浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省金丽衢十二校2023届高三上学期第一次联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知集合，，则(   )A. B. C. D.2、若复数z满(i为虚数单位)，则(   )A. B. C. D.3、，，则(   )A. B.2 C. D.4、早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为(   )A. B. C. D.5、已知向量，，则是向量，夹角为钝角的(   )A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件 D.充分不必要条件6、从2至7的6个整数中随机取3个不同的数，则这三个数作为边长可以构成三角形的概率为(   )A.70% B.65% C.60% D.50%7、已知，，，则(   )A. B. C. D.8、定点A和动点P是抛物线上的两点，点B与点A关于x轴对称，其中P与A、B不重合，且P的纵坐标为t，直线，的斜率之差为m，斜率之积为n，当t从小到大变化时，的变化情况是(   )A.先变小后变大 B.先变大后变小 C.一直不变 D.以上情况都不对二、多项选择题9、数列的通项为，它的前n项和为，前n项积为，则下列说法正确的是(   )A.数列是递减数列B.当或者时，有最大值C.当或者时，有最大值D.和都没有最小值10、设点A，B，C，D是曲线上的依次四点，对于四边形，下列可能成立的是(   )A.四边形有三个内角为锐角 B.四边形有三个内角为钝角C.四边形有且仅有三边相等 D.四边形为非等腰的梯形11、已知函数的导函数，且，，则(   )A.是函数的一个极大值点B.C.函数在处切线的斜率小于零D.12、正方体的棱长为1，中心为O，以O为球心的球与四面体的四个面相交所围成的曲线的总长度为，则球O的半径为(   )A. B. C. D.三、填空题13、若，则________.14、已知，是双曲线两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则点P到y轴的距离为_________.15、已知直线和圆和曲线都经过同一点P，则n的取值范围是_________.16、函数的最大值为_________.四、解答题17、将等差数列排成如图所示的三角形数阵：已知第三行所有数的和为6，第6行第一个数为.(1)求数列的通项公式；(2)设为数阵中第m行的第一个数，求.18、如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，D为上的点，过，，D的截面交于E.(1)证明：；(2)若二面角的大小为，求几何体的体积.19、如图，在中，点D在边上，.(1)证明：；(2)若，，求.20、某校高一(1)班总共50人，现随机抽取7位学生作为一个样本，得到该7位学生在期中考试前一周参与政治学科这一科目的时间(单位：h)及他们的政治原始成绩(单位：分)如下表：复习时间t235681216考试分数y60697881859092甲同学通过画出散点图，发现考试分数与复习时间大致分布在一条直线附近，似乎可以用一元线性回归方程模型建立经验回归方程，但是当他以经验回归直线为参照，发现这个经验回归方程不足之处，这些散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，成对样本数据呈现出明显的非线性相关特征，根据散点图可以发现更趋向于落在中间上凸且递增的某条曲线附近，甲同学回顾已有函数知识，可以发现函数具有类似特征中，因此，甲同学作变换，得到新的数据，重新画出散点图，发现y与x之间有很强的线性相关，并根据以上数据建立y与x之间的线性经验回归方程.考前一周复习投入时间(单位：h)政治成绩合计优秀不优秀h   h   合计  50(1)预测当时该班学生政治学科成绩(精确到小数点后1位)；(2)经统计，该班共有25人政治成绩不低于85分，评定为优秀，而且在考前一周投入政治学可复习时间不低于6h共有30人，除去抽走的7位学生，剩下学生中考前一周复习政治的时间不少于6h政治不优秀共有6人，请填写下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为政治成绩与考前一周复习时间有关.附：，，，，，，，0.010.0050.0016.6357.87910.82821、已知椭圆C：的长轴为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过点的直线l与C交于A，B，过A，B作直线：的垂线，垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数t，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.22、已知函数，.(1)当时，求函数的最小值；(2)设，证明：曲线与曲线有两条公切线.
