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高考数学二轮复习专题 等差数列与等比数列A卷（2份打包，解析版+原卷版）
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专题16等差数列与等比数列A卷
1．记函数的所有零点之和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，没有最小值
B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最小值0
D．有最小值，没有最大值
【答案】A
【解析】
当 时，得即
当时，得即
当时
得或
所以
所以
所以当时取得最大值，没有最小值.
故选：A
2．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得：
即
由，所以
因为a、b、c成等比数列，所以
即，令
又，则
化简可得：
即，
所以
故选：B
3．数列的首项，前n项和为.已知，则使恒成立的最大实数m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题,当时,,即,
所以,则,所以,
所以,所以,
当时,,即,所以,所以,所以,则,所以,
当时,,符合,
所以,
所以最大实数为,
故选:A
4．设表示不超过的最大整数，如．已知数列满足：，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴
，
又满足上式，
∴．
∴，
∴，
∴．
故选A．
5．已知非常数列满足，若，则( )
A．存在，，对任意，，都有为等比数列
B．存在，，对任意，，都有为等差数列
C．存在，，对任意，，都有为等差数列
D．存在，，对任意，，都有为等比数列
【答案】B
【解析】
解：由题意，得.
令，则，
为非零常数且，
均为非零常数，
∴常数，且.
故.
两边同时减去，可得
，
∵常数，且，
，且.
，
∵数列是非常数数列，
，
则当，即，即，即时，
.
此时数列很明显是一个等差数列.
∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.
故选：B.
6．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
【答案】B
【解析】
,
∴,∴,即数列为单调增数列,
,即,
,
,
,即,
正整数的最大值为1010,
故选:B.
7．已知数列的前项和为，对于任意的都有，若为单调递增的数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于任意的都有，①
，②
②-①得
，③
则当时，，④
③-④得，也就是当时，隔项成等差数列，公差为.
为单调递增的数列
只要保证可以保证整个数列单调递增.
当时，，即，
当时，，即，
则，，
代入，得，
即，即，即，
即的取值范围为，
故选：
8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：）
A．1624 B．1024 C．1198 D．1560
【答案】B
【解析】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.
易，，进而得，所以，则，所以，所以.
故选：B
9．已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为,
所以当时，，解得；
当时，.
所以.
于是.
由，可得，
所以是首项为，公差为的等差数列，即.
所以.
所以
.
因为对任意的恒成立，
所以，即的最小值是.故选C.
10．已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为…，
所以…，
故即，其中.
而令，则，故，.
，
故
，
故恒成立等价于即恒成立，
化简得到，因为，故.
故选D.
11．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意可知，
式子的每一项都除以，可得，
即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
由此可以判断出这三项是负数，从而得到当时，取得最小值，且，故选C.
12．数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（ ）
A．4 B．20 C．25 D．100
【答案】B
【解析】
由题,,
则,,…,,
则,即,
又数列是首项为4,公比为的等比数列,则,
设,
则数列的积为,若求的最大值,则,即,
则,设,,
则函数与的图象如图所示,
设交点的横坐标为,则,则当时,；当时,,
即,,则当时,；当时,,
所以当时,取得最大值为,
故选:B
13．已知点列均在函数图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得，点满足，
由中点坐标公式，可得的中点为：，
即，
当时，以为边长能构成一个三角形，
，
只需，即，
即有，解得；
同理，解得，
综上，的取值范围是或，
故选：.
14．已知符号函数，设，为数列的前n项和，则使的所有n值的和为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解析】
令
则函数的零点为,
当时,
当时, ,根据指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度可知, 函数只有这两个零点
而当时,
当时,
当时,
而由符号函数,,为数列的前n项和
因为
所以,即
同理可得时, ,即
而时,
若,则需
所以
综上可知,满足时的值分别为和
所以时的值的和为
故选:A
15．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：用排除法：当时，，明显有，
下面用数学归纳法证明，
当时，，成立；
假设当时，成立，
则当时，，
所以当时，成立，
综上：对任意，都有；
另外，
所以，
所以当时，恒成立，排除CD；
当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，
故选：B.
