吉林省长春日章学园高中2023届高三下学期数学周测试卷(1)

这是一份吉林省长春日章学园高中2023届高三下学期数学周测试卷(1)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线，若，则a的值为（ ）
A．或2B．3或C．D．2
2．已知P是圆上动点，直线，则点P到直线l距离的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
3．抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．8B．C．D．2
4．过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3B．C．D．
5．圆与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
6．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．已知双曲线的左右焦点分别为，，实轴为，虚轴为，直线与直线相交于点.若，则的离心率等于（ ）
A．5B．3C．D．
8．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
二、多选题
9．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
11．若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是（ ）
A．到直线的距离为B．的面积为
C．的垂直平分线过点D．以为直径的圆过点
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若（为坐标原点），，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程
B．双曲线的离心率为
C．的面积为
D．
三、填空题
13．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______．
14．已知抛物线的焦点为，点，在上，，则线段的中点到准线的距离为___________.
15．已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，若，则椭圆的离心率为__________.
16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若（O为坐标原点）的面积为，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题
17．已知圆的圆心在直线上，且圆经过原点和点
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆被斜率为1的直线截得的弦长为2，求直线的方程.
18．已知椭圆的长轴长为10，焦距为6．
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
19．已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积．
20．已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点).
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.
参考答案：
1．C
【分析】根据直线平行得到，得到解得或，再验证得到答案.
【详解】，，则，
解得或，
当时，，两直线重合，排除；
当，验证满足.
综上所述：.
故选：C
2．D
【分析】先判断直线与圆C相离，再求出圆心到直线的距离，点P到直线l距离的最小值为圆心到直线的距离减半径.
【详解】可化为，所以圆心，半径为，
所以圆心C到直线的距离为，由知直线与圆C相离，
所以点P到直线的最小距离为，
故选：D．
3．C
【分析】根据抛物线以及双曲线的标准方程，分别明确其准线以及左焦点的坐标，由题意，建立方程，可得答案.
【详解】由抛物线方程，可得其准线方程为，
由双曲线方程，则其左焦点坐标可表示为，
故，解得，则双曲线的虚轴长为.
故选：C.
4．B
【分析】由题意可知，先求出，从而可求得结果.
【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，切点为B，所以，则，
因为，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】将两圆方程做差可得公共弦方程，再求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离，利用公共弦长为求解即可．
【详解】将两圆，的方程相减得：，
由圆，即，可知圆心为，半径为2，
圆心到直线距离，
所以公共弦长.
故选：C.
6．C
【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆相交，即可得出答案.
【详解】由圆方程，可得圆心，半径；
由圆方程，可得圆心，半径.
所以，，且，
所以两圆相交，公切线条数为2.
故选：C.
7．A
【分析】连接，通过构造平行线，由对应线段成比例，解得，可得双曲线的离心率.
【详解】如图所示，，则，
连接，由双曲线的对称性，可得，
，得，故双曲线的离心率．
故选：A．
8．C
【分析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，结合椭圆的性质即可判断A；根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，即可判断B；卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，即可判断C；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，由此即可判断D．
【详解】A选项：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；
B选项：根据卫星的向径在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；
C选项：卫星运行在近地点时向径最小，在远地点时向径最大，由于卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故C错误；
D选项：卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则越大，椭圆越扁，故D正确.
故选：C．
9．BC
【分析】分别根据各项双曲线的方程，求出渐近线方程，即可得出答案.
【详解】对于A项，的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，的渐近线方程为，故B项正确；
对于C项，的渐近线方程为，故C项正确；
对于D项，的渐近线方程为，故D项错误.
故选：BC.
10．BC
【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.
【详解】由于，所以，
对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,
对于B,当时，是双曲线，故B正确,
对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,
故选:BC
11．BC
【分析】对A，利用点到直线的距离公式即可，对B，求出直线方程为，联立抛物线方程求出点坐标，则可求出面积，对C，根据抛物线定义得即可判断，对D，根据点坐标写出两点直径式方程，代入检验即可.
【详解】对A，易知抛物线的焦点，直线即为，
故到直线的距离为，故A错误；
对B，设直线方程为，代入，
得，解得，则直线方程为
联立抛物线方程，解得或，
因为点在第一象限，故取，即，
则，故B正确，
对C，根据抛物线定义得，则的垂直平分线过点，故C正确，
对D，，，故以为直径的方程为，
将点代入左边得，故D错误.
故选：BC.
12．AB
【分析】根据已知得出，即可通过得出，结合双曲线定义得出，，，即可得出双曲线的离心率，渐近线方程与的面积，判断选项D，即可得出答案.
【详解】设，
，，
，
，
，
，
又，
，
的面积为，故C错误；
则，
，，
双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为，
故AB正确；
，故D错误；
综上所述：选项AB正确，
故选：AB.
13．或
【分析】分截距等于零和不等于零分类讨论求解.
【详解】若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，
因为过点，所以，，
所以直线方程为，即；
若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，
因为过点，所以，，
所以直线方程为，即；
故答案为: 或.
14．7
【分析】设，，由焦半径公式得到方程，求出，从而得到线段的中点到准线的距离.
【详解】设，，易知，
因为，所以，解得，
则线段的中点的横坐标为4，所以该中点到准线的距离为.
故答案为：7
15．##
【分析】由得关系,变形后可求得离心率.
【详解】根据题意，
所以离心率.
故答案为：．
16．
【分析】不妨设曲线的渐近线的方程为，求出直线的方程，联立方程求得P点纵坐标，根据面积可得化简可得，求得，即可求得答案.
【详解】设双曲线的左，右焦点分别为，,
不妨设曲线的一条渐近线的方程为，
因为过作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，则，
所以直线的方程为 ，
联立，解得，
则,即，即，
化简可得 ，故
所以 曲线的渐近线方程为，
故答案为：．
17．(1)；
(2)或.
【分析】（1）由已知可推得圆心在的中垂线上，联立即可求出圆心坐标，求出半径，即可得出答案；
（2）设直线的方程为，根据已知列出方程，求出即可.
【详解】（1）因为圆经过原点和点，所以圆心在的中垂线上，
又因为圆心在直线上，
联立方程：，解得：，
则半径，
所以圆的方程为.
（2）依题意可设直线的方程为.
由垂径定理和勾股定理可知，圆心到直线的距离，
而圆心到直线的距离，
即有：，
解得：，
所以直线的方程为或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程
（2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
【详解】（1）设C的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以C的方程为．
（2）设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则l的斜率，
所以l的方程为，
即．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线得定义和几何关系即可求解；（2）根据面积公式的铅锤法求面积即可求解.
【详解】（1），
又点在抛物线C上，
根据抛物线的定义，，
所以，
所以，
所以，
代入得，，
所以，
所以抛物线C：.
（2）根据题意，F坐标为，
，
所以直线.
联立和，
所以，
所以
所以，
所以
20．(1)
(2)
【分析】（1）首先设出共渐近线的双曲线方程，再将点代入方程，即可求解；
（2）首先设点，利用坐标表示，利用点在双曲线上，即可化简求定值.
【详解】（1）设双曲线的方程为，
将(4，－)代入可得，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)，
则，，
而点P在双曲线上，点，即.
故.