课时跟踪检测（三） 排列

1.[多选]下列问题不是排列问题的是(　　)

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

解析：选ACD　排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选A、C、D.

2.2020 年春季新型冠状病毒肺炎防疫防控期间，A，B，C 三名医护人员安排中午，下午，晚上三个时间段值班，所有排列的方法种数为(　　)

A.12种　　　　　　　　 B．3种

C.6种  D．4 种

解析：选C　所有的排法有：A－B－C，A－C－B，B－A－C，B－C－A，C－A－B，

C－B－A，共6种.

3.由1,2,3,4 这四个数字组成的首位数字是 1，且恰有三个相同数字的四位数的个数有(　　)

A.9个  B．12个

C.15个  D．18个

解析：选B　本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为：

由此可知共有12个.

4.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有(　　)

A.6种  B．10种

C.8种  D．16种

解析：选B　记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有

其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理：若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式，所以共有10种传球方式.

5.世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲，乙，丙，丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为(　　)

A.12种  B．10种

C.8种  D．6种

解析：选D　因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6种，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6种.

6.在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．

解析：画出树状图，如图所示：

由树形图可知，共有11种不同的试种方案．

答案：11

7.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同的工作，则分配方案共有________种．

解析：这是一个排列问题，分配方案共有6×5×4×3＝360种．

答案：360

8.现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)

解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．

答案：1 680

9.判断下列问题是否为排列问题．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？

(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？

解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题都与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关.

10.从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．

(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；

(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．

解：(1)组成三位数分三个步骤：

第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；

第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；

第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．

由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．

画出下列树状图：

由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201, 203,210,213,230, 231,301,302,

310,312,320,321.

(2)直接画出树状图：

由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.

1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从 1,2,3,4,5这5个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　)

A.80个  B．40个

C.20个  D．10 个

解析：选C　十位数只能是 3,4,5.当十位数为3时只有：132,231，共2个；当十位数是4时有：142,143,241,243,341,342，共6个；当十位数是5时有：152,153,154,251,253,254,351,352,354,451,452,453，共12个，故共有2＋6＋12＝20个.

2.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为(　　)

A.6  B．9

C.12  D．24

解析：选B　第一类，0在个位有2 110,1 210,1 120，共3个；第二类，0 在十位有 2 101,1 201,1 102，共3个；第三类，0 在百位有2 011,1 021,1 012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9.

3.字母 w，o，r，d总的排序种数为__________，若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．

解析：w，o，r，d 的排列共有4×3×2×1＝24(种)，其中排列“word”是正确的，只有一种，其余均错，故错误的有 24－1＝23(种)．

答案：24　23

4.连掷一颗骰子三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：

(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？

(2)可以排出多少个不同的三位数？

解：(1)三位数的每位上数字均为 1,2,3,4,5,6 之一．

第一步，得百位数字，有 6 种不同结果；

第二步，得十位数字，有 5 种不同结果；

第三步，得个位数字，有 4 种不同结果，

故可得各位数字互不相同的三位数有 6×5×4＝120(个)．

(2)三位数，每位上数字均可从 1,2,3,4,5,6 六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个).