泰州市兴化市板桥初级中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题（含解析）

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泰州市兴化市板桥初级中学2022-2023学年七年级上学期期末
数学试题
（考试用时：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 相反数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
2. 有理数、在数轴上对应点的位置如图所示，下列各选项正确的是（　　）

A. B. C. D.
3. 已知：，，．下列大小关系中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 几个人打算合买一件物品．每人出12元，还少2元；每人出13元，就多10元，则总人数有（　　）
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
5. 已知，，且，则的值为（　　）
A. 1 B. 5 C. 1或 D. 5或
6. 如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（　　）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. 单项式的系数是_____________.
8. 太阳的半径约为，696000 用科学记数法表示为___________．
9. 若与是同类项，则___________．
10. 小王同学在解方程时，发现“”处的数字模糊不清，但察看答案可知该方程的解为，则“”处的数字为___________．
11. 若，则的值是___________．
12. 若，则的值为___________．
13. 如下图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是______．

14. 如图，线段，是的中点，点在上，且，则线段的长为___________．

15. 一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为________°．
16. 小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是，则小明外出的时间是___________分钟．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 解下列方程：
（1）；
（2）．
20. 已知，．
（1）当时，求代数式的值；
（2）试判断、的大小关系，并说明理由．
21. 如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．

（1）利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
（2）线段________长度是点到直线的距离；
（3）比较大小：________（填＞、＜或＝）．
22. 已知方程的解也是关于的方程的解．

（1）求的值；
（2）若线段，在直线上取一点，恰好使，点为的中点，求线段的长．
23. 如图，直线与相交于点，，．

（1）图中与互余的角是___________；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果，求的度数．
24. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下：
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
25. （1）如图①，过平角的顶点画射线，、分别是、的平分线．射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？

（2）如图②，是直角，是内的一条射线，、分别是、的平分线．的度数是多少？为什么？

（3）是直角，是外一条射线，、分别是、的平分线．的度数是多少？为什么？
26. 如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板(其中)直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间数量关系为___________；
（2）若射线的位置固定不变，且．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边与射线相交．
()求的值．
()若，求的度数．
答案与解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2023 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数定义：符号不同的两个数互为相反数，直接得出答案．
【详解】解：根据相反数定义，的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查相反数定义，熟记符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．
2. 有理数、在数轴上对应点的位置如图所示，下列各选项正确的是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数a、b在数轴上对应点的位置，可知，，再根据有理数的运算法则逐个进行判断即可．
【详解】解：根据有理数a、b在数轴上对应点的位置，可知，，
∴，故A选项不符合题意；
∴，故B选项符合题意；
∴，故C选项不符合题意；
∴，故D选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘法，有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
3. 已知：，，．下列大小关系中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出a，b，c的值，再进行大小比较即可．
【详解】，
，



故选:C．
【点睛】本题考查了有理数的乘法、乘方、有理数的大小比较法则，利用有理数的运算法则求出的值是解题关键．
4. 几个人打算合买一件物品．每人出12元，还少2元；每人出13元，就多10元，则总人数有（　　）
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
【答案】D
【解析】
【分析】设出总人数，利用买物品的总钱数不变，列出方程进行求解．
【详解】解：设总人数为x人；
则：
解得：．
即总人数为12人，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
5. 已知，，且，则值为（　　）
A. 1 B. 5 C. 1或 D. 5或
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值以及平方的性质求得a，b的值，然后分情况代入数据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，或，，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值，平方的性质，正确确定a，b的值是关键．
6. 如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（　　）