16．已知数列满足，，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
数列是递增数列，
即，可解得或，
,则或,
,由或得：.
即或，
可解得或.
又由，
由函数在上单调递减，在上单调递增,
则当或时，都有成立，
即由或可得，得，
由可得，由此类推可得，则有，
所以或时，都有，即数列是递增数列.
故选：B
17．已知数列，满足：，，，给出下列四个命题：①数列单调递增；②数列单调递增；③数列从某项以后单调递增；④数列从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ）
A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
①
②
①-②得：，当，，
所以，故①错，
①-②得：，，
所以是等比数列，通项为，
所以，故②正确，
因为，
所以，故③正确，
因为，所以，
根据指数函数的性质，知从某项以后单调递增，故④正确.
故选：
18．已知数列的前n项和为，，设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时
， ，
两式相减得，
即
又，，
.
，，
，
令，
考虑函数，，
所以在上递减，在上递增，
，离近，
，，
又，的最小值为.
故选：.
19．已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中一定成立的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
依题意成等差数列，令，则，两式相加，利用等差数列的性质化简得，所以.所以①正确.所以，而，由于是不相等的正数，所以，所以成立，所以②正确.
依题意成等比数列，设其公比为，则.当为负数时，则必为奇数，此时，所以③不正确.
由③的分析可知，当为负数时，则必为奇数，且，所以；当为正数时，，由于是不相等的正数，所以由基本不等式可知.所以④正确.
故选：B
20．数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】
由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴
，
①为奇数时，，.
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，
∴为偶数时，无解.
综上所述，.
故选:B.
21．等差数列满足：，.记，当数列的前项和取最大值时，（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，依题意，，则，即.所以数列的通项公式为.所以.由于，所以当时，，当，
，
当时，.
由于，所以当时，取得最大值.
故选：C
22．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【解析】
把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。
则
.
令即，故.
故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.
设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，
且前项和，其中，.
下证：当时，总有.
记，则当时，有，
故为单调增数列，而，故即.
所以，
由为2的整数幂，故，从而，
当时，，与矛盾；
当时，，此时，
故选：A.
23．对于任意实数x，符号[x]表示不超x的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn＞2018的最小整数，则n0的值为（ ）
A．305 B．306 C．315 D．316
【答案】D
【解析】
解：由题意，，当时，可得．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即，项）
前项和为：．①
．②
由①②可得：
即
此时：．
对应的项为．
即．
故选：．
24．数列满足：，给出下述命题正确的个数是：（ ）
①若数列满足：，则；
②存在常数，使得成立；
③若（其中），则；
④存在常数，使得都成立
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】
由，得，即数列是递增数列．
对于①，若，则，成立，正确；
对于②，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，不存在常数，使得成立，错误；
对于③，若数列为递减数列，如：，满足题意，，但是，错误；
对于④，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，故不存在常数，使得都成立，错误．
故选：A．
25．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（ ）．
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】
①,则,,则,故①是“数列”；
②,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故②不是“数列”；
③,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故③不是“数列”；
④,则,，则
,故④是“数列”
故选：D
26．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【解析】
解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，
∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
Sn=n+×2=n2．
∴==
=n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故选:A．
27．已知数列满足，.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题存在，使得对任意，都有.则（ ）
A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假
【答案】B
【解析】
由题意可知
则
数列单调递减,所以
而当时, 且
则,所以命题为真命题
而
所以
所以,
即
所以
可得,
即存在,对任意,都有成立
又
所以,即小于0有解,所以命题为假命题
综上可知, 命题为真命题, 命题为假命题
故选:B
28．己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为( )
A．2019 B．2018 C．4038 D．4037
【答案】D
【解析】
解：依题意得，，
可猜想时
证明：令
则
可得在单调递减，在单调递增.
