【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题2-4+导数证明不等式归类 学案（原卷版+解析版）

这是一份【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题2-4+导数证明不等式归类 学案（原卷版+解析版）
专题2-4 导数证明不等式归类 目录TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17506" 讲高考  PAGEREF _Toc17506 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc32038" 题型全归纳  PAGEREF _Toc32038 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc2034" 【题型一】不等式证明基础思维  PAGEREF _Toc2034 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13682" 【题型二】极值点偏移1：零点型  PAGEREF _Toc13682 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15290" 【题型三】极值点偏移2：水平线交点型  PAGEREF _Toc15290 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21311" 【题型四】极值点偏移3：极值型  PAGEREF _Toc21311 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18820" 【题型五】极值点偏移4：多极值点型  PAGEREF _Toc18820 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc15463" 【题型七】零点偏移型  PAGEREF _Toc15463 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc32283" 【题型八】条件不等式（等式）型  PAGEREF _Toc32283 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22416" 【题型十】数列不等式型  PAGEREF _Toc22416 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc26223" 【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型）  PAGEREF _Toc26223 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc17227" 【题型十二】两根差的绝对值型  PAGEREF _Toc17227 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc16060" 【题型十三】两边夹放缩型  PAGEREF _Toc16060 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc19208" 【题型十四】三角函数型不等式  PAGEREF _Toc19208 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc19510" 专题训练  PAGEREF _Toc19510 \h 7讲高考1.已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．2022年高考全国甲卷数学（理）真题2.已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．2022年新高考全国II卷数学真题3.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．2022年新高考北京数学高考真题4.已知，函数．设，记曲线在点处的切线为l．(1)求l的方程；(2)设l与x轴交点为．证明：①；②若，则．2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课标）题型全归纳【题型一】不等式证明基础思维【讲题型】例题1.已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）求在内的单调区间.（2）设函数，证明：.【练题型】1.已知函数，.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求证：.2.已知函数．（1）证明：（2）若对任意都有，求的最大值．【题型二】极值点偏移1：零点型【讲题型】例题1.已知函数，．（1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；（2）若方程恰有一个实根，求的取值集合；（3）若方程有两个不同的实根，，求证：．【练题型】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．【题型三】极值点偏移2：水平线交点型【讲题型】例题1..已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：.【练题型】已知函数在点处的切线方程与轴平行．（1）求函数的极值；（2）若函数有两个不同的零点，．①求的取值范围；②证明：．【题型四】极值点偏移3：极值型【讲题型】例题1.已知函数．（1）讨论f（x）的极值点的个数；（2）若f（x）有3个极值点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），证明：x1x3＜x22．【练题型】已知，关于x的方程的不同实数解个数为k.（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；（2）若方程的三个不同的根从小到大依次为，求证：.【题型五】极值点偏移4：多极值点型【讲题型】例题1.已知，关于x的方程的不同实数解个数为k.（1）求k分别为1，2，3时，m的相应取值范围；（2）若方程的三个不同的根从小到大依次为，求证：.【练题型】．已知函数（其中为常数）．（1）当时，求函数的单调减区间和极值点；（2）当时，设函数的3个极值点为，，，且，①求的取值范围；②证明：当时，．【题型七】零点偏移型【讲题型】例题1.已知，．（1）求在处的切线方程；（2）已知的两个零点为，且为的唯一极值点．①求实数的取值范围；②求证：．【练题型】设函数，().（1）若在处的切线平行于直线，求实数的值；（2）设函数，判断的零点的个数；（3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：.【题型八】条件不等式（等式）型【讲题型】例题1.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，分别解答下面两题：（i）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围；（ii）若，是两个不相等的正数，，求证：．【练题型】已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在实数，满足，求证：．【题型十】数列不等式型【讲题型】例题1.已知.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；（3）证明不等式：.【练题型】已知二次函数图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上；又，，且，对任意都成立.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求证：①；②.【题型十一】水平线分割型（凸凹翻转型）【讲题型】例题1.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求的最小值；（3）当时，证明：.【练题型】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：.【题型十二】两根差的绝对值型【讲题型】例题1.已知函数，其中．（1）当，时，证明：；（2）若函数恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有两个不同的零点、，证明：．【练题型】已知函数.（1）当时，求的极值点.（2）当时，若，且，证明.【题型十三】两边夹放缩型【讲题型】例题1.已知函数．（1）求证：恒成立；（2）若函数有两个不同零点，，求证：．【练题型】已知函数，．（1）求函数的极值；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，求曲线在点处的切线方程；（3）若方程为实数）有两个实数根，且，求证：．【题型十四】三角函数型不等式【讲题型】例题1.已知，，．（1）若，证明：；（2）对任意都有，求整数的最大值．【练题型】已知函数．（1）若，求函数零点的个数；（2）若，对于任意，求证：．1．已知函数.(1)若最小值为0，求的值；(2)，若，证明.2．已知函数(1)若存在零点，求实数a的取值范围；(2)若是的零点，求证：3．已知函数，．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若存在，，使得，则．4．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若直线与曲线相切，求证：．5．已知函数 (1)当时，求函数的最小值；(2)若关于x的方程有两个不同的实根，证明：．6．已知函数.(1)求函数的最小值；(2)若方程有两个不同的实数根，且，证明：.7．已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：；8．已知函数.(1)若是函数的极值点，证明：；(2)证明：对于，存在的极值点，满足.9．已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)记的零点为（），的极值点为，证明：.10.已知函数和有相同的最小值.(1)求；(2)设，证明.【讲技巧】应用导数证明不等式基础思维：欲证f（x）>g（x），移项为h（x）=f（x）-g（x），证明h（x）min>0,求导求最值【讲技巧】零点型，注意数形结合思想的应用：零点是否是特殊值，或者在某个确定的区间之内。零点是否可以通过构造零点方程，进行迭代或者转化。将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理【讲技巧】一般情况下，第一步转化是消元，把三个根用一个变量t表示，第二步构造关于变量的新函数g（t），证明新函数g（t）的最小（大）值的正负，第三步由导数求得极小（大）值点t0的范围，并对变形，最终转化为关于的多项式不等式，问题易于解决．