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图进行分析小立方体的个数，然后问题可求解．
【详解】解：由俯视图可得得最底层有5个立方体，由左视图可得第二层最少有1个立方体，最多有3个立方体，所以小立方体的个数可能是6个或7个或8个，小立方体的个数不可能是5．
故选A．
【点睛】本题主要考查了三视图的应用，掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个立方体．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7. 单项式的系数是_____________.
【答案】﹣
【解析】
【详解】试题分析：单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
解：单项式的系数是﹣．
故答案为﹣．
8. 太阳的半径约为，696000 用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
9. 若与是同类项，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
解得：，．
则．
故答案为．
【点睛】本题考查了同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出m、n的值是解题的关键．
10. 小王同学在解方程时，发现“”处的数字模糊不清，但察看答案可知该方程的解为，则“”处的数字为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据方程的解满足方程，设，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值．
【详解】解：设，
由是的解，得
，
解得．
故答案为：4．
【点睛】本题考查解一元一次方程的解和解方程，解题的关键是掌握解一元一次方程．
11. 若，则的值是___________．
【答案】11
【解析】
【分析】将，整体代入代数式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是整体代入．
12. 若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用非负数的性质得出的值，代入计算得出答案．
【详解】解：，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握非负数的意义和性质是正确解答的关键．
13. 如下图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是，理由是______．

【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短，据此作答即可．
【详解】】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．
14. 如图，线段，是的中点，点在上，且，则线段的长为___________．

【答案】4
【解析】
【分析】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，已知可得，再由解即得．
【详解】解：因为线段，是的中点，
所以，
因为，，
所以．
故答案为：4．
【点睛】本题考查两点之间的距离，理解线段的中点的概念，结合图形进行线段的和差计算是解题的关键．
15. 一个角的补角是其余角的4倍，则这个角为________°．
【答案】60
【解析】
【分析】设这个角的度数为x，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为，补角为，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
16. 小明下午4点多外出购物，当时钟面上的时针与分针的夹角恰好为，下午不到5点回家时，时针与分针的夹角又是，则小明外出的时间是___________分钟．
【答案】32
【解析】
【分析】根据题意，设小明外出到回家时针走了，则分针走了，可得到时针的度数，又因为时针每小时走，故小明外出用的时间可求．
【详解】解：设时针从小明外出到回家走了，则分针走了，由题意，得，
解得，
时针每小时走，
小时，
即小明外出用了32分钟时间．
故答案为：32
【点睛】本题考查应用类问题，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动时针转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立方程求解．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解；
（2）先计算乘方，再根据有理数乘法运算进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：


；
【小问2详解】
解：




．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算顺序是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【解析】
【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将，代入进行计算即可求解．
【详解】解：

；
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，正确的去括号与合并同类项是解题的关键．
19 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化为1，；
【小问2详解】
，
去分母，，
去括号，，
移项，，
合并同类项，，
系数化为1，．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
20. 已知，．
（1）当时，求代数式的值；
（2）试判断、的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析；
【解析】
【分析】（1）先将代数式去括号化简，然后再将M和N代入，去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值；
（2）利用作差法并结合偶次幂的非负性进行分析判断．
【小问1详解】
解：，
∵，，
∴原式

，
当时，原式；
【小问2详解】
解：，
理由：

，
∵无论x为何值，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“−”号，去掉“−”号和括号，括号里的各项都变号）的法则是解题关键．
21. 如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．

（1）利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
（2）线段________的长度是点到直线的距离；
（3）比较大小：________（填＞、＜或＝）．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
（3）＜
【解析】
【分析】（1）①根据图性可得直线是经过长为3个网格长，宽为1个网格长的长方形的对角线，然后过点C且位于点C右上方，作经过长为3个网格长，宽为1个网格长的长方形的对角线的直线CD，即可求解；
②根据图性可得直线是经过长为3个网格长，宽为1个网格长的长方形的对角线，然后过点C且位于点C右下方，作经过长为3个网格长，宽为1个网格长的长方形的对角线的直线CE，交AB于点F，即可求解；
（2）根据点到直线的距离，就是点到直线的垂线段，即可求解；
（3）根据点到直线，垂线段最短，即可求解．
【小问1详解】
解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；

理由：∵AB∥CD，CD⊥CE，
∴AB⊥CE；
【小问2详解】
解：根据点到直线的距离，就是过点到直线的垂线段，得：
线段长度是点到直线的距离；
【小问3详解】
解：∵点到直线，垂线段最短，
∴CF＜CB．
【点睛】本题主要考查了作平行线和垂线，平行线的性质，点到直线的距离，熟练掌握平行线的性质，点到直线，垂线段最短是解题的关键．
22. 已知方程的解也是关于的方程的解．

