【备考2023】高考数学二轮专题总复习精讲精练（全国通用）——专题3-1+三角函数求ω归类 学案（原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc26175" 讲高考 PAGEREF _Tc26175 \h 1
\l "_Tc21770" 题型全归纳 PAGEREF _Tc21770 \h 3
\l "_Tc21649" 【题型一】只有单调性求ω PAGEREF _Tc21649 \h 3
\l "_Tc11379" 【题型二】对称轴求ω PAGEREF _Tc11379 \h 6
\l "_Tc13020" 【题型三】对称中心求ω PAGEREF _Tc13020 \h 8
\l "_Tc291" 【题型四】极（最）值点“恰有”型求ω PAGEREF _Tc291 \h 10
\l "_Tc3767" 【题型五】极（最）值点“没有”型求ω PAGEREF _Tc3767 \h 12
\l "_Tc26099" 【题型七】极（最）值点“至少、至多”型求ω PAGEREF _Tc26099 \h 16
\l "_Tc25804" 【题型八】最值与恒成立型求ω PAGEREF _Tc25804 \h 18
\l "_Tc3402" 【题型九】对称轴分界综合型求ω（难点） PAGEREF _Tc3402 \h 20
\l "_Tc19618" 【题型十】多结果分析型求ω PAGEREF _Tc19618 \h 24
\l "_Tc11341" 【题型十一】求ψ型 PAGEREF _Tc11341 \h 28
\l "_Tc7076" 专题训练 PAGEREF _Tc7076 \h 30
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
3．（全国·高考真题）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数的图像向右平移个单位得，所以
，所以得最小值为．
4．（天津·高考真题）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是
A．B．1C．D．2
【答案】D
【详解】试题分析：函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为，因为它的图象经过点，所以，即，又因为，所以的最小值是，故选D.
考点：1.图象平移变换；2.正弦函数的图象与性质.
5．（2016·全国·高考真题）已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
题型全归纳
【题型一】只有单调性求ω
【讲题型】
例题1.已知函数（，）在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦和角与差角公式化简函数式，结合正弦函数的单调递增区间求得的单调增区间，由在上单调递增即可确定的取值范围.
【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得
，（，）.
根据正弦函数单调递增区间可知，（）上单调递增，
化简得，；∴函数的单调增区间为，（）.
∵在上单调递减，可得，解得，（）.又，
当时，可得；当时，可得.故选：D.
例题2.，函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得，再求出的增区间，，，根据列式可解得结果.
【详解】由题得，由，，
得，，所以的单调递增区间为，，
因为函数在上单调递增，所以，
所以，又＞0，所以.故选：B.
【练题型】
1.已知函数，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据在上单调递增，建立不等关系，解出的取值范围．
【详解】因为，由题意得解得，又，所以故选：D
2.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________
【答案】
【分析】
根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，由（），可得： ，所以 ，整理即可得解.
【详解】
根据正弦函数的单调性，可得：（），
所以：，解得：，整理可得： ，当有解，解得.故答案为：.
3.已知函数fx=2sinωx（ω>0)在区间-π2,π3上是增函数,且在区间0,π上存在唯一的x0使得fx0=2,则ω的取值不可能为（ ）
A．13B．23C．45D．1
【答案】A
【分析】
由函数fx是奇函数，可知fx在-π2,π2上是增函数，从而得到π2--π2≤T2，即ω≤1，又因为函数fx在区间0,π上存在唯一的x0使得fx0=2，可得到ωx0=2kπ+π2k∈Z，结合ωx0∈0,πω，可得到0≤2k+12≤ω，从而得到12≤ω≤1，即可选出答案。
【详解】
函数fx=2sinωxω>0在区间-π2,π3上是增函数,又因为fx=2sinωx是R上奇函数，根据对称性可知函数fx在-π2,π2上是增函数,则π2--π2≤T2=πω，解得ω≤1，
因为x0∈0,π，所以ωx0∈0,πω，
因为函数fx在区间0,π上存在唯一的x0使得fx0=2,
所以fx0=2sinωx0=2，则ωx0=2kπ+π2k∈Z，则0≤2kπ+π2≤πω，解得0≤2k+12≤ω，只有当k=0时，满足题意，故12≤ω≤1，所以只有选项A不可能取到。
【题型二】对称轴求ω
【讲题型】
例题1.已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
,,由，得，,由对称轴,假设对称轴在区间内，可知当k=1,2，3时，，现不属于区间，所以上面的并集在全集中做补集，得，选B.
