初中数学人教版七年级下册5.3.2 命题、定理、证明教学设计及反思

课题

5.3.2　命题、定理、证明

授课人

教

学

目

标

知识技能

　　掌握命题、定理的概念,并能分清命题的题设和结论,能判定真命题和假命题;能根据已知条件对简单问题进行证明.

数学思考

　　通过讨论、探究、交流等形式,使学生在辩论中获得知识体验.

问题解决

　　用类比的方法,经历自主学习、合作探究,领悟命题的有关概念.

情感态度

　　在学习过程中培养学生敢于怀疑、大胆探究的品质,培养合作、交流的能力,从活动中体会学习的快乐.

教学

重点

　　掌握命题、定理的概念,并能分清命题的组成.

教学

难点

　　分清命题的组成,并能把一个命题改写成“如果……那么……”的形式.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

下列6个语句,有什么不同?你能对它们进行分类吗?如果你能分类,分类的依据是什么?

(1)熊猫没有翅膀;(2)对顶角相等;(3)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;(4)你喜欢数学吗?(5)作线段AB=CD;(6)清新的空气;(7)不许讲话.

指出像(1)(2)(3)这样判断一件事情的语句,叫做命题.

　　既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式.

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 命题的概念

分析下列语句:

(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;

(2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补;

(3)对顶角相等;

(4)树不是动物;

(5)等式两边加同一个数,结果仍是等式.

这些语句有什么共同特点?

共同特点:以上每句话都对一件事情作出了判断.

也有的语句没有对事情作出任何肯定或否定的判断,例如:

(6)过直线AB外一点P,可以作几条直线与AB平行?

(7)过直线AB外一点P,作AB的垂线;

(8)a与b的和的2倍.

像(1)~(5)语句这样,判断一件事情的句子叫做什么呢?

学生看书,思考与交流,最后总结:

命题:对一件事情作出了肯定或否定的判断的句子叫做命题.

　　通过各类型的语句探究命题的概念.

活动

二:

探究

与

应用

【应用举例】

例1　下列语句是命题的是 (C)

A.连接A,B两点　　　　   B.用三角尺画∠AOB=30°

C.两点之间,线段最短　　  D.一个数的立方大于它本身吗?

【探究2】 命题的题设和结论

命题由题设和结论两部分组成,其中“题设”是已知事项,即命题中的已知条件;“结论”是由已知事项推出的事项,即结论是在已知条件的前提下得到的结果.命题的表述有标准形式:“如果……那么……”,另外还有“若……则……”等.一般地,“如果……”和“若……”是题设部分,“那么……”和“则……”是结论部分.一些命题前面的“附加部分”属题设.要准确找出一个命题的题设和结论,特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题.

判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的题设和结论,并判断此命题是真命题还是假命题.

(1)画射线AC;

(2)同位角相等吗?

(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;

(4)任意两个直角都相等;

(5)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;

(6)若|x|=|y|,则x=y.

解:(1)(2)不是命题;(3)(4)(5)(6)是命题.

(3)题设是两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补,结论是这两条直线平行,是真命题;

(4)题设是两个角是直角,结论是这两个角相等,是真命题;

(5)题设是两条直线相交,结论是它们只有一个交点,是真命题;

(6)题设是|x|=|y|,结论是x=y,是假命题.

有些数学命题,如“对顶角相等”,没有写成标准形式,题设和结论不明显,要认真分析是由什么来推断什么,把它改写成标准形式,这样就容易找到它的题设和结论.如“对顶角相等”改写成标准形式是“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”.有些命题的题设之前还有题设,那么把这两个题设合起来作为命题的题设,如“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”,题设是两条直线被第三条直线所截,同位角相等,结论是这两条直线平行.

【应用举例】

例2　下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?若是命题,则指出是真命题还是假命题,并改写成“如果……那么……”的形式,再分别找出命题的题设和结论.

(1)和为90°的两个角互为余角;

(2)-8小于-6吗?

(3)乘积为1的两个数互为倒数.

