【高考二轮题型复习】2023年高考数学题型精讲精练学案（全国通用）——专题05 导数在切线中的相关运用（原卷版+解析版）

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切线的相关问题是历年高考中的热门考点，常在选填题中出现，偶尔也会出现在解答题中。特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多。导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利。本专题主要研究导数在切线中的相关运用，望能对同学们解决切线和公切线提供帮助。
一、热点题型归纳
题型1.求切线方程（已知切点和未知切点）
题型2.求切点（已知切线或斜率）
题型3.求参数（未知切点，已知切线）
题型4.切线的条数问题
题型5.切线与切线的关系
题型6.求公切线方程
题型7.求公切线的条数问题
题型8.与公切线有关的参数问题
题型9.切线的应用：距离问题
题型10.切线的应用：恒成立（存在）问题
题型11.切线的应用：零点（方程的根、交点）问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练
【题型1】求切线方程（已知切点和未知切点）
【解题技巧】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程.
【典例分析】
1.（2022·江西高三月考）已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程．
【变式演练】
1.（2022·河北高三模拟）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________.
2．（2022·福建省连江县高三期中）（多选题）若直线与曲线满足下列两个条件：（i）直线在点处与曲线相切；（ii）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列命题中，正确的有（ ）
A．直线：在点处“切过”曲线：
B．直线：在点处“切过”曲线：
C．直线：在点处“切过”曲线：
D．直线：在点处“切过”曲线：
3.（2022·安顺市高二月考）已知.
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程.
【题型2】求切点（已知切线或斜率）
【解题技巧】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
【典例分析】
1.（2022·玉林市高三期中）曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式演练】
1.（2022·东莞市高三月考）已知曲线在点处的切线与直线平行，则点的坐标为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
2．（2022·重庆高三模拟）曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.
【题型3】 求参数（未知切点，已知切线）
【解题技巧】根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上和切线的斜率等于该点处的导函数值构造方程组求解．
【典例分析】
1.（2022·安徽高三月考（理））直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．1C．2D．e
【变式演练】
1．（2022·河北高三月考）若直线l：是曲线的切线，则实数b=________.
2．（2022·江苏高三开学考试）已知为实数，直线与曲线相切，则________.
【题型4】切线的条数问题
【解题技巧】
1）设点列方程过程同前（求切线过程）
2）切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断
【典例分析】
1.（2021·广东高三月考）过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
【变式演练】
1．（2022·北京市高三期中）已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
2．（2022·江北·高三期中）若过点与曲线相切的直线有两条，则实数a的取值范围是__________.
【题型5】 切线与切线的关系
【典例分析】
1.（2022·河北·高三二模）已知函数，其中，，，，为的导函数．若存在使得成立，则的最大值为______．
【变式演练】
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知，且满足，如果存在两条互相垂直的直线与函数的图象都相切，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型6】求公切线方程
【解题技巧】
公切线问题一般分两类：①共切点的公切线问题，②不共点的公切线问题。
解决的基本方法：若有切点则直接利用切线方程建立方程求解即可，若无切点则先设出切点后，再利用切线方程建立方程求解即可。主要抓住切点处的导数值即为斜率和原函数与切线方程均过切点这两点列方程。
【典例分析】
1.（2022·重庆高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.（2022·安徽高三月考）已知曲线和曲线相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________．
2.（2022·河北高三月考）（多选题）已知函数与的图象的公切线为，则（ ）
A．的斜率大于 B．在轴上的截距为一2 C．的斜率小于 D．在轴上的截距为2
【题型7】 求公切线的条数问题
【解题技巧】同题型6.
【典例分析】
1.（2022广西高三模拟）曲线与曲线有（ ）条公切线.
A．1B．2C．3D．4
【变式演练】
1.．已知函数，则和的公切线的条数为
A．三条B．二条C．一条D．0条
【题型8】 与公切线有关的参数问题
【解题技巧】同题型6.
【典例分析】
1．（2022·眉山市高三开学考试）若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是______．
【变式演练】
1.（2022·福建龙岩市·高三模拟）已知函数与的图象在处有相同的切线，则（ ）
A．0B．C．1D．或1
2.（2022·成都市·高三模拟）直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型9】 切线的应用：距离问题
【解题技巧】
1）一般的距离问题：当直线l平移到与曲线C相切位置时，切点Q到直线l的距离最小.再根据点到直线的距离公式求解即可。
2）距离公式转化型：1）距离公式形式：平方和；2）以此还可以类比斜率公式形式。
【典例分析】
1.（2022·海南高三）已知点为曲线上的一个动点，则的最小值为______．
2.（2022江西高三模拟）已知，，则的最小值为______．
【变式演练】
1.（2022·河南开封·高三（理））在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是____________.
2．（2022.绵阳市高三期中）若实数，，，满足，则的最小值为 ．
【题型10】 切线的应用：恒成立（存在）问题
【解题技巧】利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。
【典例分析】
1.（2022 广东高三期中）已知函数的图象在处的切线方程为，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，，若存在使得，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式（是自然对数的底数）在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型11】切线的应用：零点（方程的根、交点）问题
【解题技巧】对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性。
【典例分析】
1.已知函数满足，当时，，若在区间内，函数与轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
【变式演练】
1.已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.
2.（2022.安徽高三模拟）已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1.（2022 山西高三模拟）函数与有公切线，则实数的值为（ ）
A．4B．2C．1D．
2．（2022·广东）若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）
A．B．C．D．或
3.（2022·昭通高三月考）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3B．2C．1D．
4.（2022·山东高二期末）已知函数为偶函数，当时，，则曲线上的点到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
5.（2022 陕西高考模拟）关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是
A．B．C．D．以上都不对
6.已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ）
A．0B．4C．0或-4D．0或4
7．函数在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数有（ ）
A.个 B.个 C.个 D.个
8.已知，，求的最小值________.
9.（2022·河北唐山市·高三模拟）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过，，三点的圆的圆心为，若直线与抛物线相切于点，则点的坐标是___________.
10．（2022·广西·高三专题练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
11．（2022·树德中学高三（理））已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的可能取值为___________.
12.（2022·沙坪坝·高三期中）已知函数，，若曲线与的公切线与曲线切于点，则__________．
13. （2022·陕西西安市·高三模拟（理））曲线在点处的切线方程为________.
14．（2021·浙江高二期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______，_____．
15.（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知函数.
（Ⅰ）（ⅰ）求证：；（ⅱ）设，当时，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：.
1.（2019·全国高考真题（理））已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A．B．C．D．
2.（2018·全国高考真题）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
3.（2019·全国高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B． C． D．
4．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
5．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）（多选题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
7．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________．
9．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______．
10.（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．
11.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.