例题2.设为正实数，若存在a、b，，使得，则的取值范围是_______
【答案】
【分析】
由知，，，故已知条件等价于：存在整数，使得①，对进行分类讨论求出的取值范围.
【详解】
由知，，
，故已知条件等价于：存在整数，使得
①
当时，区间的长度不小于，故必存在满足式①；
当时，注意到，.
故只要考虑如下几种情况：
(1) ，解得；
(2) ，解得.
综上，.故答案为：
【练题型】
1.若函数关于对称，则常数的最大负值为________．
【答案】
【分析】
根据函数的对称性，利用，建立方程进行求解即可．
【详解】若关于对称，则，即，即，
则，则，，当时，，故答案为：
2.已知函数，，若函数在区间内单调递增，且函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：函数，，
若函数在区间内单调递增，，且，
求得．
再根据函数的图象关于直线对称，，，．
，故排除；
，故排除；
，故正确；
由于 的最小正周期为，故不是的周期．故错误，
故选：．
3..已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据对称性可得，从而可得结果.
【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.故选：B
【题型三】对称中心求ω
【讲题型】
例题1.设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用为对称中心，列出方程，求出，，求出的最小值.
【详解】由题意得：，，解得：，，所以，，
当时，取得最小值为.故选：D
例题2.函数的一个对称中心为，且的一条对称轴为，当取得最小值时，
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题得
，所以，
两式相减得. 此时.所以，故选C.
【练题型】
1.已知函数，且，则实数的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】
分析：首先根据题的条件，确定出函数图像的对称中心的坐标和对称轴方程，之后借着对称中心到对称轴的距离与函数周期的关系，得到，再结合求得，从而求得结果.
详解：根据题意可知，点是图像的一个对称点，直线是图像的一条对称轴，所以会有，从而可以求得，所以有，从而得，从而可以求得可以是3，故选B.
2.已知函数，点是曲线相邻的两个对称中心，点是的一个最值点，若的面积为1，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】利用正弦函数性质及的面积，可得周期，然后求得．
【详解】由题意，所以，即周期为，
所以．
故选：D．
3.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是
A．B．C．或D．无法确定
【答案】C
【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值.
【详解】由是偶函数，得，即，
所以对任意都成立，且，所以得．
依题设，所以解得，故.
因为的图象关于点对称，，.
所以.
又在区间上是单调函数，所以，故.
故或.故选：C．
【题型四】极（最）值点“恰有”型求ω
【讲题型】
例题1.已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据区间[0，1]，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，求解即可．
【详解】
函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，ω+]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴，解得：．故选：C．
例题2..已知函数的图象在区间上恰有个纵坐标是最高点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据区间[0，1]上，求出的范围，由于在区间[0，1]上恰有1个最高点，建立不等式关系，求解即可．
【详解】函数，∵x∈[0,1]上，，
图像在区间上恰有1个最高点，，解得：.故选：C.
【练题型】
1.已知函数，的图像在区间上恰有三个最低点，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调递区间的应用求出结果．
解：，，．根据正弦型函数图象的特点知，轴左侧有1个或2个最低点．
①若函数图象在轴左侧仅有1个最低点，则，解得，，，此时在轴左侧至少有2个最低点．函数图象在轴左侧仅有1个最低点不符合题意；
②若函数图象在轴左侧有2个最低点，则，解得，又，则，
故，时，在，恰有3个最低点．
综上所述，．故答案为：．
2.已知函数，圆的方程为，若在圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】
易得直线与圆交于，两点，其中，，，则问题转化为：求恰有三个极值点落在区间内的的范围. 换元之后数形结合可求解.
