北师大版七年级下册3 平行线的性质课时训练

这是一份北师大版七年级下册3 平行线的性质课时训练，共27页。试卷主要包含了已知，如图，数学课上，陈老师说，推理填空题等内容，欢迎下载使用。
2-3平行线的性质解答题专题训练

1．已知：如图，BCE和AFE是直线，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
证明：∵AB∥CD，
∴∠4＝∠　 　（ 　 　）．
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝　 　（ 　 　）．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（ 　 　），
即∠BAF＝∠　 　．
∴∠3＝∠　 　．
∴AD∥BE（ 　 　）．

2．如图：AB∥DE，∠1＝∠ACB，AC平分∠BAD，交DE于F，请问AD与BC平行吗？请说明理由．

3．如图，AC∥EF，∠1+∠3＝180°．
（1）求证：AF∥CD；
（2）若AC⊥EB于点C，∠2＝40°，求∠BCD的度数．

4．数学课上，陈老师说：“同学们，如果∠A的两边与∠C的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下∠A与∠C的数量关系吗？”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据AB∥CD，AE∥CF的条件，得出了∠A＝∠C的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？　 　．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：　 　．

5．如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DB∥EF；
（2）若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．

6．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．请将解题过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝　 　（　 　），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（　 　），
∴AB∥　 　（　 　），
∴∠BAC+　 　＝180°（　 　），
∵∠BAC＝70°（已知），
∴∠AGD＝　 　．

7．推理填空题

（一）如图（1）∠1＝∠2＝∠3，完成说理过程并注明理由；
（1）因为∠1＝∠2
所以　 　∥　 　
（2）因为∠1＝∠3
所以　 　∥　 　（　 　）
（二）已知：如图（2），∠1＝∠2．求证：∠3+∠4＝180°
证明：∵∠1＝∠2
∴a∥b
∴　 　＝180°（　 　）
又∵∠4＝∠5
∴∠3+∠4＝180°．
8．如图，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A＝30°，求∠F的度数．

9．如图，点F在线段AB上，点E、G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠D＝180°，（　 　）
∵∠D＝100°，（已知）
∴∠ABD＝　 　°，
∵BC平分∠ABD，（已知）
∴∠ABC＝∠ABD＝40°．（角平分线的定义）
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．

10．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，
（1）证明：EF∥AB．
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由．

11．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，则DE∥BC，下面是王华同学的推导过程，请你帮他在括号内填上推导依据或内容．
证明：
∵∠1+∠2＝180（已知），
∠1＝∠4（　 　），
∴∠2+　 　＝180°．
∴EH∥AB（　 　）．
∴∠B＝∠EHC（　 　）．
∵∠3＝∠B（已知）
∴∠3＝∠EHC（　 　）．
∴DE∥BC（　 　）．
12．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求∠C的度数．

13．阅读理解填空，并在括号内填注理由．
如图，已知AB∥CD，M，N分别交AB，CD于点E，F，∠1＝∠2，求证：EP∥FQ．
证明：∵AB∥CD（　 　）
∴∠MEB＝∠MFD（　 　）．
又∵∠1＝∠2（　 　）
∠MEB﹣∠1＝∠MFD﹣∠2（　 　）
即：∠MEP＝∠　 　
EP∥　 　．（　 　）

14．如图，AF的延长线与BC的延长线交于点E，AD∥BE，∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝80°．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：AB∥DC．

15．如图1，已知∠ACB＝80°，点A在直线EF上，点B在直线GH上，且∠CAE+∠CBG＝80°．
（1）试判断直线EF与GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点B在直线GH上运动，作∠CAP＝2∠CAE，作∠CBP＝2∠CBG，试判断∠APB的大小是否会随着点B的运动而发生变化？若不变，求出∠APB的大小；若变化，请说明理由．



16．完成下面的证明．
如图，AC⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为点C，G，∠1＝∠2．
求证：CD∥EF．
证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC，（已知）
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义）
∴　 　∥　 　（　 　）
∴∠2＝∠BCD，（　 　）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠　 　，（等量代换）
∴CD∥EF．（同位角相等，两直线平行）

