专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题【考点精讲】-【中考高分导航】备战 中考数学考点总复习（全国通用）

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知识导航方法技巧若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标.以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.题型精讲题型一：平行四边形存在性问题【例1】（2021·湖南）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．已知，点是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与，重合），过点作，垂足为，交于点．作，垂足为，求的面积的最大值；（3）如图2，点是抛物线的对称轴上的一个动点，在抛物线上，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）的面积最大值为；（3）点的坐标为或或．【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解；（3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当以AC为平行四边形的边时，②当以AC为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线的表达式为，则把点代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为，即为；（2）由（1）可得抛物线的表达式为，则有，∴，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO=∠ACO=45°，∵，∴∠AED=∠CAO=45°，∴∠AED=∠PEF=45°，∵，∴△PEF是等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，如图所示：∴，∴，∴要使面积最大则PE的值为最大即可，设直线AC的解析式为，代入点A、C的坐标得：，解得：，∴直线AC的解析式为，设点，则，∴，∵-1＜0，开口向下，∴当时，PE有最大值，即为，∴△PEF面积的最大值为；（3）存在以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得，，∠CAO=∠ACO=45°，抛物线的对称轴为直线，∴，∠CAO=∠ADQ=45°，①当以AC为平行四边形的边时，如图所示：过点P作PG⊥l于点G，∵四边形APQC是平行四边形，∴，AC∥PQ，∴∠ADQ=∠PQG=45°，∴△PQG是等腰直角三角形，∴，∴点P的横坐标为-4，∴；②当以AC为平行四边形的边时，如图所示：同理①可得点P的横坐标为2，∴；③当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：∵四边形AQCP是平行四边形，∴，设点，∴由中点坐标公式可得：，∴，∴；综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．题型二：菱形存在性问题【例2】（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．（1）求的值；（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），∵0