习题课（三） 成对数据的统计分析

这是一份习题课（三） 成对数据的统计分析，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下，其中拟合得最好的模型为( )
A．模型1的R2为0.75 B．模型2的R2为0.90
C．模型3的R2为0.25 D．模型4的R2为0.55
解析：选B R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说拟合效果越好．
2．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列说法中不正确的是( )
A．由样本数据得到的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))必过样本点的中心(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.936 2，则变量y与x之间具有线性相关关系
解析：选C R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．
3．对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是( )
A．模型Ⅰ：相关系数r为0.96
B．模型Ⅱ：相关系数r为－0.81
C．模型Ⅲ：相关系数r为－0.53
D．模型Ⅳ：相关系数r为0.35
解析：选A |r|越大，拟合效果越好．
4．关于残差和残差图，下列说法正确的是( )
A．残差就是随机误差
B．残差图的横坐标是残差
C．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高
D．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低
解析：选C 根据残差分析的概念可知，C选项正确．残差是真实值减去估计值．
5．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
解析：选D 用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的大致走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y＝a＋bln x.
6．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为患肝病与嗜酒有关；②根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为患肝病与嗜酒有关；③没有证据显示患肝病与嗜酒有关.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选B 根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝eq \f(9 965×7 775×49－42×2 0992,7 817×2 148×9 874×91)≈56.632，
由56.632>10.828>6.635.
且P(χ2≥10.828)≈0.001，P(χ2≥6.635)≈0.01.
所以①②均正确．
二、填空题
7．调查某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)显示，年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321，知x每增加1，y增加0.254.
答案：0.254
8．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________．
解析：由表知eq \x\t(x)＝30，设模糊不清的数据为m，
则eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)(62＋m＋75＋81＋89)＝eq \f(307＋m,5)，
因为eq \x\t(y)＝0.67eq \x\t(x)＋54.9，
即eq \f(307＋m,5)＝0.67×30＋54.9，解得m＝68.
答案：68
9．假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：
若由资料可知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x，其中已知eq \(b,\s\up6(^))＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________万元．
解析：由表中数据可知，
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5.
∵经验回归直线一定经过点(eq \(x,\s\up6(－))，eq \(y,\s\up6(－)))，
∴5＝eq \(a,\s\up6(^))＋1.23×4，∴eq \(a,\s\up6(^))＝0.08，
∴经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.
故估计使用年限为20年时，维修费用约为y＝1.23×20＋0.08＝24.68(万元)．
答案：24.68
三、解答题
10．2020年某市开展了“寻找身边的好老师”活动，市六中积极行动，认真落实，通过微信关注评选“身边的好老师”，并对选出的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计，得到如下数据：
(1)若“好老师”的被关注数量y与其班主任的工作年限x满足经验回归方程，试求经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；
(2)若用eq \f(yi,xi)(i＝1,2,3,4,5)表示统计数据时被关注数量的“即时均值”(四舍五入到整数)，从“即时均值”中任选2组，求这2组数据之和小于8的概率．
解：(1)因为eq \(x,\s\up6(－))＝8，eq \(y,\s\up6(－))＝36，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(40＋120＋320＋600＋600－5×8×36,16＋36＋64＋100＋144－5×82)＝6，
eq \(a,\s\up6(^))＝36－6×8＝－12，
所以eq \(y,\s\up6(^))＝6x－12.
当x＝15时，eq \(y,\s\up6(^))＝6×15－12＝78(百人)．
(2)这5次统计数据，被关注数量的“即时均值”分别为3,3,5,6,4.
从5组“即时均值”任选2组，共有Ceq \\al(2,5)＝10种情况，其中2组数据之和小于8为(3,3)，(3,4)，(3,4)共3种情况，所以这2组数据之和小于8的概率为eq \f(3,10).
11．“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t(百元)的频率分布直方图如图所示：
(1)求网民消费金额t的平均值eq \(t,\s\up6(－))和中位数t0.
(2)把下表中空格里的数填上，并判断能否根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为网购消费与性别有关？
解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额t的平均值
eq \(t,\s\up6(－))＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5.
直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5.
所以t的中位数t0＝10.
(2)补充列联表如下：
零假设为
H0：网购消费与性别独立，即网购消费与性别无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
χ2＝eq \f(100×25×30－25×202,50×50×45×55)＝eq \f(100,99)≈1.01<10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为网购消费与性别无关．
12．某城市理论预测2015年到2019年人口总数与年份的关系如表所示：
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的经验回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))；
(3)据此估计2022年该城市人口总数．
解：(1)作出散点图如图所示．
(2)因为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(5＋7＋8＋11＋19,5)＝10，
eq \i\su(i＝0,4,x)iyi＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，
eq \i\su(i＝0,4,x)eq \\al(2,i)＝02＋12＋22＋32＋42＝30，
所以eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(132－5×2×10,30－5×4)＝3.2，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝3.6，
所以经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝3.2x＋3.6.
(3)令x＝7，则eq \(y,\s\up6(^))＝3.2×7＋3.6＝26.
即估计2022年该城市人口总数为260万．患病状况
饮酒习惯
合计
嗜酒(Y＝0)
不嗜酒(Y＝1)
患肝病(X＝0)
7 775
42
7 817
未患肝病(X＝1)
2 099
49
2 148
合计
9 874
91
9 965
零件数x(个)
10
20
30
40
50
加工时间y(min)
62
75
81
89
x/年
2
3
4
5
6
y/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
班主任工作年限
x(单位：年)
4
6
8
10
12
被关注数量y
(单位：百人)
10
20
40
60
50
消费金额
性别
合计
男(Y＝0)
女(Y＝1)
t≥t0(X＝0)
t30
合计
45
消费金额
性别
合计
男(Y＝0)
女(Y＝1)
t≥t0(X＝0)
25
25
50
t20
30
50
合计
45
55
100
年份2015＋x(年)
0
1
2
3
4
人口数y(十万)
5
7
8
11
19