【详解】
依题意可知，的最值为，如图作出直线，与圆交于，两点，由圆的半径为5易得，，要使圆内部恰好包含了函数的三个极值点，则需恰有三个极值点落在区间内，令，则，故只需考虑在内恰有三个极值点，设这三个极值点分别为，，，，则有得又，因为.当时无解；当时，；当时，；当时，由于恒成立，因此无解.
综上可知，.
故答案为：.
3.已知，函数在区间上恰有个极值点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先利用向量数量积和三角恒等变换求出 ，函数在区间上恰有个极值点即为三个最值点，解出，，再建立不等式求出的范围，进而求得的范围.
【详解】解：

令，解得对称轴，，
又函数在区间恰有个极值点，只需
解得．故选：．
【题型五】极（最）值点“没有”型求ω
【讲题型】
例题1..已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围.
【详解】
，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.故答案为：
例题2..已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.
【详解】因为函数过点，
所以，即，故，
因为，所以，故，
由得，所以的单调递增区间为，
同理：的单调递增区间为，
因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
当时，有，解得，即，
又因为，，显然当时，不等式成立，且；
综上：或，即故选：D.
【练题型】
1.已知不等式的解集为M，且函数在上无最值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先通过解不等式求出,再假设在上有最值，求出的取值范围即得解.
【详解】解：由题得，
所以，所以，
所以，
所以或.
所以,.
假设在上有最值，则，
所以，设所以
所以或.
解之得或，
令得或.
所以在上无最值，则的取值范围是.
故选：A
2.已知，函数在区间内没有最值，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据正弦函数的最值可得，当，时，取得最值，所以问题转化为对任意，都有，而当时，存在使得不成立，所以，排除选项，当时，存在使得，排除选项,可得选项正确.
【详解】由，，得，，
因为函数在区间内没有最值，
所以对任意，都有，
当，时，，故选项不正确；
当时，存在使得，故选不正确.
故选：C.
3.已知函数，若在区间内无最值，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出f（x）的对称轴，根据条件得出区间（ω﹣，2ω﹣）内不存在整数，再根据≥π，可得（ω﹣，2ω﹣）为（0，1）或（﹣1，0）的子集，从而得出ω的范围
【详解】, 若在区间内无最值，则在区间内无对称轴，令＝,可得＝kπ，∴函数对称轴为x＝，k∈Z．令π＜＜2π，解得ω﹣＜k＜2ω﹣，
∵函数f（x）在区间（π，2π）内无对称轴，∴区间（ω﹣，2ω﹣）上没有整数，
由f（x）在（π，2π）内无对称轴可得≥π，0＜ω≤1．
∴（ω﹣，2ω﹣）⊆（﹣1，0）或（ω﹣，2ω﹣）⊆（0，1），
∴或解得0＜ω≤或≤ω≤．故选B．
【题型七】极（最）值点“至少、至多”型求ω
【讲题型】
例题1.函数在区间，上至少出现10次最大值，则的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：函数在区间，上至少出现10次最大值，
，即，求得，
故的最小值为，
故选：．
例题2.已知函数在上仅有个最值，且为最大值，则实数的值不可能为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】化简，根据在上仅有个最值，且为最大值，得到，解得或，对比选项得到答案.
【详解】，因为在上仅有个最值，且为最大值，
故，
解得，故，或
故选：C．
【练题型】
1.已知函数在上仅有一个最值，且为最大值，则实数的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象，可得 ，，求得的范围，从而得出结论.
【详解】因为函数，在上仅有一个最值，且为最大值，
，令，求得，
对比选项可知，即实数的值不可能为，故选：C.
2.若函数在区间内有最值，则的取值范围为_______．
【答案】
【分析】当函数取得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围（含有），对赋值求得的具体范围.
【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间内有最值.所以时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.
3.已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由的取值范围即可求解.
【详解】当取最值时，．即，由题知，故．
即．因为时，；时，；
显然当时，，此时在上必有最值点．
综上，所求．故选:D．
【题型八】最值与恒成立型求ω
【讲题型】
例题1.已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.
