习题课（一） 计数原理

这是一份习题课（一） 计数原理，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为( )
A．9 B．12
C．18 D．24
解析：选D 分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理得不同项数为4×3×2＝24.
2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( )
A．63种 B．31种
C．8种 D．7种
解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(3,3)＝7(种)．
3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )
A．7种 B．8种
C．6种 D．9种
解析：选A 要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．
4．将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中，每间宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )
A．252种 B．112种
C．70种 D．56种
解析：选B 分两类：甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人，所以不同的分配方案共Ceq \\al(3,7)Aeq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,7)Aeq \\al(2,2)＝35×2＋21×2＝112(种)．
5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个
C．96个 D．72个
解析：选B 当五位数的万位数字为4时，个位数字可以是0,2，此时满足条件的偶数共有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,4)＝48(个)；当五位数的万位数字为5时，个位数字可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,4)＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)．故选B.
6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：选D 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个空当，再把三人带椅子插放在四个空当中，即共有Aeq \\al(3,4)＝24种坐法．
二、填空题
7.如图所示为一电路图，若只闭合一条线路，则从A处到B处共有________条不同的线路可通电.
解析：按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3条，中线路中有一条，下线路中有2×2＝4条．根据分类加法计数原理，共有3＋1＋4＝8条不同的线路．
答案：8
8．5n＋13n(n∈N)除以3的余数是________.
解析：5n＋13n＝(6－1)n＋(12＋1)n＝Ceq \\al(0,n)6n(－1)0＋Ceq \\al(1,n)6n－1(－1)1＋…＋Ceq \\al(n,n)60(－1)n＋Ceq \\al(0,n)12n＋Ceq \\al(1,n)12n－1＋…＋Ceq \\al(n,n)120.
当n为奇数时，Ceq \\al(n,n)60(－1)n＋Ceq \\al(n,n)120＝0，故5n＋13n能被3整除，余数为0.
当n为偶数时，Ceq \\al(n,n)60(－1)n＋Ceq \\al(n,n)120＝2，故5n＋13n被3除余数为2.
答案：0或2
9．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)
解析：由已知条件可得第1块地有Ceq \\al(1,2)种种植方法，则第2～4块地共有Aeq \\al(3,5)种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,5)＝120种．
答案：120
三、解答题
10．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血共有9人，AB型血共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以由分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．
11．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(1,\r(x))))n展开式中各项系数之和比二项式系数之和大240.
(1)求n；
(2)求展开式中含x项的系数；
(3)求展开式中所有含x的有理项．
解：(1)由已知得，4n－2n＝240,2n＝16，n＝4.
(2)二项展开式的通项为
Ceq \\al(r,4)(5x)4－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))r＝Ceq \\al(r,4)54－r(－1)rx4－eq \f(3,2)r，
令4－eq \f(3,2)r＝1⇒r＝2，
所以含x项的系数为Ceq \\al(2,4)52(－1)2＝150.
(3)由(2)得，4－eq \f(3,2)r∈Z(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4.
所以展开式中所有含x的有理项为：
第1项625x4，第3项150x，第5项x－2.
12．已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．
解：(1)根据题意得，Ceq \\al(1,m)＋Ceq \\al(1,n)＝7，即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为
Ceq \\al(2,m)＋Ceq \\al(2,n)＝eq \f(mm－1,2)＋eq \f(nn－1,2)＝eq \f(m2＋n2－m－n,2).
将①变形为n＝7－m代入上式得，x2的系数为
m2－7m＋21＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(7,2)))2＋eq \f(35,4)，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数最小．
当m＝3，n＝4时，x3的系数为Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(3,4)＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(3,3)＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3
≈Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(1,4)×0.003＋Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,3)×0.003≈2.02.