【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——20 简单线性规划问题 （原卷版 解析版）

重难点20   简单线性规划问题

1、如何在直角坐标系中作出可行域：

（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线

（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：

① 竖直线或水平线：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断

② 一般直线：可代入点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。例如：不等式，代入符合不等式，则所表示区域为直线的右下方

③ 过原点的直线：无法代入，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。例如：：直线穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。考虑第四象限的点，所以必有，所以第四象限所在区域含在表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件（或）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件（或）边界能取值时，在图像中边界用实线表示

2、利用数形结合寻求最优解的一般步骤

（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域

（2）确定目标函数在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设为常数）

① 线性表达式——与纵截距相关：例如，则有，从而的取值与动直线的纵截距相关，要注意的符号，若，则的最大值与纵截距最大值相关；若，则的最大值与纵截距最小值相关。

② 分式——与斜率相关（分式）：例如：可理解为是可行域中的点与定点连线的斜率。

③ 含平方和——与距离相关：例如：可理解为是可行域中的点与定点距离的平方。

（3）根据的意义寻找最优解，以及的范围（或最值）

随着新课改深入开展，新课标中去掉了线性规划内容，近几年的高考线性规划内容逐步在弱化，但每年也都考有，故2023年线性规划问题考查的可能性依然很大，其侧重于目标函数为线性的规划问题考查，难度为基础题，题型为选择或填空题.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．设集合则

A．对任意实数a，

B．对任意实数a，（2,1）

C．当且仅当a<0时,（2,1）

D．当且仅当 时,（2,1）

2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2 B．3 C．5 D．6

3．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

4．若x，y满足约束条件则的最大值是（    ）

A． B．4 C．8 D．12

5．设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是

A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]

6．若实数满足约束条件，则的最大值是

A． B．1

C．10 D．12

7．若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8．若满足约束条件则的最小值为（    ）

A．18 B．10 C．6 D．4

9．设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为

A．6 B．19 C．21 D．45

10．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

11．记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③ B．①② C．②③ D．③④

12．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则a=

A． B． C．1 D．2

二、填空题

13．若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.

14．若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．

15．若,满足约束条件则的最大值            ．

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元.

三、解答题

17．电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用， 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

（I）用，列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？

18．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品.生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量.

(I)求Z的分布列和均值；

(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.