即
，满足条件，故猜想正确；
故选：
29．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最小值与最大值的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
等比数列的首项为，公比为，前项和为
设，则
数列对应函数为：
易知：在 上递减，在上递减
故在 上递减
的最小值与最大值的比值为
故选：B
30．已知数列的通项公式为，前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
数列的通项公式为，前n项和为，
,
,
设,
则
是递增数列，
的最小值是，
恒成立，
，
，
，
解得，
m所能取得的最大整数为5，
故选：A
31．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，若该数列前项和满足：①②是2的整数次幂，则满足条件的最小的为
A．21 B．91 C．95 D．10
【答案】C
【解析】
根据题意构造数列，使得：，，，，，
故，，，，，所以数列的前项和令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为，
根据题意可得：，，则数列的前项和，
所以要使数列前项和满足：，则，则，故，故D答案不对。
由于是2的整数次幂，则，则，则，
当时，则，解得：，，
故满足条件的最小的为95，
故答案选C
32．已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）
A．65 B．67 C．75 D．77
【答案】C
【解析】
由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，
则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，
时，，，
时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.
故选：C
33．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若
A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
【解析】
表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，
即，由题目中条件可知的长度为定值，
那么我们需要知道的关系式，
由于和两个垂足构成了直角梯形，
那么，
其中为两条线的夹角，即为定值，
那么，
，
作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
34．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】D
【解析】
因为，，
所以
，
累加得：，
所以，
故，
由于，当且仅当，即，
由于，
所以当时，的最小值为.
故选：D
35．设等差数列满足：，且公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵，
∴，
即，即，即，即，即，∵，
∴，∴．∵，∴，则．
由
，
对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．
∴首项的取值范围是，故选D．
专题16等差数列与等比数列A卷
1．记函数的所有零点之和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值，没有最小值
B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最小值0
D．有最小值，没有最大值
【答案】A
【解析】
当 时，得即
当时，得即
当时
得或
所以
所以
所以当时取得最大值，没有最小值.
故选：A
2．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得：
即
由，所以
因为a、b、c成等比数列，所以
即，令
又，则
化简可得：
即，
所以
故选：B
3．数列的首项，前n项和为.已知，则使恒成立的最大实数m=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题,当时,,即,
所以,则,所以,
所以,所以,
当时,,即,所以,所以,所以,则,所以,
当时,,符合,
所以,
所以最大实数为,
故选:A
4．设表示不超过的最大整数，如．已知数列满足：，则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴
，
又满足上式，
∴．
∴，
∴，
∴．
故选A．
5．已知非常数列满足，若，则( )
A．存在，，对任意，，都有为等比数列
B．存在，，对任意，，都有为等差数列
C．存在，，对任意，，都有为等差数列
D．存在，，对任意，，都有为等比数列
【答案】B
【解析】
解：由题意，得.
令，则，
为非零常数且，
均为非零常数，
∴常数，且.
故.
两边同时减去，可得
，
∵常数，且，
，且.
，
∵数列是非常数数列，
，
则当，即，即，即时，
.
此时数列很明显是一个等差数列.
∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.
故选：B.
6．已知数列中，，若，设，若，则正整数的最大值为（ ）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
【答案】B
【解析】
,
∴,∴,即数列为单调增数列,
,即,
,
,
,即,
正整数的最大值为1010,
故选:B.
7．已知数列的前项和为，对于任意的都有，若为单调递增的数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于任意的都有，①
，②
②-①得
，③
则当时，，④
③-④得，也就是当时，隔项成等差数列，公差为.
为单调递增的数列
只要保证可以保证整个数列单调递增.
当时，，即，
当时，，即，
则，，
代入，得，
即，即，即，
即的取值范围为，
故选：
8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：）
A．1624 B．1024 C．1198 D．1560
【答案】B
【解析】
依题意
：1，4，8，14，23，36，54，……
两两作差得
：3，4，6，9，13，18，……
两两作差得
：1，2，3，4，5，……
设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.
易，，进而得，所以，则，所以，所以.
故选：B
9．已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为,
所以当时，，解得；
当时，.
所以.
于是.
由，可得，
所以是首项为，公差为的等差数列，即.
所以.
所以
.
因为对任意的恒成立，
所以，即的最小值是.故选C.
10．已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为…，
所以…，
故即，其中.
而令，则，故，.
，
故
，
故恒成立等价于即恒成立，
化简得到，因为，故.
