课时跟踪检测（十） 全概率公式

这是一份课时跟踪检测（十） 全概率公式，共6页。

A．0.012 3 B．0.023 4
C．0.034 5 D．0.045 6
解析：选C 本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
2．盒中有2个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球2个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,7)
C.eq \f(5,7) D.eq \f(4,7)
解析：选A 设A＝“第一次抽出的是黑球”，B＝“第二次抽出的是黑球”，则B＝AB＋eq \x\t(A)B.
由题意P(A)＝eq \f(3,2＋3)＝eq \f(3,5)，P(B|A)＝eq \f(3＋2,2＋3＋2)＝eq \f(5,7)，
P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,2＋3)＝eq \f(2,5)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(3,2＋3＋2)＝eq \f(3,7)，
所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))
＝eq \f(3,5)×eq \f(5,7)＋eq \f(2,5)×eq \f(3,7)＝eq \f(3,5).
*3.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表示“试验反应为阳性”，以B表示“被诊断者患有癌症”，则有P(A|B)＝0.95，P(eq \x\t(A)|eq \x\t(B))＝0.95. 现对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，则P(B|A)约为( )
A．0.25 B．0.092
C．0.087 D．0.4
解析：选C P(A|eq \x\t(B))＝1－P(eq \x\t(A)|eq \x\t(B))＝1－0.95＝0.05. 被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P(B)＝0.005，因此P(B|A)＝eq \f(PA|BPB,PA|BPB＋PA|\x\t(B)P\x\t(B))≈0.087. 故选C.
4．某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%和35%.又知，这四条流水线的产品不合格率依次为0.05, 0.04,0.03及0.02. 现从该厂的这一产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是( )
A．0.35 B．0.05
C．0.031 5 D．0.15
解析：选C 根据问题与已知条件可设 A＝“任取一件这种产品，结果是不合格品” ，Bk＝“任取一件这种产品，结果是第k条流水线的产品”， k＝1,2,3,4, 可用全概率公式，有P(A)＝eq \i\su(k＝1,4,P)(Bk)P(A|Bk)，根据已知条件，可得
P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.20，P(B3)＝0.30，
P(B4)＝0.35，P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.04，
P(A|B3)＝0.03，P(A|B4)＝0.02.
将这些数据代入公式，得P(A)＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋0.35×0.02＝0.031 5.
5．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9,0.7,0.4.则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为( )
A．0.62 B．0.48
C．0.5 D．0.4
解析：选A 设A1为进入比赛的一级射手，A2为进入比赛的二级射手，A3为进入比赛的三级射手，则P(A1)＝0.2，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.4且A1，A2，A3两两互斥，B＝“任取一名射手进入比赛”，则P(B)＝0.2×0.9＋0.4×0.7＋0.4×0.4＝0.62.
6．设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2).已知一厂、二厂、三厂生产的药品次品率分别为7%,5%,4%.现从中任取一药品，则该药品是次品的概率为________．
解析：令A＝{该药品是次品}(显然A是一复杂事件)，Bi＝{药品是由i厂生产的}(i＝1,2,3)，显然它们构成一完备事件组，且事件A只能与其中之一事件同时发生．故用全概率公式计算．
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.07×0.25＋0.05×0.25＋0.04×0.50＝0.05.
答案：0.05
7．某地成年人体重肥胖者(A1)占0.1，中等者(A2)占0.82，瘦小者(A3)占0.08，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为0.2,0.1,0.05.则该地成年人患高血压的概率等于________．
解析：令B＝{某人患高血压}(显然B是一复杂事件)，Ai＝{某人体重的特征}(i＝1,2,3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，由全概率公式计算得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.1×0.2＋0.82×0.1＋0.08×0.05＝0.106.
答案：0.106
8．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，则飞机被击落的概率为________．
解析：设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0,1,2,3)，则B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1.再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1,2,3)．
则P(B1)＝P(H1eq \x\t(H)2eq \x\t(H)3∪eq \x\t(H)1H2eq \x\t(H)3∪eq \x\t(H)1eq \x\t(H)2H3)
＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36.
同理P(B2)＝P(H1H2eq \x\t(H)3∪H1eq \x\t(H)2H3∪eq \x\t(H)1H2H3)＝0.41，
P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14，
P(B0)＝P(eq \x\t(H)1eq \x\t(H)2eq \x\t(H)3)＝0.09.
由全概率公式，可知
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1
＝0.458.
因此，飞机被击落的概率为0.458.
答案：0.458
9．小王要约小李3 h后见面，但是只用某种方式告知一次．设小王用微信通知的概率是0.3，用短信通知的概率是0.7，而小李在3 h内查看微信的概率是0.8，看到短信的概率是0.9.
(1)计算小李收到通知的概率；
(2)如果收到通知的小李也有5%的概率不能前来见小王，计算小王不能按时见到小李的概率．
解：(1)设B＝“小李收到通知”，A1＝“小王通过微信通知”，A2＝“小王用短信通知”，
则P(B)＝0.3×0.8＋0.7×0.9＝0.87.
