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黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
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这是一份黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题,文件包含哈工大附中2022-2023学年度第一学期期末考试试题答案docx、哈工大附中2022-2023学年度第一学期期末考试试题docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共20页, 欢迎下载使用。
哈工大附中2022-2023学年度第一学期期末考试试题一、单选题1.已知,则( )A. B.C. D.【答案】C【分析】由并集和补集的概念即可得出结果.【详解】∵∴,则,故选:C.2.函数的定义域为( )A. B.C. D.【答案】B【分析】根据中满足,中求解函数的定义域.【详解】要求函数的定义域,则满足所以的定义域为故选:B3.已知,是两个不重合的平面,,是两条不重合的直线, 则下列命题不正确的是( )A.若,,则 B.若,,,则C.若,,则 D.若,,,则【答案】B【分析】根据线面位置关系逐一判断即可.【详解】若,,则一定有,A正确;若,,,则,可能平行,也可能相交,B错误;若,,则一定有,C正确;若,,,则,显然成立,D正确.故选:B4.甲射击命中目标的概率为,乙射击命中目标的概率为.甲乙是否命中目标互相无影响.现在两人同时射击目标一次,则目标至少被击中一次的概率是( )A. B. C. D.【答案】D【分析】由目标至少被击中一次对立事件为一次也没击中计算即可.【详解】甲射击命中目标的概率为,乙射击命中目标的概率为,目标至少被击中一次的概率是.故选:D.【点睛】本题主要考查了独立事件概率的计算及利用对立事件求概率,属于基础题.5.已知,则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据给定条件,求出,再利用齐次式法计算作答.【详解】因,则,所以.故选:C6.已知函数,则它的部分图像大致是( )A. B.C. D.【答案】A【分析】利用奇偶性及特殊值即可解决问题.【详解】因为的定义域为,关于原点对称,而,且,所以函数为非奇非偶函数,故C,D错误,排除;当时,,故B错误,故选:A.7.已知圆方程:,则直线被圆截得的弦长为( )A. B. C. D.8【答案】B【分析】求得圆心和半径,结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得正确答案.【详解】圆,即,所以圆心,半径,圆心到直线的距离为,所以直线被圆截得的弦长为.故选:B8.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论,这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方,对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是:在1和2之间插入11个正数,使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列,依此规则,新插入的第3个数应为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】根据题意,不妨设这13个数组成依次递增的等比数列为,公比为,则,所以,即,所以新插入的第3个数为.故选:A二、多选题9.下列叙述不正确的是( )A.若,则B.“”是“”的充分不必要条件C.命题:,,则命题的否定:,D.函数的最小值是4【答案】BD【分析】对于A.由不等式的性质验证;对于B.解对数不等式,再判断;对于C.由全称命题的否定验证;对于D.举反例.【详解】对于A.由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变,则若,则,故A正确;对于B.由得,则,即“”是“”的必要不充分条件,故B不正确;对于C.由全称命题的否定知,命题:,,的否定为,,故C正确;对于D.当时,,故函数的最小值不为4,故D错误.综上所述,选项BD不正确,故选:BD.10.某商家为了了解顾客的消费规律,提高服务质量,收集并整理了2019年1月至2021年12月期间月销售商品(单位:万件)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列说法正确的是( )A.月销售商品数量逐月增加B.各年的月销售商品数量高峰期大致在8月C.2020年1月至12月月销售数量的众数为30D.各年1月至6月的月销售数量相对于7月至12月,波动性大,平移性低【答案】BC【分析】由折线图,结合数字特征及曲线的分布特征可以看出AD选项错误;BC选项正确.【详解】月销售商品数量从8月到9月,是减少的,故A错误;各年的月销售商品数量高峰期大致在8月,B正确;2020年1月至12月月销售数量为30的有1月,3月,6月,9月,有4个,其他均低于4个,故众数为30,C正确;各年1月至6月的月销售数量相对平稳,波动性小,D错误;故选:BC11.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )A. B.C. D.【答案】CD【分析】根据奇偶性的定义及常见基本初等函数的单调性即可求解.【详解】解:对A:因为时,在上单调递增,故选项A错误;对B:因为在上单调递增,故选项B错误;对C:因为,定义域为,所以为偶函数,又为增函数,时,为减函数,所以由复合函数单调性的判断法则有函数在区间上单调递减,故选项C正确;对D:为偶函数,又在区间上单调递减,故选项D正确.故选:CD.12.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是( )A.B.若.则C.若,则是等腰三角形D.若为锐角三角形,则【答案】ABD【分析】由正弦定理边化角可判断A;用正弦定理边化角,然后使用正弦的两角差公式化简可判断B;根据角的范围直接判断A、B的关系可判断C;根据角的范围和诱导公式可判断D.【详解】A选项:由正弦定理可知,A正确;B选项:因为,所以,即,易知,所以,即,所以,B正确;C选项:因为,,且,所以或,即或,所以是等腰三角形或直角三角形,故C错误;D选项:因为为锐角三角形,所以,即,所以,D正确.故选:ABD三、填空题13.复数,则________.【答案】【分析】先利用复数的除法运算化简,再利用模长公式计算模长即可求解.