新疆喀什地区岳普湖县2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题(含答案)

新疆喀什地区岳普湖县2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若,则在复平面内复数z对应的点位于(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、已知向量,,则向量与的夹角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

3、已知集合,,则(   )

A. B. C. D.

4、①;②;③若,则;④若,则.其中正确的是(   )

A.①③ B.②④ C.①② D.③④

5、已知等比数列满足,,则(   )

A.3 B. C.1 D.

6、已知直线与圆交于A,B两点,若(O为坐标原点),则实数m的值为(   )

A.2 B. C.4 D.

7、函数的定义域为R,若与都是奇函数,则(   )

A.是偶函数 B.是奇函数

C. D.是奇函数

8、已知函数,则(   )

A.的最大值是

B.的图象关于直线对称

C.在区间上单调递增

D.在区间内有4个极值点

9、如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面的面积最大值为(   )

A. B. C.4 D.

10、从装有若干个大小相同的红球,白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球,白球和黄球的概率分别为,,,从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白,但没有黄的概率为(   )

A. B. C. D.

11、对于数列,若存在正整数,使得,,则称是数列的“谷值”,k是数列的“谷值点”在数列中,若,则数列的“谷值点”为(   )

A.2 B.7 C.2,7 D.2,3,7

12、已知实数a,b,c满足,,则的最小值是(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、,则___________.

14、已知实数x,y满足约束条件则的最大值为___________.

15、已知角,的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,若角的终边经过点,,且,则______.

16、已知双曲线,,是双曲线的左右两个焦点,P在双曲线上且在第一象限,圆M是的内切圆.则M的横坐标为_________,若到圆M上点的最大距离为,则的面积为___________.

三、解答题

17、如图,在中,,,点D在线段BC上.

（1）若,求AD的长;

（2）若,的面积为,求的值.

18、如图,在四棱锥中,平面平面BCDE,,,,.

（1）证明:平面ACD;

（2）求二面角的正切值.

19、为庆祝元旦,班委会决定组织游戏,主持人准备好甲,乙两个袋子.甲袋中有3个白球,2个黑球;乙袋中有4个白球,4个黑球.参加游戏的同学每抽出1个白球须做3个俯卧撑,每抽出1个黑球,须做6个俯卧撑

方案①:参加游戏的同学从甲,乙两个袋子中各随机抽出1个球;

方案②:主持人随机将甲袋中的2个球放入乙袋,然后参加游戏的同学从乙袋中随机抽出1个球;

方案③:主持人随机将乙袋中的2个球放入甲袋,然后参加游戏的同学从甲袋中随机抽出1个球.

（1）若同学小北选择方案①,求小北做6个俯卧撑的概率;

（2）若同学小北选择方案,设小北做俯卧撑的个数为,求的分布列;

（3）如果你可以选择按方案②或方案③参加游戏,且希望少做俯卧撑,那么你应该选择方案②还是方案③,还是两个方案都一样?

20、已知函数,其中e为自然对数的底数,a为常数.

（1）若对函数存在极小值,且极小值为0,求a的值;

（2）若对任意,不等式恒成立,求a的取值范围.

21、设抛物线的焦点为F,点M在抛物线C上,O为坐标原点,已知,.

（1）求抛物线C的方程;

（2）过焦点F作直线l交C于A,B两点,P为C上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别与C的准线相交于D,E两点,证明:以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点.

22、平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

（1）若,求曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;

（2）若曲线与交于不同的四点A,B,C,D,且四边形ABCD的面积为,求r.

23、已知函数.

（1）当时,求不等式的解集;

（2）若,求a的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析:因为,

所以,

故z对应的点位于复平面内第二象限.

故选:B.

2、答案：D

解析:,,,

.

故选:D.

3、答案：A

解析:解不等式,,则或,

故或,

故,

故选:A

4、答案：C

解析:对于①,,故①正确;

对于②,,故②正确;

对于③,若,则,故③不正确;

对于④,若,则,故④不正确.

故选:C.

5、答案：C

解析:设等比数列的公比为q,则,由已知可得,解得,因此.

故选:C.

6、答案：A

解析:由条件知圆心.因为,所以坐标原点O在线段AB的垂直平分线上.又圆心C也在线段AB的垂直平分线上,所以OC垂直平分线段AB,所以直线OC的斜率与直线l的斜率互为负倒数,即,得.

故选:A.

7、答案：D

解析:与都是奇函数,

,,

函数关于点及点对称,

,,

故有,函数是周期的周期函数,

,

,即,

是奇函数,

故选:D.

8、答案：D

解析:

,

因为,所以,所以,故A错误;

,故B错误;

由得,

当时,在区间上单调递增,当时,在区间上单调递增,故C错误;

令得,

所以,或,,

得,,或,,

当时,,,,,故D正确.

故选:D.

