课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式

1.[多选]下列问题是组合问题的是(　　)

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2 020个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C.集合{a1，a2，a3，…，an}的含有四个元素的子集有多少个？

D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？

解析：选ABC　组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此不是组合问题，A、B、C均是组合问题.

2.若C＝28，则n＝(　　)

A.9　　　　　　　　　 B．8

C.7  D．6

解析：选B　由C＝＝28，解得n＝8.

3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)

A.A种  B．C种

C.CA种  D．30种

解析：选B　三张票没区别，从10人中选3人即可，即C，故选B.

4.下列计算结果为21的是(　　)

A.A＋C  B．C

C.A  D．C

解析：选D　C＝＝21.

5.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(　　)

A.36种  B．48种

C.96种  D．192种

解析：选C　甲选修2门有C＝6种选法，乙、丙各有C＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法.

6.6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．

解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．

答案：15

7.若C>C，则n的集合是________．

解析：∵C>C，∴

即

⇒⇒

∵n∈N*，∴n＝6,7,8,9.

∴n的集合为{6,7,8,9}．

答案：{6,7,8,9}

8.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型的所有可能情况有________种．

解析：父母应为A或B或O，共有C·C＝9种情况．

答案：9

9.(1)解不等式：2C<3C；

(2)计算C＋C＋C＋…＋C；

(3)求证：C＝C.

解：(1)∵2C<3C，

∴2C<3C，

∴2×<3×.

∴<，∴x<，

∵∴x≥2，

∴2≤x<，又x∈N*，∴x＝2,3,4,5.

∴不等式的解集为{2,3,4,5}．

(2)由题意，得≤n≤，

又n∈N*，故n＝6.

∴原式＝C＋C＋C＋…＋C

＝C＋C＋C＋…＋C

＝19＋18＋17＋…＋12＝124.

(3)证明：∵C＝·＝＝C，

∴原式成立.

10.在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？

(1)有3名内科医生和2名外科医生；

(2)既有内科医生，又有外科医生．

解：(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120种选派方法．

(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246种选派方法．

若从反面考虑，则有C－C＝246种选派方法.

1.从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　)

A.168  B．45

C.60  D．111

解析：选D　选出的代表中女生有1,2,3名时，男生相应有3,2,1名，则不同的选法种数为CC＋CC＋CC＝111.

2.若A＝6C，则m的值为(　　)

A.6  B．7

C.8  D．9

解析：选B　由A＝6C得＝6·，即＝，解得m＝7.

3.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．

解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126种走法，故从A地到B地的最短路线共有126条．

答案：126

4.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？

解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的数的个数为C＝＝20.

5.某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．

(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？

(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？

(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？

解：(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有CC＝2 100(种)，

所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．

(2)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方法CC＋C＝2 555(种)．

(3)选取3件的种数有C，因此有选取方法

C－C＝6 090(种)．

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.