第七章 章末素养提升课件PPT

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第七章　随机变量及其分布章末素养提升| 体系构建 || 核心归纳 |(2)求随机变量的分布列的步骤①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．(3)离散型随机变量分布列的性质①pi＞0，i＝1,2，…，n.②_____________________.【答案】(1) P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)(3)②p1＋p2＋…＋pn＝1(2)意义：均值刻画的是X取值的平均水平，而方差刻画的是一个随机变量的取值与其均值的偏离程度．方差越小，则随机变量与基金均值的偏离程度________．【答案】(2)越小4．超几何分布与二项分布(1)二项分布在n重伯努利试验中，每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示事件A发生的次数，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．称为X服从参数为n，p的二项分布B(n，p)，其均值为E(X)＝np，方差为D(X)＝np(1－p)．| 思想方法 |(一)离散型随机变量中转化思想的应用1．离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，是高考的一个热点问题，多与概率统计结合考查，难度中档．2．期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键要将实际问题转化为数学问题，然后求出它们的概率分布列，同时，要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及期望与方差的性质，如E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．1．已知随机变量X的分布列如下：则X的方差为________．【答案】0.89【解析】由分布列的性质知，x＝0.5，故E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，D(X)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.2．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．(1)求甲、乙两人玩此游戏获奖的概率；(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．(二)方程思想的应用方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程．3．甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R(单位：千米)可分为三类车型，A：80≤R＜150，B：150≤R＜250，C：R≥250.甲从A，B，C三类车型中挑选一款，乙从B，C两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：(三)数形结合思想的应用 1．高考主要以选择、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，在大题中主要以条件或一问呈现，难度中档．2．由于正态曲线具有完美的对称性，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题，解题时要注意数形结合． 已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X＞2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝ (　　)A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977【答案】C【解析】∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于x＝0对称．又P(X＞2)＝0.023，∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.【点评】根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．【答案】(1)D(2)0.8【解析】由正态分布N(1，σ2)(σ＞0)的图象关于直线x＝1对称，且X在(0,1)内取值的概率为0.4，知X在(1,2)内取值的概率也为0.4，故X在(0,2)内取值的概率为0.8.2．(2020年浙江)盒中有4个球，其中有1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止，设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________.3．(2021年新高考全国卷Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解：(1)X可能的取值为0,20,100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为(2)若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．