键．
★★☆练习1．如图，直线与轴，轴分别相交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为，点在点的左边，顶点为，且线段的长为2．
（1）求点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使最大？若存在，求点坐标；若不存在说明理由．
（3）连结，请问在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）当时，，解得，即，
由，得，
的坐标为；
（2）根据题意得：，
解得：，
则抛物线的解析式是：；
（3）延长，交对称轴于点，连接，则最大．
抛物线与轴交于点、点，且对称轴为直线，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
，
当时，，
点坐标为；
（4）①当，时，．
即
，
又，
点与点重合，
的坐标是．
②当，时，．
即，
．
，
的坐标是，．
，，
．
点不可能在点右侧的轴上
综上所述，在轴上存在两点，，
【备注】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得的长是关键．
【课后练习】
【巩固练习】
★★☆1．已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于，两点， 其中点的坐标为，点在轴上 ．
（1） 求的值及这个二次函数的解析式；
（2） 在轴上找一点，使的周长最小， 并求出此时点坐标；
（3） 若是轴上的一个动点， 过作轴的垂线分别与直线和二次函数的图象交于、两点 ．
①设线段的长为，当时， 求与之间的函数关系式；
②若直线与抛物线的对称轴交点为，问是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请求出此时点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．
【答案】答案详见解析
【解析】解： （1） 设抛物线的解析式为，
点在抛物线上， 则，
解得，
抛物线的解析式为
点也在直线，即，
解得；
（2） 直线与轴的交点的坐标为，
点关于轴的对称点点的坐标为，
设直线的解析式为，
将、两点坐标代入，
解得，，
设直线的解析式为，
当、、三点在一条直线上时，
的值最小， 即的周长最小，
点即为直线与轴的交点 ．
点坐标为
（3）①已知点坐标为，则点坐标为，点坐标为，
，
与之间的函数关系式为（3分）
②存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形
理由是，
把代入得：，
即，
，
要使四边形是平行四边形， 必须，
由①知，
，
解得：，，，，
，（因 为和重合， 舍去），，，
的坐标是，，，，．
【备注】本题是二次函数的综合题， 其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的性质等知识点， 是各地中考的热点和难点， 解题时注意数形结合数学思想的运用， 同学们要加强训练， 属于中档题 ．
★★☆2．如图，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标为，经过点的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）过轴上的点作直线，交抛物线于点，是否存在实数，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的；如果不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）把点和的坐标代入抛物线得：，
解得：，，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得：，或，
，
；
设直线的解析式为，
把和的坐标代入得：，
解得：，，
直线的解析式为；
（2）分两种情况：如图所示：
①当时，且，
则点即为，
，
；
②当时，显然应在轴下方，且，
设 ，
由，
解得：；
综上所述，满足条件的的值为或．
【备注】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线与轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论是解决问题（2）的关键．
★★☆3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（1）分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；
（2）连接、，并把沿 翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）设直线的解析式为：，有：
，
解得：，；
直线．
将点、的坐标代入中，得：
，
解得：，；
抛物线：．
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，所以点必在的垂直平分线上，则点的纵坐标为，代入抛物线中，得：
，
解得，（舍去）
点，．
【备注】本题考查了用待定系数法求函数解析式，以及图形对称变换，菱形的判定，点的坐标的确定，一元二次方程的求解．（2）题中，首先根据菱形的性质确定点的纵坐标是解题的关键所在．
★★☆4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点，与轴交于点，抛物线的图象与轴交于点，且．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的表达式；
（3）点是直线上一动点，点在轴上方的平面内，且使以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：
（1）由题意可知二次函数图象的对称轴是直线，反比例函数解析式是，
把代入，得，
点的坐标为；
（2）由题意可得点的坐标为，
，
，
，
，
可设直线的表达式是，
点在直线上，
，
直线的表达式是；
（3）当、为菱形的边时，如图1，
设，则，