【详解】,所以,故答案为:.14.已知,,则________.【答案】【分析】利用题意可得到,再利用模的坐标公式即可求解【详解】因为,,所以,所以故答案为:15.设为等差数列,若,则的值为_________【答案】【分析】先用等差数列的性质求出,在求的值即可.【详解】在等差数列中,因为,所以,所以,故答案为:.16.已知双曲线左,右焦点分别为,若双曲线右支上存在点使得,则离心率的取值范围为_______.【答案】【分析】在中,由正弦定理可得,再由已知可得,根据点在双曲线右支上,得到关于的不等式,从而可求出的范围.【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点,否则无意义.在中,由正弦定理得.因为,所以,所以.因为点在双曲线右支上,所以,所以,得.由双曲线的性质可得,所以,化简得,所以,解得.因为,所以.即双曲线离心率的取值范围为.故答案为:.四、解答题17.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在上的最值.【答案】(1)(2)最大值为,最小值为 【分析】(1)利用辅角公式,可得,再根据正弦函数的周期性求得函数的最小正周期.(2)根据正弦函数的性质,可求得函数在上的最值.【详解】(1)解:∵,∴,即函数的最小正周期为.(2)解:在区间上,,∴,∴,∴的最大值为,的最小值为.18.在中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积,求的周长.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用正弦定理即可求解;(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.【详解】(1)因为,由正弦定理得,因为,所以,即,因为,所以.(2),所以,由余弦定理得,所以的周长为.19.已知是等差数列的前n项和,且.(1)求数列的通项公式;(2)为何值时,取得最大值并求其最大值.【答案】(1);(2)n=4时取得最大值.【分析】(1)利用公式,进行求解;(2)对进行配方,然后结合由,可以求出的最大值以及此时的值.【详解】(1)由题意可知:,当时,,当时,,当时,显然成立,∴数列的通项公式;(2),由,则时,取得最大值28,∴当为4时,取得最大值,最大值28.【点睛】本题考查了已知求,以及二次函数的最值问题,根据的取值范围求最大值是解题的关键.20.2022年,是中国共产主义青年团成立100周年,为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程,某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛,现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本,并将得分分成以下6组:,统计结果如图所示:(1)试估计这100名学生得分的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值代表);(2)试估计这100名学生得分的中位数(结果保留两位小数);(3)现在按分层抽样的方法在和两组中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会,求两人都在的概率.【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)根据频率分布直方图直接平均数求法解决即可;(2)根据频率分布直方图中位数求法解决即可;(3)根据分层抽样得在分组中抽取的人数为人,在分组中抽取的人数为2人,有古典概型概率求法解决即可.【详解】(1)由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数(2)因为成绩在的频率为,成绩在的频率为,所以中位数为(3)在和两组中的人数分别为和人,所以在分组中抽取的人数为人,记为,在分组中抽取的人数为2人,记为,所以这5人中随机抽取2人的情况有共10种,其中两人得分都在的情况有1种,所以两人得分都在的概率为.21.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,左端点为.(1)求椭圆的方程;(2)求过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆所截的弦的长.【答案】(1);(2).【解析】(1)由抛物线的焦点可求得的值,由椭圆左端点可得的值,根据可得的值;(2)由点斜式易得直线的方程,把的方程代入椭圆方程消掉可得关于的二次方程,设,根据韦达定理及弦长公式即可得弦的长【详解】解:因为抛物线的焦点为(2,0),所以 又椭圆的左端点为 , ,则,故所求椭圆的方程为,(2)因为椭圆的又焦点 ,的方程为,代入椭圆C的方程,化简得,设,由韦达定理可知所以,,由弦长公式得,22.如图,在四棱锥P-ABCD中,CD平面PAD,为等边三角形,,,E,F分别为棱PD,PB的中点.(1)求证AE平面PCD;(2)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值;(3)在棱PC上是否存在点G,使得DG平面AEF?若存在,求的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,.【分析】(1)根据平面得到,根据为等边三角形,得到,然后利用线面垂直的判定定理证明即可;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求二面角即可;(3)设,得到,然后利用空间向量和∥平面列方程,解得即可.【详解】(1)∵平面,平面,∴,∵为等边三角形,为中点,∴,∵,平面,平面,∴平面.(2)取中点,连接,,∵平面,平面,平面,∴平面平面,,∵为中点,为等边三角形,∴,,∵平面平面,平面,∴平面,∵,,∴四边形为平行四边形,,如图,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,,,,,,∵平面,∴可以作为平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,令,则,,,所以,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(3),,,,设,则,∵∥平面,∴,解得,所以在棱上存在点使∥平面,此时.
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