课时跟踪检测（十五） 二项分布

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A．Ceq \\al(10,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2 B．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
C．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))2 D．Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2
解析：选B 当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝Ceq \\al(9,11)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))9·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2·eq \f(3,8)＝Ceq \\al(9,11)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)))10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))2.
2．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
解析：选B 供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布，故所求为np.故选B.
3．一批产品中，次品率为eq \f(1,4)，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,16)
解析：选C 由题意，次品件数X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(1,4)))，故D(X)＝np·(1－p)＝4×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,4).
4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为( )
A.eq \f(4,27) B.eq \f(8,27)
C.eq \f(12,27) D.eq \f(16,27)
解析：选B 每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设“申请A片区房源”记为事件A，则P(A)＝eq \f(1,3)，所以“恰有2人申请A片区”的概率为Ceq \\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(8,27).
5．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4 B．2和2.4
C．2和5.6 D．6和5.6
解析：选B 由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，
D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.
因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于________．
解析：因为ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.
答案：0.196
7．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是________．
解析：由题意，知Ceq \\al(1,4)p(1－p)3≤Ceq \\al(2,4)p2(1－p)2，解得p≥0.4，所以0.4≤p<1.
答案：[0,4,1)
8．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为eq \f(6,7)，则口袋中白球的个数为________．
解析：设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是eq \f(n,7)，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×eq \f(n,7)＝eq \f(6,7)，所以n＝3.
答案：3
9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为eq \f(5,6)和eq \f(4,5)，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中，
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示“第k棵甲种大树成活”，k＝1,2，Bl表示“第l棵乙种大树成活”，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝eq \f(5,6)，
P(B1)＝P(B2)＝eq \f(4,5).
(1)至少有1棵成活的概率为
1－P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2eq \x\t(B)1eq \x\t(B)2)
＝1－P(eq \x\t(A)1)·P(eq \x\t(A)2)·P(eq \x\t(B)1)·P(eq \x\t(B)2)
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2＝eq \f(899,900).
(2)由n重伯努利试验中事件发生的概率公式知，
所求概率为P＝Ceq \\al(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))·Ceq \\al(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))
＝eq \f(10,36)×eq \f(8,25)＝eq \f(80,900)＝eq \f(4,45).
10．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，出现绿灯的概率都是eq \f(1,3).记这4盏灯中出现红灯的数量为X，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求X＝2时的概率；
(2)求X的均值．
解：(1)依题意知{X＝2}表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是eq \f(2,3)，故X＝2时的概率为Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2＝eq \f(8,27).
(2)∵X服从二项分布，即X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(2,3)))，
∴E(X)＝4×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3).
1．[多选]下列随机变量X服从二项分布的是( )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
解析：选ACD 选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为eq \f(1,6)，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5重伯努利试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．
2．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 由题意，知Ceq \\al(k,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))7－k＝Ceq \\al(k＋1,7)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))k＋1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))7－k－1，∴Ceq \\al(k,7)＝Ceq \\al(k＋1,7)，
∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3.
3．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是eq \f(1,2)，则质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为________．
解析：如图，由题可知，质点P必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＝Ceq \\al(2,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))5＝eq \f(5,16).
答案：eq \f(5,16)
4．抛掷一枚质地均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,2)))，若P(ξ＝1)＝eq \f(3,32)，则方差D(ξ)＝________.
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,2)))，
且P(ξ＝1)＝eq \f(3,32)，所以Ceq \\al(1,n)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))n－1＝eq \f(3,32)，
即neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n＝eq \f(6,64)，解得n＝6，
所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
5．假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常工作，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的p而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
解：四发动机飞机成功飞行的概率为Ceq \\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq \\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq \\al(4,4)p4
＝6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p4，
二发动机飞机成功飞行的概率为
Ceq \\al(1,2)p(1－p)＋Ceq \\al(2,2)p2＝2p(1－p)＋p2.
要使四发动机飞机比二发动机飞机更安全，只要6p2(1－p)2＋4p3(1－p)＋p4>2p(1－p)＋p2，化简整理，得eq \f(2,3)∴当发动机不出故障的概率大于eq \f(2,3)时，四发动机飞机比二发动机飞机更安全．
6．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝Ceq \\al(0,3)(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝Ceq \\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝Ceq \\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝Ceq \\al(3,3)·0.63＝0.216，
则X的分布列为
因为X～B(3,0.6)，
所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216