专题08 全等模型巩固练习（解析版+原卷版+知识点）

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全等模型巩固练习1． 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的顶点A，C处各有一只小蚂蚁，它们同时出发，分别以相同速度由A向B和由C向A爬行，经过t（s）后，它们分别爬行到了D，E处，设DC与BE的交点为F．（1）证明△ACD≌△CBE；（2）小蚂蚁在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请说明理由．【解答】（1）见解析；（2）∠BFC无变化【解析】（1）证明：∵小蚂蚁同时从A、C出发，速度相同，∴t（s）后两只小蚂蚁爬行的路程AD＝CE，∵在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC＝∠ACD，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC无变化．2． 如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，先在地面上取一点C，使∠ACB＝90°，然后延长BC至D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到A，B两点之间的距离，你能说明其中的道理吗？【解答】见解析【解析】能，理由是：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACD和△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（SAS），∴AB＝AD．3． 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（2，2）．（Ⅰ）若点B（4，2），C（3，5），请判断△ABC的形状，并说明理由；（Ⅱ）已知点M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn，求m2+n2的值．【解答】（Ⅰ）△ABC的等腰三角形；（2）【解析】（Ⅰ）如图1中，观察图形可知CA＝CB，∴△ABC的等腰三角形．（Ⅱ）如图2中，作AD⊥y轴于D，AE⊥OM于E．∵A（2，2），∴AD＝AE，四边形ADOE是正方形，∵∠DAE＝∠MAN＝90°，∴∠DAN＝∠MAE，∵∠ADN＝∠MEA＝90°，∴△ADN≌△AEM（ASA），∴DN＝EM，∴2﹣n＝m﹣2，∴m+n＝4，∴m2+2mn+n2＝16，∵mn，∴m2+n2＝16．4． 如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了100步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE，又∵小刚共走了100步，其中AD走了40步，∴走完DE用了60步，步大约50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为30米．5． 【问题背景】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是　EF＝BE+FD　．【探索延伸】在四边形ABCD中如图2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】见解析【解析】初步探索：EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD，探索延伸：结论仍然成立，证明：如图2，延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；结论运用：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此时两舰艇之间的距离是210海里．6． 如图：小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB与AD，使他们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．试利用全等知识，说明角平分仪的画图原理．【解答】见解析【解析】∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE平分∠PRQ．7． 如图，C、D分别位于路段A、B两点的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度行驶最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？【解答】见解析【解析】CE∥DF，理由：由题意得，∠A＝∠B＝90°，在Rt△AEC与Rt△BFD中，，∴Rt△AEC≌Rt△BFD，∴∠AEC＝∠BFD，∴CE∥DF．8． 如图是小磊家的两个房间甲与乙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当他在甲房间时，测得MA＝a，NB＝b，求甲房间的宽AB；（2）当他在乙房间时，测得MA＝c，NB＝d，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°①求∠MPN的度数；             ②求乙房间的宽AB．【解答】（1）a+b；（2）①60°；②c【解析】（1）∵∠MPN＝180°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP与△BPN中，，∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，∴AB＝PA+PB＝a+b；（2）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．设AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴cos15°．∵△PNM为等边三角形，∴NM＝PM．∴x＝MA＝c．即乙房间的宽AB是c．9． （1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连结BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；（2）请模仿正方形情景下构造全等三角形的思路，利用构造全等三角形完成下题：如图2，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长（结果保留根号）．【解答】（1）CD＝BE；（2）100米【解析】（1）CD＝BE．理由：如图①∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）如图②，在AB的外侧作AD⊥AB，使AD＝AB，连结CD，BD，∴∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°．∵∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠ABC＝45°+45°＝90°，即∠DBC＝90°．∴∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．∵AB＝100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得BD＝100．∴CD100，∴BE＝CD＝100，答：BE的长为100米．10．如图，在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行，经过7分钟后，它们分别爬行到D、E处，设DC与BE的交点为点F．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）蜗牛在爬行过程中，DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化？请证明你的结论．【解答】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：∵AB＝BC＝CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE＝AD；∠A＝∠BCE＝60°，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）； （2）DC和BE所成的∠BFC的大小不变．理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD＝120°．11．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．【解答】20m【解析】∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB，在△ABO与△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD＝AB＝20（m）．12．对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）【解答】（1）；（2）①见解析；②见解析【解析】（1）由图①，可得∠BCE∠BCD＝45°，又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴cos45°，即CEBC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CDAD，∴；（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CDa，BE＝a，∴AE＝（1）a，如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（1）a，设AP＝x，则BPa﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH＝∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠APH+∠BPC＝90°，∴∠CPH＝90°；②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，又∵∠DCH＝∠ECH，∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．