课时跟踪检测（十九） 一元线性回归模型及其应用

这是一份课时跟踪检测（十九） 一元线性回归模型及其应用，共8页。试卷主要包含了已知x与y之间的一组数据，根据如表所示的样本数据，关于x与y有以下数据等内容，欢迎下载使用。
则y与x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))必过点( )
A．(2,2) B．(1.5,0)
C．(1,2) D．(1.5,4)
解析：选D 经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))必过样本中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3,4)＝1.5，eq \x\t(y)＝eq \f(1＋3＋5＋7,4)＝4.
2．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
解析：选B 选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.
3．已知x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且eq \(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝( )
A.2.2 B．2.6
C．2.8 D．2.9
解析：选B 从所给的数据可以得到eq \x\t(x)＝eq \f(0＋1＋3＋4,4)＝2，eq \x\t(y)＝eq \f(2.2＋4.3＋4.8＋6.7,4)＝4.5，所以这组数据的样本中心点是(2,4.5)，所以4.5＝0.95×2＋a，解得eq \(a,\s\up6(^))＝2.6.故选B.
4．已知经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋1，而试验得到的一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和是( )
A．0.01 B．0.02
C．0.03 D．0.04
解析：选C 当x＝2时，eq \(y,\s\up6(^))＝5；当x＝3时，eq \(y,\s\up6(^))＝7；当x＝4时，eq \(y,\s\up6(^))＝9，∴eq \(e,\s\up6(^))1＝4.9－5＝－0.1，eq \(e,\s\up6(^))2＝7.1－7＝0.1，eq \(e,\s\up6(^))3＝9.1－9＝0.1.∴eq \i\su(i＝1,3,e)eq \\al(2,i)＝(－0.1)2＋(0.1)2＋(0.1)2＝0.03.
5．根据如表所示的样本数据：
得到的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^)).样本点的中心为(3,0.1)，当x增加1个单位时，y近似( )
A．增加0.8个单位 B．减少0.8个单位
C．增加2.3个单位 D．减少2.3个单位
解析：选A 由题得eq \f(a－1－1＋0.5＋b＋1＋2.5,5)＝0.1，所以a＋b＝－1.5.因为0.1＝3eq \(b,\s\up6(^))＋eq \(a,\s\up6(^))，所以解方程组得eq \(a,\s\up6(^))＝－2.3，eq \(b,\s\up6(^))＝0.8.所以eq \(y,\s\up6(^))＝0.8x－2.3，所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．故选A.
6．已知具有线性相关关系的变量x，y满足一组数据如下表所示．若y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3x－1.5，则m的值等于________.
解析：由于经验回归直线一定过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(8＋m,4)))一定在经验回归直线上，所以代入方程可得m＝4.
答案：4
7．已知高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：小时)与物理成绩y(单位：分)之间有如下关系：
若根据上表可得经验回归直线的斜率为3.53，则经验回归直线在y轴上的截距为________．(结果精确到0.1)
解析：由已知可得
eq \x\t(x)＝eq \f(1,10)×(24＋15＋23＋19＋16＋11＋20＋16＋17＋13)＝17.4，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,10)×(92＋79＋97＋89＋64＋47＋83＋68＋71＋59)＝74.9.
设经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3.53x＋eq \(a,\s\up6(^))，把(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))代入，
得74.9＝3.53×17.4＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))≈13.5，
则经验回归直线在y轴上的截距为13.5.
答案：13.5
8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝0.76，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出约为________万元．
解析：由题意知，eq \x\t(x)＝eq \f(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9,5)＝10，
eq \x\t(y)＝eq \f(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8,5)＝8，
∴eq \(a,\s\up6(^))＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：11.8
9．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，得到如下资料：
(1)求出y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(2)若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
解：(1)由题中数据可得eq \x\t(x)＝11.5，eq \x\t(y)＝26，eq \(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))xiyi＝1 211，
eq \(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)＝534，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))xiyi－4\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up6(4),\s\d4(i＝1))x\\al(2,i)－4\x\t(x)2)＝eq \f(1 211－4×11.5×26,534－4×11.52)＝eq \f(15,5)＝3，
故eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝26－3×11.5＝－8.5，
∴y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3x－8.5.
(2)由(1)得，当x＝8.5时，eq \(y,\s\up6(^))＝17，
∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．
10．关于x与y有以下数据：
已知x与y线性相关，由最小二乘法得eq \(b,\s\up6(^))＝6.5，
(1)求y与x的经验回归方程；
(2)现有第二个线性模型：eq \(y,\s\up6(^))＝7x＋17，且R2＝0.82.
