人教A版 (2019)选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用同步练习题

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第三册第八章成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用同步练习题

8.2　一元线性回归模型及其应用最新课标(1）结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．(2）针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．[教材要点]要点一　一元线性回归模型我们称 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e,E（e）＝0，D（e）＝σ2)) 为Y关于x的一元线性回归模型，其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为________参数，b称为________参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．要点二　一元线性回归模型参数的最小二乘估计1.经验回归方程：将 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝________称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为________________．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 eq \o(b,\s\up9(^)) ， eq \o(a,\s\up9(^)) 叫做b，a的最小二乘估计，其中 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up9(^))＝\f(\i\su(i＝1,n, )（xi－\o(x,\s\up9(－))）（yi－\o(y,\s\up9(－))）,\i\su(i＝1,n, )（xi－\o(x,\s\up9(－))）2)，,\o(a,\s\up9(^))＝\o(y,\s\up9(－))－\o(b,\s\up9(^))\o(x,\s\up9(－))．)) 2.残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的 eq \o(y,\s\up9(^)) 称为预测值，观测值减去预测值称为残差.3.用决定系数R2决定模型的拟合效果：R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,n, )（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,n, )（yi－\o(y,\s\up9(－))）2) .R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．[基础自测]1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”）(1）经验回归方程适用于一切样本和总体．(　　）(2）经验回归方程一般都有局限性．(　　）(3）样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围．(　　）(4）经验回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．(　　）2.如果记录了x，y的几组数据分别为(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y关于x的经验回归直线必过点(　　）A．(2，2） B．(1.5，2）C．(1，2） D．(1.5，4）3.已知经验回归方程 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝2x＋1，而试验得到一组数据是(2，4.9），(3，7.1），(4，9.1），则残差平方和是(　　）A．0.01 B．0.02C．0.03 D．0.044.已知变量x，y线性相关，由观测数据算得样本的平均数 eq \o(x,\s\up9(－)) ＝4， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝5，经验回归方程 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) 中的系数 eq \o(b,\s\up9(^)) ， eq \o(a,\s\up9(^)) 满足 eq \o(b,\s\up9(^)) ＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ＝4，则经验回归方程为________．题型一　经验回归方程的求解及应用——微点探究微点1　公式法求经验回归方程例1　某种产品的广告费用支出x(单位：百万元）与销售额y(单位：百万元）之间有如下的对应数据：(1）画出散点图；(2）求经验回归方程；(3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额是多少．(参考数据： eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝145， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝1 380） eq \a\vs4\al(状元随笔) 　注意经验回归方程中的一次项系数为 eq \o(b,\s\up9(^)) ，常数项为 eq \o(a,\s\up9(^)) ，这与一次函数的表示习惯不同．微点2　利用样本点中心( eq \o(x,\s\up9(－)) ， eq \o(y,\s\up9(－)) ）求经验回归方程例2　某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中的数据得到的经验回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ，其中 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝－20，预测当产品单价定为9.5元时，销量约为________件． eq \a\vs4\al(状元随笔) 　样本点的中心( eq \o(x,\s\up9(－)) ， eq \o(y,\s\up9(－)) ）在经验回归直线上．方法归纳求经验回归方程的步骤(1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；(2）画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等）；(3）由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用经验回归方程）；(4）用最小二乘法求经验回归方程中的参数；(5）写出经验回归方程．跟踪训练1　某个体服装店经营某种服装在某周内获得的纯利润y(元）与该周每天销售这种服装的件数x之间有如下一组数据：已知 eq \i\su(i＝1,7,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝280， eq \i\su(i＝1,7,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝45 309， eq \i\su(i＝1,7,x) iyi＝3 487.(1）求 eq \o(x,\s\up9(－)) ， eq \o(y,\s\up9(－)) ；(2）求纯利润y与每天销售件数x的经验回归方程；(3）估计每天销售10件这种服装时，纯利润是多少元？题型二　经验回归分析——师生共研例3　已知某种商品的单价x(单位：元）与需求量y(单位：件）之间的关系有如下一组数据：求y关于x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．方法归纳R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量变化的贡献率，R2越接近于1，回归的效果越好(因为R2越接近于1，解释变量和响应变量的相关性越强）.