【详解】至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
例题2.已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】
换元，令，讨论与的大小关系，由单调性即可求出函数的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数．
【详解】
令，
①当时，即，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当时，即，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以．
设，，
，因为，在上递减，
所以在上递减，存在，使得，因此在上递增，在上递减，而，，，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即说明只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为2.
故选：C．
【练题型】
1.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为 2 ．
【解答】解：的最大值为，，即，，，
当时，则，设，
在上单调递增，且，，
由函数零点存在定理可得，存在唯一实数使，
当，即，，满足题意，综上所述，正实数的取值个数最多为2个，故答案为2．
2.已知，函数，若对任意给定的，总存在，使得，则的最小值为
A．B．C．5D．6
【答案】D
【详解】分析：先化简函数的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再讨论a=0的情况得到w的范围，再综合即得w的最小值.
详解：当a≠0时，，
由f(x)=0得，
因为
所以，
根据三角函数的图像得只要cswx=1满足条件即可，
这时，所以
当a=0时，，令f(x)=0，所以cswx=0，须满足
综合得故答案为D.
3.已知函数，若有且仅有两个不同的实数，，使得则实数的值不可能为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简，由，可得，根据在上有且仅有两个最大值，可求解实数的范围，从而可得结果．
【详解】函数；由，可得，
因为有且仅有两个不同的实数，，使得．所以在上有且仅有两个最大值，因为，，则；所以实数的值不可能为，故选D．
【题型九】对称轴分界综合型求ω（难点）
【讲题型】
例题1.已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
【答案】15
【分析】
由题意可得是y＝f（x）图像的对称轴，而为f（x）的零点，从而可得•，n∈Z，由在区间上有最小值无最大值，可得周期T≥（），从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可
【详解】
由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，
为f（x）的零点，∴•，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.
故答案为：15.
例题2.已知函数，为图象的一个对称中心，为图象的一条对称轴，且在上单调，则符合条件的值之和为________.
【答案】
【分析】
先由对称中心和对称轴求出的所有值，再结合在上单调，确定的范围，从而求出的可能值，逐个验证是否满足条件，即可得出结论.
【详解】由题意可得，，即，，所以，，
又因为在上单调，所以，即，令，，所以当时，，因为为图象的一条对称轴，所以，，即，，又因为，所以，此时，易知在上单调递减，符合条件；
当时，，因为为图象的一条对称轴，所以，，即，，
又因为，所以，此时，易知在单调递增，符合条件；
当时，，因为为图象的一条对称轴，所以，，即，，
又因为，所以，此时，易知在上单调递减，符合条件.
综上，符合条件的值之和为.故答案为:.
【练题型】
1.已知函数恒成立，且在区间上单调，则的最大值为______.
【答案】3
【分析】
先根据，得到是函数的对称轴，进而可以求出，进而得到为奇数；再根据在区间上单调，所以，，得到，然后利用，又为奇数，得到，最后分别代入验算即可求得结果
【详解】
由已知得，是函数的对称轴，所以，，得，所以，，，为奇数；
又因为在区间上单调，所以，，所以，，所以，，又为奇数，所以，；
当时，利用，可得，故，在上不单掉，不符题意；
当时，利用，可得，故，在上不单掉，不符题意；
当时，利用，可得，故，满足题意；
故的最大值为3故答案为：3
2.已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据的零点和最值点列方程组，求得的表达式（用表示），根据在上有且只有一个最大值，求得的取值范围，求得对应的取值范围，由为整数对的取值进行验证，由此求得的最大值.
【详解】
由题意知，则其中，．
又在上有且只有一个最大值，所以，得，即，所以，又，因此．
①当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
②当时，，此时取可使成立，当时，，所以当或时，都成立，舍去；
③当时，，此时取可使成立，当时，，所以当时，成立；
综上所得的最大值为．故选:C
3.已知函数，，，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴．若是的一个单调区间，则的最大值为
A．18B．17C．15D．13
【解答】解：由题意，得，．
又，．
是的一个单调区间，，即．
，，即．
①当，即时，，，，，
，，此时在上不单调，不符合题意；
②当，即时，，，，，
，，此时在上不单调，不符合题意；
③当，即时，，，，．
，，此时在上单调递增，符合题意．
故选：．
【题型十】多结果分析型求ω
【讲题型】
例题1.已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在符合题意即可.
