课时跟踪检测（六） 组合的综合应用

课时跟踪检测（六）  组合的综合应用

1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有(　　)

A．27种　　　　　　　　 B．24种

C．21种  D．18种

解析：选C　分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．

2．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)

A．120  B．84

C．52  D．48

解析：选C　间接法：C－C＝52种．

3．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有(　　)

A．10种  B．15种

C．20种  D．30种

解析：选C　按比赛局数分类：3局时有2种，4局时有2C种，5局时有2C种，故共有2＋2C＋2C＝20种．

4.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．320  B．160

C．96  D．60

解析：选A　按③→①→②→④的顺序涂色，有C×C×C×C＝5×4×4×4＝320种不同的方法．

5．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(　　)

A．56种  B．68种

C．74种  D．92种

解析：选D　根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有CC种，有一个“多面手”的选派方法有CCC种，有两个“多面手”的选派方法有CC种，即共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．

6．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种．

解析：把4名学生分成3组有C种方法，再把3组学生分配到3所学校有A种方法，故共有CA＝36种保送方案．

答案：36

7．将9名教师分到3所中学任教，一所2名，一所3名，一所4名，则有________种不同的分法．

解析：CCCA＝7 560(种)．

答案：7 560

8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)

解析：从10个球中任取3个，有C种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．所以共有2C＝240种方法．

答案：240

9．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．

(1)共有多少种不同的取法？

(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？

解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C＝126(种)．

(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法．所以共有C·C＝70种取法．

10．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：

(1)4只鞋子没有成双的；

(2)4只鞋子恰有两双；

(3)4只鞋子有2只成双，另2只不成双．

解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原理可知，选取种数为N＝C×24＝3 360.

(2)从10双鞋子中选2双有C种取法，即有45种不同取法．

(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法计数原理，不同取法种数为N＝CC×22＝1 440.

1.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　)

A．208  B．204

C．200  D．196

解析：选C　任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200，故选C.

2．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学来自同一年级的乘车方式共有(　　)

A．24种  B．18种

C．48种  D．36种

解析：选A　第一类：大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下2名同学要来自不同的年级，从三个年级中选两个年级，有C种选法，然后从选出的两个年级中再分别选1名同学，有CC种选法，剩下的4名同学乘坐乙车，则有CCC＝3×2×2＝12种乘车方式；

第二类：大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选同一个年级的2名同学在甲车上，有CC种选法，然后再从剩下的两个年级中分别选1名同学，有CC种选法，则有CCCC＝3×1×2×2＝12种乘车方式．因此共有12＋12＝24种不同的乘车方式．

3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．

解析：先从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C－12＝58个．

答案：58

4．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C×2×2×2＝160(种)．

5．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．

(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？

(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？

(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？

解：(1)所作出的平面有三类．

①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C·C个．

②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C·C个．

③α，β本身，有2个．

故所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)．

(2)所作的三棱锥有三类．

①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C·C个．

②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C·C个．

③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C·C个．

故最多可作出的三棱锥有C·C＋C·C＋C·C＝194(个)．

(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．