四边形为菱形，
，
，解得、重合，舍去）或，
此时，
且，
，
当、为边时，则，
同理可求得，
，解得（此时点在第三象限，舍去）或，
，，
且，
，；
当为对角线时，如图2，
则过的中点，
，，
的中点为，
，
轴，
点纵坐标为，代入可得，解得，
，，
，；
综上可知点的坐标为或，或，．
【备注】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等．在（1）中确定出点的横坐标是解题的关键，在（2）中求得点坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
★★☆5．如图，已知抛物线与轴交于点，，，与轴交于点，对称轴为直线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设为对称轴上一动点，求周长的最小值；
（3）设为抛物线上一点，为对称轴上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为 ．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）如图，，对称轴为直线．
点的坐标是，点的坐标是．
抛物线与轴交于点，，
、3是关于的一元二次方程的两根．
由韦达定理，得
，，
，，
抛物线的函数表达式为；
（2）如图1，连接、，交对称轴于点，连接．
由（1）知抛物线的函数表达式为，，，
，
，．
点、关于对称轴对称，
，
．
此时，．
点在对称轴上运动时，的最小值等于．
的周长的最小值；
（3）如图2，根据“菱形的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点是抛物线的顶点坐标，即，
当、点在轴的上方，即，，此时不合题意，
故点的坐标为：．
故答案是：．
【备注】本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称两点间距离最短，菱形的性质．解（1）题时，也可以把点、的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数、的方程组，通过解方程组来求它们的值．
★★☆6．如图1，已知直线，分别与轴、轴交于点、两点，为在一象限内的一点，且，抛物线过、两点，且与轴的另一交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若抛物线的顶点为，为直线上的一动点，当值最大时，求此时点的坐标及的最大值；
（3）如图3，若点为轴上一点，点为平面内一点，且满足以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）设点坐标为，
当时，，解得，即，
由，得
，
解得，（舍，，即，
将，点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）配方，得
即，．
当时，，解得（舍，即点坐标为，
如图2中，作关于直线的对称点，连接交于，连接由此交于，此时的值最大．
直线的解析式为，
由可得，，
，，
直线的解析式为，
由可得，，
此时的最大值．
（3）如图1
，
当时，，解得，即，
，，
，
又，
，
，
解得，即，
由对角线平分，得
，即，即，
，即，即，
点坐标为；
如图2
，
作于，，．
当时，，解得，即，
．
，，
，
又，
，
，
解得，即，
由矩形的对角线平分，得
，即，，即，
，即，即，
点坐标为．
如图3中，当为对角线时，有两种情形，设的中点为，作轴于，
易知，，，
，
，，，
，，
，，，，
综上所述：若点为轴上一点，点为平面内一点，且满足以点、、、为顶点的四边形是矩形，点的坐标或或，或，．
【备注】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用两点之间的距离得出点坐标，又利用待定系数法；解（2）的关键是两边之差小于第三边得出是与的交点；解（3）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出点的坐标，又利用了矩形的性质．
★★☆7．如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点右侧），与轴交于点，点的坐标为，抛物线上有一动点，点的横坐标为，且，过点作轴的平行线分别交轴和直线于点和．
（1）求抛物线及直线的函数关系式．
（2）连接，求出当是直角三角形时的值．
（3）如图2，连接，则在第二象限内是否存在一点，使得四边形是矩形？如果存在，直接写出此时点和点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）把代入得，解得，
抛物线的解析式为，
当时，，解得，，则，
当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
（2）如图1，
当时，轴，则点与点为抛物线上的对称点，而抛物线的对称轴为直线，所以此时点坐标为，即此时的值为；
当，则，所以直线的解析式为，
解方程组得或，所以，，即此时的值为，
综上所述，的值为或；
（3）存在．
如图2，设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
四边形为矩形，
，即，
直线的解析式为，
解方程组得或，所以，，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
，．
【备注】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和矩形的性质；会利用待定系数法求抛物线和一次函数解析式，会把求两个函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题，理解垂直两直线的一次项系数的负倒数关系；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
★★☆8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴的正半轴交于点，它的对称轴与抛物线交于点．若四边形是正方形，则的值是 ．