【详解】
解：对A，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
令时，
所以存在使得时的值等于时的值，时的值等于时的值，时的值等于时的值.
但是当等于、、、时，不存在使得这个值中的任何两个相等
所以当时，集合中至少有四个元素，不符合题意，故A错误；
对B，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
令，
所以当时，符合题意，故B正确；
对C，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
令，则，，
所以当时，符合题意，故C正确；
对D，当，，函数的周期为
在一个周期内，对赋值
当时，；当时，；
当时，；
令，，，
所以当时，符合题意，故D正确.
故选：A.
例题2.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或∴或
∴或∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.故选：A.
【练题型】
1.已知点，若三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为__________.
【答案】4
【分析】
由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数的最小值，再进行比较从而得出结论．
【详解】
① 若只有两点在函数的图象上，
则有，，，
则，即，求得无解．
②若只有点在函数的图象上，
则有，，，故有，
即，求得的最小值为4．
③若只有点在函数的图象上，
则有，，，故有，
即，求得的最小正值为10，
综上可得，的最小正值为4，故答案为：4．
2.已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为__________．
【答案】2或10
【分析】
令，解得或，
根据存在相邻两个交点间的距离为，得到或，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数，曲线与直线相交，
令，即，
解得或，
由题意存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象与性质，
可得，令，可得，解得.
或，令，可得，解得.
故答案为：或.
3.已知函数满足，，且在区间上单调，则满足条件的个数为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：设函数的最小正周期为，由于函数满足，，
故，解得，所以，由于函数在区间上单调，
故，故，，即，解得，由于，
所以取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故的取值为9个；故选：．
【题型十一】求ψ型
【讲题型】
例题1.把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.若函数在上的值域是，则______.
【答案】
【解析】根据平移关系求出，结合函数图象求解.
【详解】由题知，
作出函数大致图象
函数在上先增后减，且，
若函数在上的值域是，
必，结合图象：则，.故答案为：
【练题型】
1.已知函数，，若的值域为，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.
【详解】设，则，
则.
当时，则，得或，；
当时，则，得或，；
又，若的值域为，
则的取值范围是.
故答案为：.
2..函数在区间上的最大值为，则的值是_____________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数在上的最大值为1，易求出的值．
【详解】函数
又函数在上的最大值为1，≤0，又,
且在上单调递增，所以即．故答案为：
一、单选题
1．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题得，，在上单调递减，得即可解决.
【详解】由题知，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，
因为，
所以，
因为在上单调递减，
所以，
所以，
所以的最大值为1.
故选：D
2．已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据对称性可得，从而可得结果.
【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.
故选：B
3．设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用为对称中心，列出方程，求出，，求出的最小值.
【详解】由题意得：，，
解得：，，
所以，，
当时，取得最小值为.
故选：D
4．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得，在上有且仅有3个极值点，得即可解决.
【详解】由题知，
，
因为，
所以，
因为在上有且仅有3个极值点，
所以，解得，
所以的取值范围是，
故选：A
5．记函数的最小正周期为，若，且为的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件列方程，求得的表达式，进而求得的最小值.
【详解】由于，所以，
由于，所以，则，
由于为的一条对称轴，
所以，
由于，所以的最小值为.
故选：A
6．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④B．②③C．②④D．②③④
【答案】B
【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
7．函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.
【详解】由题意知：或
∴或
∴或
∵在上单调递减，∴
∴
①当时，取知
此时，当时，
满足在上单调递减，∴符合
取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合
当时，，舍去，当时，也舍去
②当时，取知
此时，当时，
，此时在上单调递增，舍去
当时，，舍去，当时，也舍去
综上：或2，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.
8．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简函数的解析式，再依据题意列出关于的不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】
由，可得
由在区间上恰好取得一次最大值，可得，解之得
又在区间上是增函数，则，解之得
综上，的取值范围是
故选：B
二、多选题
9．已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为B．的最小正周期为
C．D．
【答案】AC
【分析】根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期.
