【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——15 数列的概念与简单表示法 （原卷版 解析版）

重难点15  数列的概念与简单表示法

1.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝

2.形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出an－a1与n的关系式，进而得到an的通项公式．

3.形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式．

4.已知Sn求an的3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)即可求出当n≥2时an的表达式；

(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并．

5.在数列中有（均为常数且），从表面形式上来看是关于的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

一般方法：设 则而

  即  ，故

数列是以为公比的等比数列，借助它去求

6.求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)函数法，利用函数求最值．

(2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．

(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1.

2023年高考仍将以考查由递推公式求通项公式与已知前n项和或前n项和与第n项的关系式求通项为重点，特别是数列前项和与关系的应用，难度为中档题，题型为选择填空小题或解答题第1小题，同时要注意对数列单调性与周期性问题的复习与训练.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．已知数列满足，，则当时，等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题设可知，.

代入四个选项检验可知，故选C.

2．已知数列对任意的满足，且，那么等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．

又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30．

3．已知数列对任意的满足，且，那么等于

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵对任意的p，q∈N*，满足ap＋q＝ap＋aq，∴p＝q＝n时，有a2n＝2an．

又a2＝－6，∴a8＝2a4＝4a2＝－24，故a10＝a2＋a8＝－30．

4．已知数列满足， ，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为数列满足，，，

，，，

由上可知，对任意的，，.

故选：B.

5．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.

6．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，易得，依次类推可得

由题意，，即，

∴，

即，，，…，，

累加可得，即，

∴，即，,

又，

∴，，，…，，

累加可得，

∴，

即，∴，即；

综上：．

故选：B．

二、填空题

7．数列满足，，则________．

【答案】

【解析】解：由已知得，，，所以，

，，

，，，．

故答案为：

8．数列中，若=1，=2+3 （n≥1），则该数列的通项=________

【答案】

【解析】因为=2+3，所以，

即是等比数列，公比为2，首项为，所以，

即.

故答案为：.

9．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.

【答案】；

【解析】试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．

考点:等比数列的通项公式．

10．设数列中，，则通项 ___________．

【答案】

【解析】∵ ∴，，

，，，，

将以上各式相加得：

故应填；

11．设数列的通项公式为N*），则__________．

【答案】

【解析】.

故答案为：58.

12．设数列是首项为1的正项数列，且，则它的通项公式______.

【答案】

【解析】由，则

又数列为正项数列，即，

所以，即

 所以

故答案为：

13．已知数列{}的前项和，则其通项_______；

若它的第项满足，则__________

【答案】     2n-10，     8

【解析】当n=1时，,经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.

14．已知数列，满足，，则的通项．

【答案】

【解析】当时，有

两式作差可得，

即

则

两边同时相乘可得，，

整理，得

当时，可化为

所以.显然，时，满足，时，不满足

所以

故答案为：.

15．数列满足，前16项和为540，则 ______________.

【答案】

【解析】，

当为奇数时，；当为偶数时，.

设数列的前项和为，

，

.

故答案为：.

16．已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

【答案】①③④

【解析】由题意可知，，，

当时，，可得；

当时，由可得，两式作差可得，

所以，，则，整理可得，

因为，解得，①对；

假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，

所以，，可得，解得，不合乎题意，

故数列不是等比数列，②错；

当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；

假设对任意的，，则，

所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.

故答案为：①③④.

三、解答题

17．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）[方法一]：

由已知得,且，,

取,由得,

由于为数列的前n项积，

所以,

所以，

所以,

由于

所以，即,其中

所以数列是以为首项，以为公差等差数列;

[方法二]【最优解】：

 由已知条件知    ①

于是．       ②

由①②得．     ③

又，       ④

由③④得．

令，由，得．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法三]：

  由，得，且，，．

又因为，所以，所以．

在中，当时，．

故数列是以为首项，为公差的等差数列．

[方法四]：数学归纳法

  由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．

下面用数学归纳法证明．

当时显然成立．

假设当时成立，即．

那么当时，．

综上，猜想对任意的都成立．

即数列是以为首项，为公差的等差数列．

（2）

由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，

,

,

当n=1时，,

当n≥2时,,显然对于n=1不成立,

∴.

18．已知数列的前n项和满足．

(1)写出数列的前三项；

(2)求数列的通项公式；

【答案】(1)，，

(2)

【解析】（1）解：当时，有：；

当时，有：；

当时，有：；

综上可知，，；

（2）解：由已知得：当时，

化简得：

上式可化为：

当时，，所以

故数列是以为首项，公比为2的等比数列．

故

数列的通项公式为：．