数学八年级下册17.1 勾股定理课后测评

勾股定理与新定义

1.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。如图1，若在△ABC中，，则.我们定义为“商高定理”.

（1）如图1，在△ABC中，，，，试求___________；

（2）如图2，四边形的对角线、交于点，.试证明：；

（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、.已知，，求的值.

2.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

（1）如图1，已知格点（小正方形的顶点）：O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，若M为格点，请直接画出一个以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；

（2）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC，∠DCB=30°，求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形；

（3）如图3，在四边形ABCD中，ABCD为等边三角形，AB=6，AD=8，∠DAB=30°，求AC长.

图1                        图2                                图3

3.我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形.

（1）①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？_______.

（填“是”或“不是”）

②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形______(填“是”或“不是”)奇异三角形.

（2）①探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由.

②在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2:b2:c2；

（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD=BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE=AD，CB=CE.

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数.

4.我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.

如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“极化值”就等于的值，可记为.

（1）△ABC中，若，，求的值.

（2）如图2，在△ABC中，，，求，的值.

（3）如图3，在△ABC中，是边上的中线，，，，求和的长.