【详解】因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，故A正确，B不正确；
因为，且，所以，故C正确，D不正确，
故选：AC.
10．设函数，已知在，有且仅有5个零点．下述四个结论：
A．在上有且仅有3个极大值点；
B．在上有且仅有2个极小值点；
C．在上单调递增；
D．的取值范围是，．
其中所有正确结论是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【答案】ACD
【分析】由函数的零点个数和正弦函数的图象可判断,的正误，由，可判断的正误,再由正弦函数的单调性可判断的正误.
【详解】∵，，∴，，
又∵在，有且仅有5个零点，∴，解得，
则的取值范围是，，故正确；
由在，上的图像，可得在上有且有3个极大值点，
在上有2个或3个极小值点，故正确，错误；
当时，，
∵，∴，即
∴在上单调递增，故正确.
故选：．
11．设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．在上，方程的根有3个，方程的根有2个
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【答案】CD
【分析】根据函数的零点的个数，求出参数的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.
【详解】由题意，，
由题意，不一定是函数的对称轴，所以A错误；
当时，得，故；
，所以D正确.
因为，则的根分别可由或或求出，共有3个根；
当时，的根分别可由或求出，共2个根；
当时，的根分别可由或或求出，共3个根；所以B错误；
当时，得，
由，得，所以，此时在上单调递增，所以C正确.
故选：CD.
【点睛】本题重点考查三角函数的图象与性质，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将作为整体，借助的图象和性质来进行判断.
12．已知函数在区间上单调，且满足有下列结论正确的有( )
A．
B．若，则函数的最小正周期为；
C．关于x的方程在区间上最多有4个不相等的实数解
D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】A：在上单调，，，故；
B：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在上单调，据此可求出f(x)周期的范围，从而求出ω的范围.再根据知是f(x)的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的倍即可求出ω，从而求出其周期；
C：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；
D：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.
【详解】A，∵，∴在上单调，又，，∴，故A正确；
B，区间右端点关于的对称点为，∵，f(x)在上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴为的最小正周期，即3，又，∴.若，则的图象关于直线对称，结合，得，即，故k＝0，，故B正确.
C，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多有3个不相等的实数解，故C错误.
D，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在区间上恰有5个零点，则，结合，得，又，∴的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若函数，且，在区间上单调递减，且函数值从1减少到，则__________.
【答案】
【分析】根据题意求得，即可解决.
【详解】由题知，，
所以，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
故答案为：
14．已知在上是严格减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由题意利用正弦函数的单调性可得，列不等式组求的取值范围.
【详解】因为，所以，
由题意得，
所以 ，可得．
由，当，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
15．设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】考虑在上无极大值点和有且只有一个极大值点的取值范围，取其补集后可得所求的取值范围.
【详解】令，解得，.
若在上无极大值点，
则存在实数，使得，
整理得到，解得，
因为且存在，故，或，
故或.
若在上有且只有一个极大值点，
则存在实数，
使得，
或，
解得①或者②，
对于①，因为且存在，故且，
故整数满足，
当时，，当时，，
当时，，
故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，
.
故函数在上至少存在两个极大值点，.
故答案为：.
16．已知函数f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得，
即，解得，
又因为在上单调，
所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，
所以，
又，解得，
所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，
同理，令，，
在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
【讲技巧】
函数的单调性性质：
由求增区间；由求减区间.
【讲技巧】
函数对称轴的性质：
由 求对称轴.
【讲技巧】
函数的对称中心性质：
由求对称中心.
【讲技巧】
涉及到对称轴对称中心以及单调性多个同时出现时，，不要把所有的都写成一个k,因为需要多个式子，而这些式子的不一定一致， 即它们本身不一定相等.实际上建议换成不同的字母教合适。
【讲技巧】
涉及到三角角函数图像性质的运用，在这里需注意：
两对称轴之间的距离为半个周期；
相邻对称轴心之间的距离为半个周期；
相邻对称轴和对称中心之间的距离为个周期．
【讲技巧】
求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【讲技巧】
函数的图象求解析式
.
【讲技巧】
本题一共有三个变量：，，.属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可.