【备考2023】高考数学重难点专题特训学案（全国通用）——31 随机抽样、用样本估计总体 （原卷版 解析版）

重难点31  随机抽样、用样本估计总体

1．频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

2．巧用四个有关的结论

(1)若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a；

(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变；

(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；

(4)s2＝ (xi－)2＝x－2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．

在抽样方法的考查中，简单随机抽样、分层抽样是考查的重点，题型主要以选择题和填空题为主，属于中低档题．用样本估计总体，是统计学的基础．以考查频率分布直方图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解.

（建议用时：40分钟）

一、单选题

1．某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为m，众数为n，平均数为，则（    ）

A． B． C． D．

2．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（    ）

A． B． C． D．

3．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（    ）

A．这辆小型车辆车速的众数的估计值为

B．这辆小型车辆车速的中位数的估计值为

C．这辆小型车辆车速的平均数的估计值为

D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过的概率为

4．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（    ）

A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

5．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，若此时平均数为，方差为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

6．2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如下：

估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是和，方差分别是和，则（     ）

A．， B．， C．， D．，

7．某班有n位同学，统计一次数学测验的平均分与方差．在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得位同学的平均分和方差分别为、，所以只好再算第二次，算得n位同学的平均分和方差分别为、，若已知该漏过了的同学的得分恰好为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

8．是的平均值，5为的平均值，10为的平均值，则（    ）

A．8 B．9 C．15 D．

9．某校高一年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（    ）

A．86 B．84 C．96 D．89

【答案】A

【解析】因为．所以这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为86．

故选：A.

10．为了解学生体育锻炼情况，某学校随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图：

下列说法正确的是（    ）

A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大

B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72

C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65

D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大

11．某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（    ）

A．73 B．75 C．77 D．79

12．某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（    ）

A．32 B．45 C．64 D．90

二、填空题

13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，，5，10，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为___________．

14．下列说法中错误的有______个．

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②在一个列联表中，由计算得，则其两个变量之间有关系的可能性是99.9%；

③设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

④线性回归方程必过．

15．下面活动中属于统计活动的是___________.（填序号）

①某校医务室人员通过调查学校近三年学生的视力情况，来预测毕业时学生的视力情况.

②班主任通过调查学生平时的数学学习成绩，来预测学生的数学期末考试成绩.

③化学教师通过测量一瓶某品牌矿泉水的矿物质含量，来推测该品牌矿泉水的矿物质含量.

④物理教师通过物理实验多次测量某物体的质量，最后通过求平均数推测该物体的质量.

16．2022年3月，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得上海学生不得不在家“停课不停学”．为了解高三学生每天居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生学习时长的频率分布直方图（如图所示）．已知学习时长在的学生人数为72，则n的值为______．

17．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有______人．

18．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了50个样本，若样本数据的方差为8，则数据的方差为___________.