若对某组数据可以采取几种不同的回归方程进行回归分析，则可以通过比较几个R2，选择R2大的模型作为这组数据的回归模型．跟踪训练2　某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x(单位：元/件）及相应月销量y(单位：万件），对近5个月的月销售单价xi和月销售量yi(i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：(1）建立y关于x的经验回归方程；(2）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的经验回归方程是理想的，试问：(1）中得到的经验回归方程是否理想？(3）根据(1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时(销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：经验回归方程 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ，其中 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,n,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －n\o(x,\s\up9(－))2) ， eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \o(y,\s\up9(－)) － eq \o(b,\s\up9(^)) eq \o(x,\s\up9(－)) .参考数据： eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝392， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝502.5.题型三　非线性经验回归方程的求解——师生共研例4　为了研究某种细菌繁殖的个数y随时间x变化的情况，收集如表数据：(1）用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图．(2）观察散点图是否可用曲线y＝c1ec2x拟合，描述解释变量与响应变量之间的关系．方法归纳求非线性经验回归方程的步骤(1）确定变量，作出散点图．(2）根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3）变量置换，通过变量置换把非线性经验回归问题转化为经验回归问题，并求出经验回归方程．(4）分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(5）根据相应的变换，写出非线性经验回归方程．跟踪训练3　电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电．由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b<0）表示．现测得时间t(s）时的电压U(V）如下所示：试求电压U对时间t的回归方程．易错辨析　缺失基本解题步骤致错例5　在一次抽样检查中，抽得5个样本点，数据如下表：试建立y关于x的回归方程．解析：作出散点图，如图(1）所示，由散点图可以看出，图象近似反比例函数在第一象限的部分，因此令u＝ eq \f(1,x) ，由已知数据，可得变换后的样本数据：作出散点图，如图(2）所示，可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用经验回归方程拟合．计算得 eq \o(u,\s\up9(－)) ＝1.55， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝7.2， eq \i\su(i＝1,5,u) iyi＝94.25， eq \i\su(i＝1,5,u) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝21.312 5，则 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,u)iyi－5\o(u,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,u) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5\o(u,\s\up9(－))2) ≈4.13， eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \o(y,\s\up9(－)) － eq \o(b,\s\up9(^)) eq \o(u,\s\up9(－)) ≈0.8.从而得到y关于u的回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝4.13u＋0.8，则y关于x的回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \f(4.13,x) ＋0.8.【易错警示】易错原因解决此题易出现如下错误：根据数据计算得 eq \o(x,\s\up9(－)) ＝1.55， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝7.2， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝23， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝21.312 5，代入公式计算得 eq \o(b,\s\up9(^)) ≈－3.53， eq \o(a,\s\up9(^)) ≈12.67，从而得到y关于x的回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－3.53x＋12.67.事实上，由散点图可知样本点并没有呈线状分布，两个变量不具有很强的线性相关关系．错解是由于没有按照建立回归模型的基本步骤解题，忽略了画散点图，没有观察数据之间的关系造成错误．(2）一些非线性回归问题可通过中间量变换，转化为经验回归问题求解．纠错心得(1）解决这类问题必须严格按照建立回归模型的基本步骤，不能主观臆断，必须按部就班，依照步骤解题． eq \x(温馨提示：请完成课时作业（十五）) 8．2　一元线性回归模型及其应用新知初探·课前预习要点一截距　斜率要点二1. eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) 　经验回归直线[基础自测]1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．解析：因为 eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(0＋1＋2＋3,4) ＝1.5， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1＋3＋5＋7,4) ＝4，所以样本点的中心为(1.5，4)，而经验直线过样本点的中心．故选D.答案：D3．解析：因为残差 eq \o(e,\s\up9(^)) i＝yi－ eq \o(y,\s\up9(^)) i，所以残差的平方和为(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.故选C.答案：C4．解析：经验回归方程 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) 过样本中心点(4，5)，所以4 eq \o(b,\s\up9(^)) ＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ＝5；又 eq \o(a,\s\up9(^)) ＋ eq \o(b,\s\up9(^)) ＝4，解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4\o(b,\s\up9(^))＋\o(a,\s\up9(^))＝5，,\o(a,\s\up9(^))＋\o(b,\s\up9(^))＝4，)) 得 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(1,3) ， eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \f(11,3) ，所以经验回归方程为： eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \f(1,3) x＋ eq \f(11,3) .