故选D.
11．已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意可知，
式子的每一项都除以，可得，
即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
由此可以判断出这三项是负数，从而得到当时，取得最小值，且，故选C.
12．数列中，，，数列是首项为4，公比为的等比数列，设数列的前项积为，数列的前项积为，的最大值为（ ）
A．4 B．20 C．25 D．100
【答案】B
【解析】
由题,,
则,,…,,
则,即,
又数列是首项为4,公比为的等比数列,则,
设,
则数列的积为,若求的最大值,则,即,
则,设,,
则函数与的图象如图所示,
设交点的横坐标为,则,则当时,；当时,,
即,,则当时,；当时,,
所以当时,取得最大值为,
故选:B
13．已知点列均在函数图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意得，点满足，
由中点坐标公式，可得的中点为：，
即，
当时，以为边长能构成一个三角形，
，
只需，即，
即有，解得；
同理，解得，
综上，的取值范围是或，
故选：.
14．已知符号函数，设，为数列的前n项和，则使的所有n值的和为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】A
【解析】
令
则函数的零点为,
当时,
当时, ,根据指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度可知, 函数只有这两个零点
而当时,
当时,
当时,
而由符号函数,,为数列的前n项和
因为
所以,即
同理可得时, ,即
而时,
若,则需
所以
综上可知,满足时的值分别为和
所以时的值的和为
故选:A
15．已知数列满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：用排除法：当时，，明显有，
下面用数学归纳法证明，
当时，，成立；
假设当时，成立，
则当时，，
所以当时，成立，
综上：对任意，都有；
另外，
所以，
所以当时，恒成立，排除CD；
当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，
故选：B.
16．已知数列满足，，其首项，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
数列是递增数列，
即，可解得或，
,则或,
,由或得：.
即或，
可解得或.
又由，
由函数在上单调递减，在上单调递增,
则当或时，都有成立，
即由或可得，得，
由可得，由此类推可得，则有，
所以或时，都有，即数列是递增数列.
故选：B
17．已知数列，满足：，，，给出下列四个命题：①数列单调递增；②数列单调递增；③数列从某项以后单调递增；④数列从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是：（ ）
A．②③④ B．②③ C．①④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
①
②
①-②得：，当，，
所以，故①错，
①-②得：，，
所以是等比数列，通项为，
所以，故②正确，
因为，
所以，故③正确，
因为，所以，
根据指数函数的性质，知从某项以后单调递增，故④正确.
故选：
18．已知数列的前n项和为，，设，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当时
， ，
两式相减得，
即
又，，
.
，，
，
令，
考虑函数，，
所以在上递减，在上递增，
，离近，
，，
又，的最小值为.
故选：.
19．已知a，b是不相等的两个正数，在a，b之间插入两组实数：x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn，（n∈N*，且n≥2），使得a，x1，x2，…，xn，b成等差数列，a，y1，y2，…，yn，b成等比数列，给出下列四个式子：①；②；③；④.其中一定成立的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】
依题意成等差数列，令，则，两式相加，利用等差数列的性质化简得，所以.所以①正确.所以，而，由于是不相等的正数，所以，所以成立，所以②正确.
依题意成等比数列，设其公比为，则.当为负数时，则必为奇数，此时，所以③不正确.
由③的分析可知，当为负数时，则必为奇数，且，所以；当为正数时，，由于是不相等的正数，所以由基本不等式可知.所以④正确.
故选：B
20．数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】
由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴
，
①为奇数时，，.
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，
∴为偶数时，无解.
综上所述，.
故选:B.
21．等差数列满足：，.记，当数列的前项和取最大值时，（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】
设等差数列的公差为，依题意，，则，即.所以数列的通项公式为.所以.由于，所以当时，，当，
，
当时，.
由于，所以当时，取得最大值.
故选：C
22．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
【答案】A
【解析】
把题设中的数列分成如下的组： ，记前组的和为。
则
.
令即，故.
故当时，数列至少包括前13组且含有第14组的前个元素.
设前项和为2的整数幂且第项为第组的第个元素，则，
且前项和，其中，.