17．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝α．
（1）用α表示∠ACP；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．

18．阅读材料（1），并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）．
（1）如图1，AB∥CD，E为形内一点，连接BE、DE得到∠BED，求证：∠E＝∠B+∠D．
悦悦是这样做的：
过点E作EF∥AB．则有∠BEF＝∠B．
∵AB∥CD，∴EF∥CD．
∴∠FED＝∠D．
∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．
即∠BED＝∠B+∠D．
（2）如图2，画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G，猜想∠G的度数，并证明你的猜想．
（3）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2，求证：∠FG1E+∠G2＝180°．

19．完成下面的推理
如图，已知DE⊥BC于E、FG⊥BC于G、∠1＝∠2，求证：EH∥AC
证明：延长HE、FG相交于点Q
∵DE⊥BC，FG⊥BC（已知）
∴∠DEC＝90°，∠FGC＝90° （　 　）
∴∠DEC＝∠FGC （　 　）
∴DE∥　 　
∴∠1＝　 　
又∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝　 　（等量代换）
∴EH∥AC （　 　）

20．如图所示：∵∠1＝65°，∠2＝65°（已知），
∴∠1＝∠2（　 　）
∴　 　∥　 　（　 　）
∵AB、DE相交
∴∠1＝∠4（　 　）
∴∠4＝∠1＝65°（等量代换）
∵∠3＝115°（已知）
∴∠3+∠4＝180°．
∴　 　∥　 　（　 　）．

21．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．
（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．

22．如图，点B、E分别在直线AC和DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，可以证明∠A＝∠F．请完成下面证明过程中的各项“填空”．
证明：∵∠AGB＝∠EHF（理由：　 　）
∠AGB＝　 　（对顶角相等）
∴∠EHF＝∠DGF，∴DB∥EC（理由：　 　）
∴∠　 　＝∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，
∴DF∥　 　（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠F（理由：　 　）．
23．图1展示了光线反射定律：EF是镜面AB的垂线，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与垂线EF所夹的锐角θ1＝θ2．
（1）在图1中，证明：∠1＝∠2．
（2）图2是潜望镜工作原理示意图，AB，CD是平行放置的两面平面镜．请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线n是平行的？
（3）图3中，AB，BC是平面镜，入射光线m经过两次反射后，反射光线n与m平行但方向相反，求∠ABC的度数．

24．如图所示，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么EG∥FH吗？说明你的理由．

25．已知，如图．AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．请完成解答过程．
证明：∵AD∥BE（已知）
∴∠A＝∠　 　（ 　 　）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴AC∥　 　（ 　 　）
∴∠3＝∠　 　（两直线平行，内错角相等）
∴∠A＝∠E（等量代换）



26．如图，已知AD是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°
（1）AD与EF平行吗？为什么？
（2）∠3与∠DAC相等吗？为什么？

27．已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F．

28．已知：如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC，垂足为D，E为AB上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点D作DG∥AB交AC于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）请你判断∠BEF与∠ADG的数量关系，并加以证明．

29．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（　 　）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（　 　），
∴AD∥EG，（　 　）
∴∠1＝∠2，（　 　）
　 　＝∠3，（　 　）
又∵∠E＝∠1（已知），
∴　 　＝　 　（　 　）
∴AD平分∠BAC（　 　）

30．已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数；
（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于　 　．（在横线上填上答案即可）


参考答案
1．证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠BAF（两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠BAF（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAF＝∠CAD，
∴∠3＝∠CAD（等量代换），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：BAF；两直线平行，同位角相等；BAF；等量代换；等式的性质；CAD；CAD；内错角相等，两直线平行．
2．解：AD∥BC．
理由：∵AB∥DE，
∴∠1＝∠BAC，
∵∠1＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC．
3．证明：（1）∵AC∥EF，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠2＝∠3，
∴AF∥CD；
（2）∵AC⊥EB，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠2＝∠3＝40°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°．
4．解：（1）如图，

