课时跟踪检测（四） 排列数

1.4×5×6×…×(n－1)×n等于(　　)

A.A　　　　　　　　 B．A

C.(n－4)!  D．A

解析：选D　4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.

2.下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A.  B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

C.A  D．A·A

解析：选D　∵A＝，

∴A·A＝＝＝，

∴A＝A·A.

3.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　)

A.8  B．12

C.16  D．24

解析：选B　设车站数为n，则A＝132，n(n－1)＝132，解得n＝12.

4.若A＝2A，则m的值为(　　)

A.5  B．3

C.6  D．7

解析：选A　由A＝2A得m(m－1)(m－2)(m－3)(m－4)＝2×m×(m－1)(m－2)，故(m－3)(m－4)＝2，即m2－7m＋10＝0，解得m＝5或m＝2(舍去).

5.5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有(　　)

A.70种  B．72种

C.36种  D．12种

解析：选C　甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，共有AA＝36种排法.

6.如果A＝15×14×13×12×11×10，那么n＝________，m＝________.

解析：15×14×13×12×11×10＝A，故n＝15，m＝6.

答案：15　6

7.不等式A－n<7的解集为________．

解析：由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理，得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又n－1≥2且n∈N*，即3≤n<5且n∈N*，所以n＝3或n＝4.

答案：{3,4}

8.由数字1,2,3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．

解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有AA＝12种.

答案：12

9.(1)计算：；

(2)求证：7A＋A＝9A.

解：(1)法一：＝＝＝.

法二：＝＝＝＝.

(2)证明：因为7A＋A＝7×6！＋8×7！＝7！＋8×7！＝9×7！＝9A＝右边，所以原式成立.

10.8 个人排成一排．

(1)共有多少种不同的排法？

(2)其中甲、乙两人不能相邻， 共有多少种不同的排法？

(3)8 个人排成两排，前后两排各 4 人共有多少种不同的排法？

(4)8 个人排成两排，前排 3 人，后排 5 人，共有多少种不同的排法？

解：(1)由排列的定义知共有A种不同的排法．

(2)共8名同学，要使甲、乙不相邻，可分为两步：

第一步，可先排其余6名同学，有A种不同的排法，

第二步，然后甲、乙同学插空，有A种排法，

故共有AA种不同的站法．

(3)法一：8 人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A.

法二：也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知共有A×A＝A种排法．

(4)同(3)的分析可知，共有A×A＝A(种).

1.若S＝A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字为(　　)

A.0  B．3

C.5  D．8

解析：选B　∵A＝120，∴n≥5时A的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝33.故S的个位数字为3.

2.集合P＝{x|x＝A，m∈N*}，则集合P中共有______个元素．

解析：因为m∈N*，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．

答案：3

3.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案的种数为________．

解析：可用间接法：从全部方案中减去只选派男生的方案数，则所有不同的选派方案共有A－A＝186(种)．

答案：186

4.从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：

(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？

(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？

解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有

A种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝1 800.

(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A·A＝2 520.

5.规定A＝x(x－1)…(x－m＋1)，其中x∈R，m为正整数，且A＝1，这是排列数A(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

(1)求A的值；

(2)确定函数f(x)＝A的单调区间．

解：(1)由已知得A＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.

(2)函数f(x)＝A＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x，

则f′(x)＝3x2－6x＋2.

令f′(x)>0，得x>或x<，

所以函数f(x)的单调递增区间为

，；

令f′(x)<0，得<x<，

所以函数f(x)的单调递减区间为.