数学人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算同步测试题

6.2 平面向量的运算

【教材课后习题】

1.如果a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义?

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.

2.一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

3.一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16km/h，同时河水流速的大小为4km/h.求船实际航行的速度的大小与方向（精确到1°）.

4.化简：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）.

5.作图验证：

（1）；

（2）.

6.（1）已知向量a，b，求作向量c，使.

（2）（1）中表示a，b，c的有向线段能构成三角形吗?

7.已知a，b为两个非零向量，

（1）求作向量，；

（2）当向量a，b成什么位置关系时，满足?（不要求证明）

8.化简：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

9.如图，.求证.

10.填空：

（1）若a，b满足，，则的最大值为最小值为

（2）当非零向量a，b满足时，平分a与b的夹角.

11.（1）已知，，且a与b的夹角，求，，；

（2）已知，，且，求，.

12.求证：.

13.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

（1）；

（2）；

（3），且.

14.在中，，，且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N.设，，用a，b分别表示向量，，，，，，.

15.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，求证：.

16.飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地.画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地多远?

17.（1）如图（1），在中，计算；

（2）如图（2），在四边形ABCD中，计算；

（3）如图（3），在n边形中，证明你的结论.

18.已知，，且，求a与b的夹角.

19.已知，，且，求a与b的夹角（精确到1°）.

（可用计算工具）

20.已知a是非零向量，，求证：.

21.已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为(   ).

A. B. C. D.

22.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用，，表示.

23.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，，，满足等式.

（1）作出满足条件的四边形ABCD.

（2）四边形ABCD有什么特点？请证明你的猜想.

24.如图，在中，是不是只需知道的半径或弦AB的长度，就可以求出的值?

【定点变式训练】

25.在平行四边形ABCD中等于(   )
A. B. C. D.

26.在中，，若点D满足，则(   )
A. B. C. D.

27.若，，向量与向量的夹角为120°，则向量在向量上的投影向量为(   )
A. B. C. D.

28.化简得(   )

A. B. C. D.

29.设D为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

30.已知非零向量满足的夹角的余弦值为，且，则实数k的值为(   )
A.18 B.24 C.32 D.36

31.如图所示，在梯形ABCD中，，AC与BD交于O点，则_______.

32.已知向量不共线，且.若与同向，则实数的值为______________.

33.如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为点P，且，则_____________.
 

34.如图所示，已知在矩形ABCD中，.设，求.

35.已知为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足.

(1)将用表示；

(2)证明：四边形ABCD为梯形.

36.已知非零向量满足，且.

(1)求.

(2)当时，求向量与的夹角的值.

答案以及解析

1.答案：（1）向东走20km；

（2）向东走5km；

（3）向东北走；

（4）向西南走；

（5）向西北走；

（6）向东南走；

解析：

2.答案：飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km

解析：

3.答案：船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角

解析：设船的航行速度为，水流速度为，

船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则.

由，得.

船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.

4.答案：（1）0

（2）

（3）

（4）0

（5）0

（6）

（7）0

解析：（1）原式.

（2）原式.

（3）原式.

（4）原式.

（5）原式.

（6）原式.

（7）原式.

5.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：如图，在平行四边形ABCD中，设，，则，.

（1）因为，

所以.

（2）因为，所以.

6.答案：（1）略.

（2）当a，b共线时，不能构成三角形，当a，b不共线时能构成三角形.

解析：

7.答案：（1）略.

（2）当时，满足.

解析：

8.答案：（1）

（2）

（3）

（4）.

解析：

9.答案：见解析

解析：因为，而，，所以.

10.答案：（1）5，1

（2）

解析：（1），当且仅当a，b同向时取等号，.

又，当且仅当a，b反向时取等号，.

（2）当时，为以a，b为邻边的平行四边形的对角线，此时的平行四边形为菱形，对角线恰好平分a与b的夹角.

11.答案：（1）；，

（2），

解析：（1）；

；

.

（2）.

.

12.答案：见解析

解析：（1）设a，b的夹角为，当时，，，

，，

成立.

（2）当时，与a同向，与b同向，与b的夹角为，a与的夹角为.

，

，，

成立.

（3）当时，与a反向，与b反向，与b的夹角为，a与b的夹角为.

，

，

，

成立.

综上可知，原等式成立.

13.答案：（1）平行四边形，证明见解析

（2）梯形，证明见解析

（3）菱形，证明见解析

解析：（1）四边形ABCD是平行四边形，证明如下：

，且，

且四边形ABCD是平行四边形.

（2）四边形ABCD是梯形，证明如下：

，，.又，

，即.四边形ABCD是梯形.

（3）四边形ABCD是菱形，证明如下：

，且，

且，四边形ABCD是平行四边形.

又，，四边形ABCD是菱形.

14.答案：；；；；；；

解析：如图，

，，，

，，，

.

15.答案：见解析

解析：连接EB，EC（图略）.

，

.

16.答案：丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km

解析：如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.

17.答案：（1）0

（2）0

（3）0，证明见解析

解析：（1）.

（2）.

（3）.

证明如下：

…

.

18.答案：

解析：，

于是可得，，所以.

19.答案：

解析：，

，，

，用计算器算得.

20.答案：见解析

解析：证法1：.

证法2：设，，.

先证.

，.

由得.

即.

而，所以.

再证.

由得，

即，因此.

21.答案：A

解析：如图，由知O为BC的中点，

又O为的外接圆圆心，

.

，

.

为正三角形，，

在上的投影向量为，故选A.

22.答案：

解析：.

23.答案：（1）平行四边形

（2）四边形ABCD为平行四边形，证明见解析

解析：（1）作图略，通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形.

（2）四边形ABCD为平行四边形.

证明：因为，所以，因为，，

所以，即，因此四边形ABCD为平行四边形.

24.答案：

解析：只与弦AB的长度有关，与半径无关.理由如下：

设的半径为r，AB的长度为2a，

取AB的中点D，连接CD，则.

在中，，，，

.

25.答案：A

解析：因为四边形ABCD为平行四边形，故.故选A.

26.答案：A

解析：由题意得.故选A.

27.答案：D

解析：在的投影向量是.故选D.

28.答案：C

解析：

.

故选：C.

29.答案：C

解析：因为，所以，所以.故选C.

30.答案：A

解析：由可设，则.因为，所以.故选A.

31.答案：

解析：.

32.答案：1

解析：由于与同向，设，于是，整理得.由于不共线，所以，整理得，所以或.又因为，所以，故.

33.答案：18

解析：设AC与BD交于点O，，则.由可知，在上的投影的数量为，故，即.

34.答案：

解析：如图，.

则.

35.答案：(1)

(2)见解析

解析：(1)

.

(2)因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，

且，所以在四边形ABCD中，，且，所以四边形ABCD为梯形.

36.答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，即.

所以，故.

(2)因为，

又，故.