理由：∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠A＝∠1．∠1＝∠C，
∴∠A＝∠C；
（2）不同意甲同学的结论，
结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
理由：如图，AB∥CD，AE∥CF．

∵AE∥CF，
∴∠A+∠1＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C，
∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠C，
∴∠A+∠C＝180°，
即∠A与∠C互补．
由（1）（2）可以得出的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：不同意，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
5．（1）证明：∵DG∥BC，
∴∠1＝∠DBC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴DB∥EF；
（2）解：∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝90°，
∵∠1＝∠2＝50°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
∵DG∥BC，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
6．解：∵EF∥AD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC＝70°（已知），
∴∠AGD＝110°．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG，内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
7．解：（一）（1）因为∠1＝∠2，
所以EF∥BD；
（2）因为∠1＝∠3，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
（二）证明：∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠4＝∠5，
∴∠3+∠4＝180°．
故答案为：EF，BD，AB，CD，内错角相等，两直线平行；∠3+∠5，两直线平行，同旁内角互补．
8．解：（1）证明：∵∠AHC＝∠EHF，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AHC＝∠AGB．
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠CEF＝∠D．
∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠C．
∴AC∥DF．
∴∠F＝∠A＝30°．

9．（1）解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠D＝100°，（已知）
∴∠ABD＝80°，
∵BC平分∠ABD（已知），
∴∠ABC＝∠ABD＝40°（角平分线的定义），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补，80；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴AE∥FG．
10．解：（1）∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）∠AED与∠C相等．
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
11．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），∠1＝∠4 （对顶角相等），
∴∠2+∠4＝180°．
∴EH∥AB （ 同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠B＝∠EHC（两直线平行，同位角相等）．
∵∠3＝∠B（已知）
∴∠3＝∠EHC（ 等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；∠4； 同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
12．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠3＝180°，
∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°，
∴∠3＝25°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝25°．
13．证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠MEB＝∠MFD（两直线平行同位角相等）．
又∵∠1＝∠2（已知）
∠MEB﹣∠1＝∠MFD﹣∠2（角的和差定义）
即：∠MEP＝∠MFQ
EP∥FQ．（同位角相等两直线平行）
故答案为：已知，两直线平行同位角相等，已知，角的和差定义，MFQ，FQ，同位角相等两直线平行．
14．（1）解：∵AD∥BE，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠2+∠CAE＝∠CAD，∠3＝80°，
∴∠2+∠CAE＝80°，
∵∠2＝30°，
∴∠CAE＝50°；
（2）证明：∵∠2+∠CAE＝∠CAD＝∠3，
∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠CAE＝∠4，
即∠BAE＝∠4，
∴AB∥DC．
15．解；（1）直线EF与GH的位置关系是平行，理由如下：
如图1，过点C作CD∥EF，
∴∠CAE＝∠ACD，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80°，∠CAE+∠CBG＝80°．
∴∠BCD＝∠CBG，
∴CD∥GH，
∴EF∥GH；

（2）∠APB的大小不会随着点B的运动而发生变化，理由如下：
如图2，∵∠CAP＝2∠CAE，∠CBP＝2∠CBG，
∴∠CAP+∠CBP＝2∠CAE+2∠CBG＝2（∠CAE+∠CBG）＝2×80°＝160°，
∴∠APB＝360°﹣∠ACB﹣（∠CAP+∠CBP）＝360°﹣80°﹣160°＝120°．
所以∠APB的大小为120°．
16．证明：∵AC⊥BC，DG⊥AC（已知），
∴∠DGA＝∠BCA＝90°，（垂直的定义），
∴DG∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠l＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：DG，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等，BCD．
17．（1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP＝α，
∵∠P＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠CAP＝90°﹣α；
（2）证明：
由（1）可知∠ACP＝90°﹣α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACP＝180°﹣2α，
又∠BAC＝2∠BAP＝2α，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD；
（3）证明：
∵AP∥CF，
∴∠ECF＝∠CAP＝α，
由（2）可知AB∥CD，
∴∠ECD＝∠CAB＝2α，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝α，
∴∠ECF＝∠DCF，
∴CF平分∠DCE．
18．（2）如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；
证明：由结论（1）得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，
∴∠BEG+∠GFD＝90°，
∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
∴∠EGF＝90°；
（3）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，
∵AB∥CD，∴G1H∥CD，
由结论（1）可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠3＝∠G2FD，
∵FG2平分∠EFD，
∴∠4＝∠G2FD，
∵∠1＝∠2，
∴∠G2＝∠2+∠4，
∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，
∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EG1F+∠G2＝180°．

