专题11 弦图模型（知识精讲）-冲刺中考数学几何专项复习

弦图模型知识精讲

1. 证法一

 以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：

∵Rt△DAH≌Rt△ABE，

∴∠HDA＝∠EAB，

∵∠ADH＋∠HAD＝90°，

∴∠EAB＋∠HAD＝90°，∴∠DAB＝90°

∵AB＝AD，∴四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2，

∵EF＝FG＝GH＝HE＝b－a，∠HEF＝90°，

∴四边形EFGH是一个边长为(b－a)的正方形，它的面积等于(b－a)2，

，

∴a2＋b2＝c2.

2. 证法二

以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：

∵Rt△HAE≌Rt△EBF，

∴∠AHE＝∠BEF，

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠AEH＋∠BEF＝90°，

∴∠HEF＝180°－90°＝90°，

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2，

∵Rt△GDH≌Rt△HAE，

∴∠HGD＝∠EHA.

∵∠HGD＋∠GHD＝90°，

∴∠EHA＋∠GHD＝90°，

又∵∠GHE＝90°，

∴∠DHA＝90°＋90°＝180°，

∵四边形EFGH是一个边长为（a＋b）的正方形，它的面积等于（a＋b）2，

，∴a2＋b2＝c2.

3. 证法三

 以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于，如图所示：

∵Rt△EAD≌Rt△CBE，

∴∠ADE＝∠BEC.

∵∠AED＋∠ADE＝90°，

∴∠AED＋∠BEC＝90°，

∴∠DEC＝180°－90°＝90°，

∴△DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于，

又∵∠DAE＝90°，∠EBC＝90°，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于，

，∴a2＋b2＝c2.

4. 证法四

 如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S，则：

∵△ABH≌△HEF，

∴∠BAH＝∠EHF，

∴∠BAH＋∠AHB＝∠EHF＋∠AHB＝90°，

∴∠AHF＝90°，

∴四边形AHFI是正方形，

，

∴，∴a2＋b2＝c2.

5. 证法五

 分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上，且Rt△GEF≌Rt△EBD，

∴∠EGF＝∠BED，

∵∠EGF＋∠GEF＝90°，

∴∠BED＋∠GEF＝90°，

∴∠BEG＝180°－90°＝90°

又∵AB＝BE＝EG＝GA＝c，

∴四边形ABEG是一个边长为c的正方形，

∴∠ABC＋∠CBE＝90°，

∵Rt△ABC≌Rt△EBD，

∴∠ABC＝∠EBD.

∴∠EBD＋∠CBE＝90°，

即∠CBD＝90°，

又∵∠BDE＝90°，∠BCP＝90°，

BC＝BD＝a，

∴四边形BDPC是一个边长为a的正方形，

同理，四边形HPFG是一个边长为b的正方形，

设多边形 GHCBE的面积为S，则，

，∴a2＋b2＝c2.