(2)设D＝“小王不能按时见到小李”，
①未收到通知P1＝1－P(B)＝0.13，
②收到通知但未去：P＝0.87×0.05＝0.043 5.
故P(D)＝0.13＋0.043 5＝0.173 5.
*10.如图，甲盒里有3个黄球，2个蓝球，乙盒里有4个黄球，1个蓝球．某人随机选择一个盒子并从中摸出了一个黄球，若此人选择甲盒或乙盒的概率相等，求这个黄球来自甲盒的概率．
解：记事件A表示“摸出黄球”，事件B表示“摸出的球来自甲盒”．
根据古典概型可以计算出P(A)＝eq \f(7,10)，P(B)＝eq \f(1,2)，
P(AB)＝P(B)P(A|B)＝eq \f(3,10)，
因此P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(3,7).
从条件概率及全概率的角度来看，也可以这样考虑：
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)
＝eq \f(PBPA|B,PBPA|B＋P\x\t(B)PA|\x\t(B))
＝eq \f(\f(1,2)×\f(3,5),\f(1,2)×\f(3,5)＋\f(1,2)×\f(4,5))
＝eq \f(3,7).
1．据以往资料表明，某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律：P(孩子得病)＝0.6，P(母亲得病|孩子得病)＝0.5，P(父亲得病|母亲及孩子得病)＝0.4, 则“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率为( )
A．0.6 B．0.18
C．0.35 D．0.28
解析：选B 设A，B，C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事件，由题意知，P(A)＝0.6，P(B|A)＝0.5，P(C|AB)＝0.4，则所求为P(ABeq \x\t(C))＝P(A)P(B|A)P(eq \x\t(C)|AB)＝0.6×0.5×(1－0.4)＝0.18.
2．一枚深水炸弹轻创、重创一艘潜艇的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(4,5)，被轻创和重创的潜艇分别以0.05和0.65的概率失去战斗力，计算一枚深水炸弹就能使潜艇失去战斗力的概率为________．
解析：0.2×0.05＋0.8×0.65＝0.53.
答案：0.53
3．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占eq \f(3,5)，乙班中女生占eq \f(1,3).求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
解：如果用A与eq \x\t(A)分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生，则根据已知，有
P(A)＝eq \f(5,5＋3)＝eq \f(5,8)，P(eq \x\t(A))＝1－P(A)＝eq \f(3,8)，
而且P(B|A)＝eq \f(3,5)，P(B|eq \x\t(A))＝eq \f(1,3).
题目所要求的是P(B)．
由全概率公式可知
P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \x\t(A))P(B|eq \x\t(A))
＝eq \f(5,8)×eq \f(3,5)＋eq \f(3,8)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,2).
4．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是工厂A的概率．
解：设A＝“抽取的产品为工厂A生产的”，B＝“抽取的产品是工厂B生产的”，C＝“抽取的是次品”，则有P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.01，P(C|B)＝0.02，
根据全概率公式有P(C)＝0.6×0.01＋0.4×0.02＝0.014，
P(AC)＝P(A)P(C|A)＝0.6×0.01＝0.006，
故P(A|C)＝eq \f(PAC,PC)＝eq \f(0.006,0.014)＝eq \f(3,7).
*5.《伊索寓言》中有一篇 “孩子与狼” 的故事，讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没. 第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天也如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两天他说了谎，人们不再相信他了. 试用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信度是如何下降的．
解：本题分两个方面，一是小孩，二是村民．
小孩有两种行为：一是说谎，二是不说谎．
村民有两种行为：一是认为小孩可信，二是认为小孩不可信．
类似的问题都是先设事件：设A表示“小孩说谎”，B表示“小孩可信”．
不妨设刚开始村民对这个小孩的印象是P(B)＝0.8，P(eq \x\t(B))＝0.2，用贝叶斯公式计算村民对这个小孩的可信程度的改变时要用到P(A|B)，P(A|eq \x\t(B))，即“可信的孩子说谎”的概率与“不可信的孩子说谎”的概率，在此不妨设P(A|B)＝0.1，P(A|eq \x\t(B))＝0.5.
第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎，村民根据这个信息，将这个小孩的可信程度改变为：
P(B|A)＝eq \f(PBPA|B,PBPA|B＋P\x\t(B)PA|\x\t(B))
＝eq \f(0.8×0.1,0.8×0.1＋0.2×0.5)＝0.444.
这表明村民上了一次当后，对这个小孩可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是将村民对这个小孩的最初印象P(B)＝0.8，P(eq \x\t(B))＝0.2调整为P(B)＝0.444，
P(eq \x\t(B))＝0.556.在这个基础上，我们再用贝叶斯公式计算P(B|A)，即这个小孩第二次说谎之后，村民认为他的可信程度改变为：
P(B|A)＝eq \f(0.444×0.1,0.444×0.1＋0.556×0.5)＝0.138.
这表明村民经过两次上当后，对这个小孩的信任程度已经由最初的 0.8 下降到了 0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼救时，怎么再会上山去打狼呢？