若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋eq \(a,\s\up6(^)).
eq \x\t(x)＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
eq \x\t(y)＝eq \f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，
∵eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋eq \(a,\s\up6(^))经过(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
∴50＝6.5×5＋eq \(a,\s\up6(^))，∴eq \(a,\s\up6(^))＝17.5，
∴y与x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－eq \(y,\s\up6(^))i与yi－eq \x\t(y)的关系如下表：
所以eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.
eq \i\su(i＝1,5, )(yi－eq \x\t(y))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
所以Req \\al(2,1)＝1－eq \f(\i\su(i＝1,5, )yi－\(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)＝1－eq \f(155,1 000)＝0.845.
由于Req \\al(2,1)＝0.845，R2＝0.82知Req \\al(2,1)>R2，
所以(1)的一元线性回归模型拟合效果比较好．
1．有人收集了春节期间平均气温x(单位：℃)与某取暖商品的销售额y(单位：万元)的有关数据如下表：
根据以上数据，用经验回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x的系数eq \(b,\s\up6(^))＝－2.4.则预测平均气温为－8 ℃时，该商品的销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元
解析：选A 由已知得eq \x\t(x)＝eq \f(－2－3－5－6,4)＝－4，eq \x\t(y)＝eq \f(20＋23＋27＋30,4)＝25，所以eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝25＋2.4×(－4)＝15.4，即经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝15.4－2.4x，当x＝－8时，eq \(y,\s\up6(^))＝34.6.
2．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行经验回归分析，分别得到散点图与残差平方和eq \i\su(i＝1,4, ) (yi－eq \(y,\s\up6(^))i)2如下表：
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中eq \i\su(i＝1,4, )(yi－eq \x\t(y))2为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
3．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y(单位：元)的资料进行线性经验回归分析，结果如下：eq \x\t(x)＝eq \f(7,2)，eq \x\t(y)＝71，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \\al(2,i)＝79，eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．
解析：由题意知eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(1 481－6×\f(7,2)×71,79－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))2)≈－1.818 2，
eq \(a,\s\up6(^))＝71－(－1.818 2)×eq \f(7,2)≈77.36，eq \(y,\s\up6(^))＝－1.818 2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．
答案：1.818 2
4．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 014，z＝y－5得到下表：
(1)求z关于t的经验回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的经验回归方程；
(3)用所求经验回归方程预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达多少？
解：(1)∵eq \(t,\s\up6(－))＝3，eq \(z,\s\up6(－))＝2.2，eq \i\su(i＝1,5,t)izi＝45，eq \i\su(i＝1,5,t)eq \\al(2,i)＝55，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(45－5×3×2.2,55－5×9)＝1.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(z,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(t,\s\up6(－))＝2.2－1.2×3＝－1.4，
∴eq \(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 014，z＝y－5，
代入eq \(z,\s\up6(^))＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 014)－1.4，
即eq \(y,\s\up6(^))＝1.2x－2413.2.
(3)∵eq \(y,\s\up6(^))＝1.2×2 021－2413.2＝12，
∴预测到2021年年底，该地储蓄存款额可达12千亿元．
5．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血液加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献．某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销量与销售价值有关，其统计数据如下表：
(1)根据表中数据求y关于x的经验回归方程；
(2)①每台红外线治疗仪的价格为165元时，预测红外线治疗仪的月销售量；(四舍五入为整数)
②若该红外线治疗仪的成本为120元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用(1)中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？(四舍五入，精确到1元)
参考公式：经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
解：(1)eq \x\t(x)＝eq \f(140＋150＋160＋170＋180,5)＝160，
eq \x\t(y)＝eq \f(64＋55＋45＋35＋26,5)＝45，
eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝(140－160)2＋(150－160)2＋(160－160)2＋(170－160)2＋(180－160)2＝1 000，
eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝－20×19－10×10＋0×0－10×10－20×19＝－960，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(－960,1 000)＝－0.96，
∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝45＋0.96×160＝198.6，
∴y关于x的经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.96x＋198.6.
(2)①由(1)知，当x＝165时，eq \(y,\s\up6(^))＝－0.96×165＋198.6＝40.2≈40，
即每台红外线治疗仪的价格为165元时，红外线治疗仪的月销售量约为40台．
②药店每月获得的纯收益Q(x)＝(－0.96x＋198.6)·(x－120)＝－0.96x2＋313.8x－23 832，
∴当x＝eq \f(313.8,2×0.96)≈163时，Q(x)取得最大值，
即药店为使每月获得最大的纯收益，每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为163元．x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
x
1
2
3
4
5
y
a－1
－1
0.5
b＋1
2.5
x
0
1
2
3
y
－1
1
m
8
x
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13
y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
日期
第一年
第二年
第三年
第四年
优惠金额x/千元
10
11
13
12
销售量y/辆
22
24
31
27
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
yi－eq \(y,\s\up6(^))i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－eq \x\t(y)
－20
－10
10
0
20
平均气温x(℃)
－2
－3
－5
－6
销售额y(万元)
20
23
27
30
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
年份x
2015
2016
2017
2018
2019
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
每台红外线治疗仪的销售价格x/元
140
150
160
170
180
红外线治疗仪的月销售量y/台
64
55
45
35
26