【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
点的坐标为，．
抛物线过点，
，
解得：（舍去），．
故答案为：．
【备注】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于的方程是解题的关键．
★★☆9．如图，二次函数的图象与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，连接、，该二次函数图象的对称轴与轴相交于点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点的坐标及直线的函数解析式；
（3）点在线段上，使得以点、、为顶点的三角形与相似，求出点的坐标；
（4）在（3）的条件下，若存在点，请任选一个点求出外接圆圆心的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）二次函数的图象与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，
设二次函数为，
把点代入得，，
解得，
这个二次函数的解析式为：；（4分）
（2），
抛物线的对称轴是直，
点的坐标为．
设直线的解析式为；，
，
解得，
直线的解析式为．
（3），，，，
，，，，，
，
如图1，
当时，，，
解得，
过点作轴于点，
轴，
．
．
解得．
把代入，得．
此时，点的坐标为；
如图2，
当时，，即，得．
过点作轴于点，
轴，
．
．解得．
把代入，得．
此时，点的坐标为，．
综上所述，点坐标为或，；
（3）当点的坐标为时，设圆心的，．
，
，解得，
，．
【备注】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线的顶点坐标、相似三角形的性质等相关知识，难度较大．
【拔高练习】
★★★1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的三个顶点，，．以为顶点的抛物线过点．动点从点出发，沿线段向点运动．同时动点从点出发，沿线段向点运动．点，的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为秒．过点作交于点．
（1）直接写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点作于，交抛物线于点，当为何值时，的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点，运动的过程中，当为何值时，在矩形内（包括边界）存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）．
由题意知，可设抛物线解析式为
抛物线过点，
，
解得，，
抛物线的解析式为，即．
（2），，
可求直线的解析式为．
点．
将代入中，解得点的横坐标为．
点的横坐标为，代入抛物线的解析式中，可求点的纵坐标为．
．
又点到的距离为，到的距离为，
即
．
当时，的最大值为1．
（3）第一种情况如图1所示，点在的上方，由四边形是菱形知，
根据，知
，即，解得；
第二种情况如图2所示，点在的下方，由四边形是菱形知，，，．
则在直角三角形中，根据勾股定理知，即，
解得，，（不合题意，舍去）．
综上所述，或．
【备注】本题考查了二次函数的综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法．
★★★2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；
（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）令，则，
解得，
点在点的左侧，
，
如图1，作轴于，
，
，
，
，
，
，
点的横坐标为4，
代入得，，
，
把、坐标代入得，
解得，
直线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴于点
设点，，，
则，
解得：，
，，
，
，
有最大值，
；
（3）令，即，
解得，，
，
，
抛物线的对称轴为，
设，
①若是矩形的一条边，
由知，可知点横坐标为，将代入抛物线方程得，
，则，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
即，，，
．
②若是矩形的一条对角线，
则线段的中点坐标为，，，
，则，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
解得，，，
．
综上可得，点的坐标为，．
【备注】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得的坐标是本题的关键．
★★★3．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接．
（1）求经过，，三点的抛物线的函数表达式；
（2）点是线段上一点，当时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）抛物线经过，两点，
，
解得，，
经过，，三点的抛物线的函数表达式为；
（2）如图1，连接、，
，
当时，，
点的坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
解得，，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
则，，
，
，
解得，，
则，
点的坐标为；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为，
以、、、为顶点的四边形是正方形，
，即，
当时，
整理得，，
解得，，
当时，
整理得，，
解得，，
当以、、、为顶点的四边形是正方形时，点的坐标为，，，，，，，．
【备注】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式以及正方形的性质，掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．