参考答案1、答案：A解析：，或，所以或，故选：A.2、答案：B解析：解：因为，所以，则.故选：B.3、答案：A解析：由得，，则，又，，则，，故选：A.4、答案：D解析：解：由题意可得一个石磨底面积为：，，所以一个石磨的表面积为：，所以两个石磨的表面积为：.故选：D.5、答案：C解析：因为，，又因为向量，夹角为钝角，所以满足，所以且，因为推不出且，所以充分性不成立，又因为且能推出，所以必要性成立，所以是向量，夹角为钝角的必要不充分条件，故选：C.6、答案：B解析：6个整数中取3个不同的数，共有种情况，三个数作为边长可构成三角形的有，，，，，，，，，，，，共有13种情况，所以概率为，故选：B.7、答案：D解析：因为，，所以，因为，，所以.故选：D.8、答案：C解析：设，，，(，)，则，，则，则，则当t从小到大变化时，的变化情况是一直不变.故选：C.9、答案：ABC解析：因为数列的通项为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，因为公差，所以数列是递减数列，故选项A正确；因为，当时，；当时，，因为，所以当或者时，有最大值，故选项B正确；由可知：，，，所以当或者时，有最大值，故选项C正确；根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知：无最小值，因为，当时，，但零乘任何数仍得零，所以有最小值0，故选项D错误，故选：ABC.10、答案：ABCD解析：曲线为椭圆，点A，B，C，D是椭圆上的依次四点.取，，，，如图所示，四边形中为钝角，其余三个内角为锐角，A选项正确；取，，，，如图所示，四边形中为锐角，其余三个内角为钝角，B选项正确；取，以A为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点D，在第四象限相交于点B，D为圆心，2为半径作弧，与椭圆在第一象限相交于点C，如图所示，则四边形中，，有且仅有三边相等，C选项正确；直线与椭圆相交于A，B两点，直线与椭圆相交于C，D两点，如图所示，则，，四边形为非等腰的梯形，D选项正确.故选：ABCD.11、答案：AB解析：令，解得，则在上单调递增，令，解得或，则在，上单调递减，故是函数的一个极大值点，，A、B正确；，则，故函数在处切线的斜率大于零，C错误；又，则，但无法确定函数值的正负，D错误；故选：AB.12、答案：BC解析：由题意可知：四面体为正四面体，设球O的半径为R；正方体棱长为1，正四面体的棱长为，设球心O到正四面体各个面的距离为d，正四面体体积，表面积，；①若正四面体的一个面截球如图所示，设小圆半径为r，则，解得：，，解得：；②若正四面体的一个面截图如图所示，每个面截球所得的曲线长为，的长为，设小圆半径为r，为正四面体侧面的中心，E为中点，，，又，，，令，，恒成立，在上单调递增，又，，，解得：；综上所述：球O的半径为或.故选：BC.13、答案：729解析：因为的展开式的通项，所以含x的奇数次项的系数为负数，含x的偶数次项的系数为正数，在中，令可得：，即，故答案为：729.14、答案：解析：由双曲线方程可得：，，在中，由余弦定理可得：，即，解得：，设点，则，即，解得：，将点代入双曲线方程可得：，也即点P到y轴的距离为，故答案为：.15、答案：解析：联立，消去y得，则，解得.解方程得，①当时，或，当时，，，；当时，，，；②当时，，当时，，，此时.由于直线和圆和曲线均关于对称，所以根据对称性，只需计算点即可.综上：n的取值范围是.故答案为：.16、答案：8解析：由题意得：，解得：，当时，，当，即时取等号，当时，，当时取等号，当时，，当，即时取等号，因为，所以最大值为8.故答案为：8.17、答案：(1)(2)解析：(1)设等差数列首项为，公差为d.由第三行所有数的和为6可得：，得.由第6行第一个数为知，则，得数列的通项公式为，.(2)由图可得，第m行有m个数字，则第m行的第一个数为第k项，其中.则.，则.18、答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)由题：，因为平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以.(2)过B作的垂线，垂足为F，连接，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以就是二面角的平面角，即有，又，所以，底面是边长为2的正三角形，取AB的中点G，连接CG，交AE于点H，则，且，，故，所以，，，因为，所以，，E，D四点共线，又，不平行，故，相交，且由公理可知交点必定在上，所以几何体是三棱台，因为，所以三棱台的高，所以几何体的体积为.19、答案：(1)证明见解析(2)解析：(1)在中，由正弦定理知：，即，又，可得，在中，所以，所以.(2)不妨设，则，在中，由余弦定理知；，在中同理可知：，在中，，即有，解得.20、答案：(1)51.9分(2)表格见解析，认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001解析：(1)，，所以，且，所以预测当时，，即该班学生政治学科成绩约为51.9分.(2)列联表：考前一周复习投入时间(单位：h)政治成绩合计优秀不优秀h23730h21820合计252550零假设为：认为政治成绩与考前一周复习时间无关，，依据的独立性检验，推断不成立，即认为政治成绩与考前一周复习时间有关，此推断犯错误的概率不超过0.001.21、答案：(1)(2)时，定值，理由见解析解析：(1)因为椭圆C：的长轴为4，离心率为，所以，解得，，故，所以椭圆C的方程为.(2)设，，：，则，，，则①，联立与，消去x得，则，得，代入①得，则当即时，为定值.22、答案：(1)0(2)证明见解析解析：(1)解：令，则，，易知在R上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，，所以当时，函数有最小值为0；(2)证明：曲线与曲线分别在点，处有公切线，等价于直线与直线重合，又，，即，消去得，令，则有(*)，曲线与曲线有两条公切线即证(*)有两个不同的解，令，则，因为，所以，，单调递减；，，单调递增，故有最小值为，又，所以在区间上有唯一零点；下面考虑在区间上的零点情况：先证：对任意的正数m，存在正实数，使得当时，都有(**)，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，(i)当时，，可以是任意的正数；(ii)当时，由(i)知，取，则当时，都有，所以对任意的正数m，当时，都有，所以当，，当时，，所以取时，，所以在区间上也有唯一零点，综上，(*)有两个不同的零点即曲线与曲线有两条公切线.