19．证明：延长HE、FG相交于点Q
∵DE⊥BCFG⊥BC（已知）
∴∠DEC＝90°，∠FGC＝90° （垂线的定义）
∴∠DEC＝∠FGC （等量代换）
∴DE∥FG
∴∠1＝∠Q
又∠1＝∠2（已知）
∴∠2＝∠Q（等量代换）
∴EH∥AC（内错角相等两直线平行），
故答案为：垂线的定义，等量代换，FG，∠Q，∠Q，内错角相等两直线平行．
20．解：∵∠1＝65°，∠2＝65°（已知），
∴∠1＝∠2（ 等式的性质）
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）
∵AB、DE相交
∴∠1＝∠4（ 对顶角相等）
∴∠4＝∠1＝65°（等量代换）
∵∠3＝115°（已知）
∴∠3+∠4＝180°．
∴DF∥AB（ 同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：等式的性质；DE；BC；同位角相等，两直线平行；对顶角相等；DF；AB；同旁内角互补，两直线平行．
21．解：（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵EF∥AB，∠EFB＝130°，
∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°，
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABC＝70°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC，
∴CD∥AB；
（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACB＝40°．

22．解：∵∠AGB＝∠EHF（已知），∠AGB＝∠DGF（对顶角相等），
∴∠EHF＝∠DGF
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠DBA （ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBA＝∠D（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案是：已知；∠DGF；同位角相等，两直线平行；C；AC；两直线平行，内错角相等．
23． 解：（1）∵∠AFE＝∠BFE＝90°，

∵θ1＝θ2．
∴∠1＝∠2；
（2）如图2，∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3 （两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（等量减等量，差相等），
即：∠5＝∠6（等量代换），
∴m∥n （内错角相等，两直线平行）
（3）∠ABC＝90°，
理由是：如图3，∵∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝80°，
∴∠EPQ+∠PQF＝180°+180°﹣180°＝180°，
∴PE∥CQ，
∴m∥n．
24．解：EG∥FH．
理由：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∵∠5＝180°﹣∠1﹣∠2，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4，
∴∠5＝∠6，
∴EG∥FH．
25．证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换），
故答案为：3，两直线平行，同位角相等，DE，内错角相等，两直线平行，E．
26．解：（1）AD∥EF，
理由是：∵∠1＝∠2，
∴AD∥EF；
（2）∠3＝∠DAC，
理由是：∵AD∥EF，
∴∠4+∠BAD＝180°，
∵∠3+∠4＝180°，
∴∠3＝∠BAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠3＝∠DAC．
27．证明：∵∠BAP与∠APD互补，
∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行），
∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知）
由等式的性质得：
∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，
即∠EAP＝∠FPA，
∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）．
28．（1）如图所示：
（2）∠BEF＝∠ADG．理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADF＝∠EFB＝90°．
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠BEF＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）．
∵DG∥AB，
∴∠BAD＝∠ADG（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BEF＝∠ADG．

29．解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠2＝∠3（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
30．解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A＝∠B，
∴∠A+∠O＝180°，（等量代换）
∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行）
（2）（ⅰ）∵∠A＝∠B＝100°，
由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°；
∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，
∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°．
（ⅱ）∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，
又∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2．
（ⅲ）∵OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝80°，
∴α＝β＝20°，
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
故答案是：60°．