（1）求的值；
（2）若线段，在直线上取一点，恰好使，点为中点，求线段的长．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出的值，然后代入另一个方程中，求出的值即可；
（2）分类讨论，先根据题意求出，的长度，再利用线段中点的性质求出，即可解答．
【小问1详解】
解：，
解得：，
把代入，
解得：；
小问2详解】
解：，，
∴，
当在线段上时，

∵，
，，
点为的中点，
，
；
当在的延长线上时，如图，

∵，，
∴，
解得：，
点为的中点，
，
，
答：线段的长为或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，有关线段中点的计算，准确熟练进行计算是解题的关键．
23. 如图，直线与相交于点，，．

（1）图中与互余的角是___________；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）和；
（2）．
【解析】
【分析】（1）若两角之和为，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”．据此进行求解；
（2）根据进行求解．
【小问1详解】
∵，，
∴与互余的角是和；
故答案为：和；
【小问2详解】
∵， ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直的定义和余角的知识，注意结合图形进行求解．
24. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：
购买苹果数
不超过30千克
30千克以上但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
3元
2.5元
2元
甲班分两次共购买苹果80千克（第二次多于第一次），共付出185元，乙班则一次购买苹果80千克．
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？
【答案】（1）25元；
（2）甲班第一次购买苹果25千克，第二次购买55千克．
【解析】
【分析】（1）首先根据总价＝单价×数量，用一次性购买50千克以上苹果时，每千克苹果的价格乘以80，求出乙班付出多少钱；然后用甲班付出的钱数减去乙班付出的钱数，求出乙班比甲班少付出多少元即可．
（2）根据第二次多于第一次，分三种情况讨论：①其中一次不30千克以下，另一次50千克以上；②当，时，不满足题意；③两次都30千克以上，但不超过50千克，根据两次一共付出185元，则有：，不满足题意，求出甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克后结合题意分析即可．
【小问1详解】
解： （元）
答：乙班比甲班少付出25元．
【小问2详解】
设甲班第一次、第二次分别购买苹果、千克，则依据题意得：
①当，，则有：
，解得：，经检验满足题意；
②当，时，，不满足题意；
③当，，则有：，不满足题意．
答：甲班第一次购买苹果25千克，第二次购买55千克．
【点睛】此题主要考查了单价、总价、数量的关系，以及二元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
25. （1）如图①，过平角的顶点画射线，、分别是、的平分线．射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？

（2）如图②，是直角，是内的一条射线，、分别是、的平分线．的度数是多少？为什么？

（3）是直角，是外的一条射线，、分别是、的平分线．的度数是多少？为什么？
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）或，见解析．
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义表示出和，然后根据进行计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义表示出和，然后分两种情况作出图形，列式计算即可得解．
【详解】解：（1）．
理由：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）．
理由：∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴；
（3）∵、分别是、的平分线，
∴，，
分两种情况：
如图3，



；
如图4，




．

【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键，同时要注意分情况讨论．
26. 如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板(其中)的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间数量关系为___________；
（2）若射线的位置固定不变，且．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边与射线相交．
()求的值．
()若，求的度数．
【答案】（1）
（2）①存在，、、；；②(；()
【解析】
【分析】(1)由知、，可得；
(2)①当平分时、当平分时、当平分时，分别列出关于的方程，解之可得；
②()根据角的和差即可得到结论；
()根据已知条件建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：．
理由如下：
，
，，
恰好平分
，
，
故答案为：，
【小问2详解】
①存在．
理由：，
，
当平分时，，即，解得；
当平分时，，即，解得；
当平分时，，即，解得：；
综上所述，的值为、、；
②()，，
，
的值为．
()∵
设，则，，，，
∵，
∴，
解得：，
即．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，一元一次方程的应用，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．