解:(1)是命题,是真命题.

改写:如果两个角的和为90°,那么这两个角互为余角.

题设:两个角的和为90°.结论:这两个角互为余角.

(2)不是命题.

师生通过例题共同探究命题的题设和结论的确定方法.

活动

二:

探究

与

应用

(3)是命题,是真命题.

改写:如果两个数的乘积为1,那么这两个数互为倒数.

题设:两个数的乘积为1.结论:这两个数互为倒数.

【探究3】 定理与证明

我们已经知道下列各命题都是正确的,即都是公认的真命题:

(1)两点确定一条直线;

(2)两点之间线段最短;

(3)在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;

(4)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.

归纳:定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且还可以作为进一步判断其他命题真假的依据.

探究证明:根据已知条件、定义以及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.

如图5-3-45,有下列三个条件:

图5-3-45

①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C.

(1)若从这三个条件中任选两个作为题设,另一个作为结论,组成一个命题,则一共能组成几个命题,请你把它们写出来;

(2)请你就其中的一个真命题给出推理过程.

解:(1)一共能组成3个命题,它们是:题设①②,结论③;题设①③,结论②;题设②③,结论①.

(2)答案不唯一,如选择命题:题设①②,结论③.证明:

∵DE∥BC,

∴∠1=∠B,∠2=∠C.

又∵∠1=∠2,

∴∠B=∠C.

归纳总结:

几何证明的一般步骤:

第一步:根据题意画出图形;

第二步:根据命题的题设和结论,结合图形,写出已知、求证;

第三步:通过分析,找出证明的方法,写出证明过程.

在证明几何命题时,须注意以下几点:

1.明确题目的题设和结论;

2.证明过程中引用的根据(理由)与“定理的证明相同”;

3.证明过程中每一步结果所用的根据必须是得到这一结果的充分理由;

4.要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证.

【应用举例】

例3　如图5-3-46,已知在三角形ABC中,∠C=45°,D为BC边上的点,∠ADB=90°,DE平分∠ADB交AB边于点E.求证:DE∥CA.

图5-3-46

引导学生区分命题与定理的关系,且体会数学命题证明的必要性.

归纳证明的过程有助于培养学生严密的逻辑推理能力,为后续的学习打好基础.

活动

二:

探究

与

应用

【拓展提升】

例4　如图5-3-47,已知DP平分∠ADC交AB于点P,

∠1+∠3=90°,∠2=∠4.

图5-3-47

求证:DP⊥PC.

证明:∵DP平分∠ADC,∴∠3=∠4.                   

∵∠2=∠4,∴∠2=∠3.

又∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.

又∵∠1+∠2+∠DPC=180°,

∴∠DPC=90°,∴DP⊥PC.

　　知识的综合与拓展提高学生的应考能力.

活动

三:

课堂

总结

反思

【当堂训练】

课本第21页练习第1,2题;

课本第22页练习第1,2题.

【课后作业】

课本第23~24页习题5.3第6,12,13题.

　　通过练习进一步巩固所学知识,使教师及时了解学生对本课所学知识的掌握情况.

【板书设计】

5.3.2　命题、定理、证明

命题

　　框架图式总结,更容易形成知识网络.

【教学反思】

①[授课流程反思]

既复习了已学知识,又让学生认识了命题的多种表现形式,从而使学生明白命题我们都已接触过,只是没有从概念上加以澄清,从而消除学生对新知识的恐惧感,增加亲切感.

②[讲授效果反思]

本节课的教学内容较简单,通过本节课的教学,学生在区分命题的题设和结论的基础上知道命题有真假之分,其中有的真命题又叫做定理.对于假命题只要举出反例加以说明即可,其中推理过程叫做证明.

③[师生互动反思]

学生小组合作学习的积极性较高,体现出学生愿学、乐学的心态,教师要及时地给予鼓励和表扬.

④[习题反思]

　　好题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 

　　错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 

　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及教学体系,更进一步提升教师教学能力.