初中数学北师大版八年级下册3 线段的垂直平分线优秀综合训练题

北师大版八年级数学下册

《线段的垂直平分线》专项练习

一              、选择题

1.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为(　　)

A.40°       B.50°       C.60°       D.70°

【答案解析】B.

2.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为(　　)

A.8          B.10          C.11          D.13

【答案解析】A.

3.已知：在△ABC中，AB＝AC，求作：△ABC的内心O.以下是甲、乙两同学的作法：

甲：如图1

①作AB的垂直平分线DE；

②作BC的垂直平分线FG；

③DE，FG交于点O，则点O即为所求.

乙：如图2

①作∠ABC的平分线BD；

②作BC的垂直平分线EF；

③BD，EF交于点O，则点O即为所求.

对于两人的作法，正确的是(　　)

A.两人都对      B.两人都不对     C.甲对，乙不对      D.甲不对，乙对

【答案解析】D

4.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

A.①         B.②        C.③        D.④

【答案解析】C．

5.如图，已知在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为(　　)

A.10°           B.20°          C.30°         D.35°

【答案解析】B.

6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是(　　)

A.1        B.1.5       C.2        D.2.5

【答案解析】C.

7.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(    )

A.AB垂直平分CD              B.CD垂直平分AB

C.AB与CD互相垂直平分       D.CD平分∠ACB

【答案解析】A

8.如图所示，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是(    )

A.AB＋DB＞DE     B.AB＋DB<DE         C.AB＋DB＝DE      D.无法判断

【答案解析】C

9.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(      )

A.1对        B.2对        C.3对        D.4对

【答案解析】D.

10.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于(　　)

A.15°      B.25°        C.15°或75°        D.25°或85°

【答案解析】C.

11.如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为(　　)

A.6         B.8         C.9          D.10

【答案解析】C.

12.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP.

下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.

其中正确的有(　　)

A.1个         B.2个           C.3个        D.4个

【答案解析】D.

二              、填空题

13.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E.若AB＝10cm，△ABC的周长为27cm，则△BCE的周长为     .

【答案解析】答案为：17.

14.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE＝3cm，则△ABD的周长为      cm.

【答案解析】答案为：13

15.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′的位置，则BC′与CC′之间的关系是       .

【答案解析】答案为：垂直且相等

16.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.若∠DBC＝33°，

∠A的度数为　  　.

【答案解析】答案为：38°.

17.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于     .

【答案解析】答案为：70°或20°.

18.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是　   　.

【答案解析】答案为：9.6.

三              、作图题

19.如图：求作一点P，使PM＝PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等.

【答案解析】解：如图，点P即为所求.

(1)作∠AOB 的平分线OC；

(2)连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，则P点即为所求.

四              、解答题

20.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.

求证：∠B＝∠CAF.

【答案解析】证明：∵EF垂直平分AD，

∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF，

∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∴∠B＝∠CAF.

21.如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗？请说明理由.

【答案解析】解：PA＝PC.

理由：∵直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，

∴PA＝PB，PC＝PB，

∴PA＝PC.

22.已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于E.

求证：CD⊥BE.

【答案解析】证明：∵DE⊥AB

∴∠BDE＝90°，

∵∠ACB＝90°

∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中

BD＝BC，BE＝BE

∴Rt△DEB≌Rt△CEB(HL)

∴DE＝EC

又∵BD＝BC

∴E、B在CD的垂直平分线上

即BE⊥CD.

23.如图.在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.

求证：∠2＝∠1＋∠C.

【答案解析】证明：如图，延长AD交BC于点F，

∵BE是角平分线，AD⊥BE，

∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，

又∵∠AFB＝∠1＋∠C，

∴∠2＝∠1＋∠C.

24.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M. 
 

(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________.   

(2)连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm. 
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.

【答案解析】解：(1)50°
(2)猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°. 
理由：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°.
如图：
 

①∵MN垂直平分AB.

∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC＋BC＝14cm，

∴BC＝6cm.
②当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.

25.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.

(1)求证：AD垂直BC；

(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.

【答案解析】证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直线AD是BC的垂直平分线，

∴AD垂直BC；

(2)证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE；

(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE，

∵AB＝AC，

∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.