下证：当时，总有.
记，则当时，有，
故为单调增数列，而，故即.
所以，
由为2的整数幂，故，从而，
当时，，与矛盾；
当时，，此时，
故选：A.
23．对于任意实数x，符号[x]表示不超x的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn，若n0是满足Sn＞2018的最小整数，则n0的值为（ ）
A．305 B．306 C．315 D．316
【答案】D
【解析】
解：由题意，，当时，可得．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即．项）
当时，即，项）
前项和为：．①
．②
由①②可得：
即
此时：．
对应的项为．
即．
故选：．
24．数列满足：，给出下述命题正确的个数是：（ ）
①若数列满足：，则；
②存在常数，使得成立；
③若（其中），则；
④存在常数，使得都成立
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【解析】
由，得，即数列是递增数列．
对于①，若，则，成立，正确；
对于②，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，不存在常数，使得成立，错误；
对于③，若数列为递减数列，如：，满足题意，，但是，错误；
对于④，若数列为递减数列，如：，满足题意，但是当时，，故不存在常数，使得都成立，错误．
故选：A．
25．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（ ）．
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】D
【解析】
①,则,,则,故①是“数列”；
②,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故②不是“数列”；
③,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故③不是“数列”；
④,则,，则
,故④是“数列”
故选：D
26．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【解析】
解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，
∴a32=a1a13，
∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，
解得d=2．
∴an=1+2（n-1）=2n-1．
Sn=n+×2=n2．
∴==
=n+1+-2≥2-2=4，
当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
故选:A．
27．已知数列满足，.给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题存在，使得对任意，都有.则（ ）
A．p真，q真 B．p真，q假 C．p假，q真 D．p假，q假
【答案】B
【解析】
由题意可知
则
数列单调递减,所以
而当时, 且
则,所以命题为真命题
而
所以
所以,
即
所以
可得,
即存在,对任意,都有成立
又
所以,即小于0有解,所以命题为假命题
综上可知, 命题为真命题, 命题为假命题
故选:B
28．己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋＋1，记Sn＝[a1]＋ [a2]＋···＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为( )
A．2019 B．2018 C．4038 D．4037
【答案】D
【解析】
解：依题意得，，
可猜想时
证明：令
则
可得在单调递减，在单调递增.
即
，满足条件，故猜想正确；
故选：
29．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当时，的最小值与最大值的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
等比数列的首项为，公比为，前项和为
设，则
数列对应函数为：
易知：在 上递减，在上递减
故在 上递减
的最小值与最大值的比值为
故选：B
30．已知数列的通项公式为，前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则常数m所能取得的最大整数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
数列的通项公式为，前n项和为，
,
,
设,
则
是递增数列，
的最小值是，
恒成立，
，
，
，
解得，
m所能取得的最大整数为5，
故选：A
31．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推，若该数列前项和满足：①②是2的整数次幂，则满足条件的最小的为
A．21 B．91 C．95 D．10
【答案】C
【解析】
根据题意构造数列，使得：，，，，，
故，，，，，所以数列的前项和令数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，为，
根据题意可得：，，则数列的前项和，
所以要使数列前项和满足：，则，则，故，故D答案不对。
由于是2的整数次幂，则，则，则，
当时，则，解得：，，
故满足条件的最小的为95，
故答案选C
32．已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（ ）
A．65 B．67 C．75 D．77
【答案】C
【解析】
由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，
则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，
时，，，
时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.
故选：C
33．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若
A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
【解析】
表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，
即，由题目中条件可知的长度为定值，
那么我们需要知道的关系式，
由于和两个垂足构成了直角梯形，
那么，
其中为两条线的夹角，即为定值，
那么，
，
作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
34．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】D
【解析】
因为，，
所以
，
累加得：，
所以，
故，
由于，当且仅当，即，
由于，
所以当时，的最小值为.
故选：D
35．设等差数列满足：，且公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵，
∴，
即，即，即，即，即，∵，
∴，∴．∵，∴，则．
由
，
对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，∴，解得：．
∴首项的取值范围是，故选D．
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