9、答案：B

解析:满足三视图的几何体为四棱锥,如图所示:

根据三视图可知,,,

,,的边PC上的高为,

所以,所以为直角三角形,

所以,,

,,

,

所以该几何体的各个面的面积最大值为.

故选:B.

10、答案：C

解析:根据题意:概率等于没有黄球的概率减去只有白球或只有红球的概率.

即.

故选:.

11、答案：C

解析:因为,

所以,,,,,,,,

当,,,所以,

因为函数在上单调递增,

所以时,数列为单调递增数列,

所以,,,,

所以数列的“谷值点”为2,7.

故选:C.

12、答案：B

解析:由,可得,,

由可得

所以,

由可得

即,解得,

所以

,

令,

,

由可得,

由可得或,

,,

,,

所以的最小值为,即的最小值为.

故选:B.

13、答案：729

解析:由题意,,

故.

故答案为:729.

14、答案：

解析:表示可行域内的点和连线的斜率,作出不等式组表示的可行域,如图所示,

由图可知过点A时斜率最大,

由,得,.

故答案为:

15、答案：

解析:因为角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,

所以,,又,所以,

因为,

所以,

因为,

所以,

所以,

.

故答案为:

16、答案：1,

解析:双曲线的方程为,则,,.

设圆M分别与,,相切于B,C,A,

根据双曲线的定义可知,根据内切圆的性质可知①,

而②.由①②得:,所以,

所以直线MA的方程为,即M的横坐标为1.

设M的坐标为,则到圆M上点的最大距离为,

即,解得.

设直线的方程为,即.

M到直线的距离为,解得.

所以线的方程为.

由且P在第一象限,解得.

所以,.

所以的面积为.

故答案为:1;

17、答案：（1）;

（2）.

解析:（1）因为,

由正弦定理可得,

,则,故,则B为锐角,所以,,

,则,

在中,由正弦定理得,,解得.

（2）设,则,,则,

即,可得,故,

由余弦定理可得,

在中,由正弦定理可得,故,

在中,由正弦定理可得,故,

因为,

所以,.

18、答案：（1）证明见解析

（2）

解析:（1）证明:在直角梯形BCDE中,由,,得,

由,得,即,

又平面平面BCDE,从而平面BCDE,

所以,又,,从而平面ACD;

（2）作,与AD交于点F,,与CD交于点O,连接OF,BD

由（1）知,所以就是二面角的平面角,

在直角梯形BCDE中,由,得,

又平面平面BCDE,得平面ABC,从而,

由于平面BCDE,得.

在中,由,,得;

在中,由,,,得,

,,

所以二面角的正切值为.

19、答案：（1）;

（2）分布列见解析;

（3）方案③.

解析:（1）按方案①,小北做6个俯卧撑的事件是从甲,乙两袋中各抽出1个白球的事件,而每个袋中抽球是相互独立的,

所以小北做6个俯卧撑的概率.

（2）从甲袋中任取2个球有三种情况,当选的2个球为白球时的概率为:,

当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为:,当选的2个球为黑球时的概率为:,

而的可能值为3,6,

,,

所以的分布列为:

（3）从乙袋中任取2个球有三种情况,当选的2个球为白球时的概率为:,

当选的2个球为1白1黑的两球时的概率为:,当选的2个球为黑球时的概率为:,

小北抽出白球的概率为:,显然,

所以应该方案③.

20、答案：（1）;

（2）.

解析:（1）由题设,,

当时,在R上是增函数,从而函数不存在极值,不合题意;

当时,由得:,由得:,

为的极小值点,又,即,

,经验证满足题设.

（2）不等式,即,

设,则,,

所以时,则为增函数,故.

①,即时,,在时为增函数,

,此时恒成立;

②,即时,存在使得,

从而时,即在上是减函数,

时有,不合题意.

综上,a的取值范围是.

21、答案：（1）;

（2）证明见解析.

解析:（1）设点,因为点M在抛物线C上,

则,

得,即.

因为,则.

因为,则,

即,所以,化简得,

解得,所以抛物线C的方程是.

（2）设直线l的方程为,代入,得.

设点,,则,.

设点则k,直线的方程为.

令,得,所以点.

同理,点.

设以线段DE为直径的圆与x轴的交点为,

则,.

因为,则,即,

得或.

故以线段DE为直径的圆经过x轴上的两个定点和.

22、答案：（1）;;

（2）.

解析:（1）当时,曲线的参数方程为(为参数),

转化为直角坐标方程为.

根据,得到曲线的极坐标方程为;

曲线的极坐标方程为,

根据,转换为直角坐标方程为:.

（2）设满足,,

由曲线的对称性可知矩形ABCD的面积,

,

将,代入得,解得,

所以,解得.

23、答案：（1）;

（2）.

解析:（1）当时,

当时,,即,故;

当时,恒成立,故;

当时,,即,故;

综上得,不等式的解集为.

（2）由题可知,而,

当时,,得;

当时,,得;

综上得,a的取值范围为.