答案： eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \f(1,3) x＋ eq \f(11,3) 题型探究·课堂解透题型一例1　解析：(1)散点图如图所示．(2) eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(25,5) ＝5， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(250,5) ＝50.∴ eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5\o(x,\s\up9(－))2) ＝ eq \f(1 380－5×5×50,145－5×52) ＝6.5， eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \o(y,\s\up9(－)) － eq \o(b,\s\up9(^)) eq \o(x,\s\up9(－)) ＝50－6.5×5＝17.5，所以所求的经验回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝6.5x＋17.5.(3)根据(2)中求得的经验回归方程，当x＝10时， eq \o(y,\s\up9(^)) ＝6.5×10＋17.5＝82.5，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．例2　解析：因为 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝－20，所以 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－20x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) . eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9,6) ＝8.5， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6) ＝80，将(8.5，80)代入 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－20x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ，得 eq \o(a,\s\up9(^)) ＝250，所以经验回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－20x＋250，当x＝9.5时， eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－20×9.5＋250＝60.所以当产品单价定为9.5元时，销量约为60件．答案：60跟踪训练1　解析：(1) eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,7) (3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,7) (66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)设经验回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝ eq \o(b,\s\up9(^)) x＋ eq \o(a,\s\up9(^)) ，则 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,7,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －7\o(x,\s\up9(－))2) ＝ eq \f(3 487－7×6×79.86,280－7×62) ≈4.75 eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \o(y,\s\up9(－)) － eq \o(b,\s\up9(^)) eq \o(x,\s\up9(－)) ＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求经验回归方程为 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝4.75x＋51.36.(3)当x＝10时， eq \o(y,\s\up9(^)) ＝98.86，估计每天销售10件这种服装时，可获纯利润为98.86元．题型二例3　解析：计算可得 eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) ×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) ×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， eq \i\su(i＝1,5,x) iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5\o(x,\s\up9(－))2) ＝ eq \f(620－5×18×7.4,1 660－5×182) ＝－1.15， eq \o(a,\s\up9(^)) ＝ eq \o(y,\s\up9(－)) － eq \o(b,\s\up9(^)) eq \o(x,\s\up9(－)) ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是 eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－1.15x＋28.1.方法一　列出残差表：所以 eq \i\su(i＝1,5, ) (yi－ eq \o(y,\s\up9(^)) i)2＝0.3，又 eq \i\su(i＝1,5, ) (yi－ eq \o(y,\s\up9(－)) )2＝53.2，所以R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,5, )（yi－\o(y,\s\up9(^))i）2,\i\su(i＝1,5, )（yi－\o(y,\s\up9(－))）2) ≈0.994.故回归模型的拟合效果很好．方法二　 eq \i\su(i＝1,5,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，则r＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up9(－)) \o(y,\s\up9(－)),\r(（\i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5\o(x,\s\up9(－))2）（\i\su(i＝1,5,y) eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(i)) －5\o(y,\s\up9(－))2）)) ＝ eq \f(620－5×18×7.4,\r(（1 660－5×182）×（327－5×7.42）)) ≈ eq \f(－46,46.13) ≈－1.所以回归模型的拟合效果很好．跟踪训练2　解析：(1)因为 eq \o(x,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) (11＋10.5＋10＋9.5＋9)＝10， eq \o(y,\s\up9(－)) ＝ eq \f(1,5) (5＋6＋8＋10＋11)＝8.所以 eq \o(b,\s\up9(^)) ＝ eq \f(392－5×10×8,502.5－5×102) ＝－3.2，所以 eq \o(a,\s\up9(^)) ＝8－(－3.2)×10＝40，所以y关于x的经验回归方程为： eq \o(y,\s\up9(^)) ＝－3.2x＋40.(2)当x＝7时，y＝－3.2×7＋40＝17.6，即|17.6－18|＝0.4<0.5，所以可以认为所得到的经验回归方程是理想的．(3)设销售利润为M，则M＝(x－5)(－3.2x＋40)(5