人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习

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6.4 平面向量的应用【教材课后习题】1.若非零向量与满足，且，则为(   ).A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形2.已知O，N，P在所在平面内，满足，，且，则点O，N，P依次是的(   )A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，内心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，内心3.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角.4.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，.（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s；（2）计算s在上的投影向量.5.一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时.（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）?实际前进速度的大小为多少?6.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：（1），，；（2），，.7.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）：（1），，；（2），，.8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到1min）？10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?11.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标.12.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.13.一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短.14.一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.15.的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，，，利用余弦定理证明，，.16.在中，求证：.17.证明：设三角形的外接圆的半径是R，则，，.18.利用三角形的面积公式，，，证明.19.如图，在中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗?用向量方法证明你的结论.20.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：（1）三角形的面积；（2）若r为三角形的内切圆半径，则（3）BC，AC，AB上的高分别记为，，，则，，.21.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.22.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.（1）求A；（2）若，则的面积为，求b，c.【定点变式训练】23.已知非零向量与满足且，则为(   ).A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形24.已知，，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为(   )A.-5 B.5 C.-13 D.1325.长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则(   )A. B. C. D.26.某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为(   )A.海里 B.海里 C.海里 D.海里27.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为(   ).A. B. C. D.28.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为(   ).A. B. C.3 D.29.中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(   )A.（米/秒） B.（米/秒） C.（米/秒） D.（米/秒）30.已知分别为三个内角的对边，且，则(   )A.3 B. C.6 D.31.如图，在平行四边形ABCD中，，则__________.32.如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力.绳BO与墙壁垂直，所受拉力，则与的合力大小为_____________，方向为______________.33.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为_____________.34.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角_________.35.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地沿西南方向飞行到达丁地，求丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？36.在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，且的面积为，求的周长.37.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.38.记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.（1）求的面积；（2）若，求b.
答案以及解析1.答案：D解析：由，知，中，的平分线与边BC垂直，.又，.，，为等边三角形，故选D.2.答案：C解析：由知点O到A，B，C三点的距离相等，所以O为的外心.由，知.设AB的中点为D，则，所以点N在的中线AD上且，所以N为的重心.由，得，即，所以，同理可得，，所以P为的垂心.故选C.3.答案：见解析解析：证明：如图，设的半径为r，AB为的直径，C为圆周上一点，则.，，，，，即为直角.4.答案：（1）（2）解析：（1）.（2）设s与的夹角为，则，所以s在上的投影向量为.5.答案：（1）沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为4km/h（2）沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为解析：（1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以OA，OB为邻边作，则此人的实际速度为.在中，，所以.实际前进的速度，故此人沿与水流方向成的方向前进，实际前进速度为4km/h.（2）如图（2），设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为.在中，，，所以，故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进，实际前进速度为.6.答案：（1），，；（2），，.解析：7.答案：（1），，.（2），，，或，，.解析：8.答案：解析：在中，.由正弦定理得，.在中，，塔高AB为.9.答案：大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟解析：如图.设台风中心为B，BD为台风经过的路径所在的直线，则.过A作于C，则.，气象台所在地会受到台风的影响.设以A为圆心，以250km为半径的圆与直线BD交于E，F两点.设，.由余弦定理得，是方程的根.方程整理得，解得，，，，大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.10.答案：见解析解析：在中，边BC，CA，AB上的高分别记为，，，那么容易证明：，，，根据三角形的面积公式，应用以上高的公式，可以推导出下面的三角形的面积公式：.同理，，.11.答案：解析：，，，，，点P的坐标为.12.答案：解析：M，N分别是BC，AC的中点，，.与的夹角等于，.，，，.13.答案：当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短解析：没与的夹角为，船行驶的时间为t，.（1）当为钝角时，；（2）当为锐角时，；（3）当为直角时，；当为钝角时，，，当为锐角时，.所以当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.14.答案：合速度的方向与水流的方向成150°的角，小船航行速度解析：如图.，，，，，合速度的方向与水流的方向成150°的角.设少货船的速度为，水流速度为，合速度为v，则，，小船航行速度.15.答案：见解析解析：证明：根据余弦定理的推论得，所以，所以.同理可以证明其余两式.16.答案：见解析解析：证明：左边右边，所以等式成立.17.答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析解析：（1）若A为锐角（如图（1）所示），作直径，连接，则，在中，，即.（2）若A是直角（如图（2）所示），在中，可直接得；（3）若A为钝角（如图（3）所示），作直径，连接，则，在中，，即.由（1）（2）（3）得.同理可证，，.18.答案：见解析解析：证明：，.又，.19.答案：见解析解析：，证明如下：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设，，，则.第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：因为与共线，所以我们设，.又因为，与共线，所以我们设.因此，，即.由于向量a，b不共线，要使上式为0，则解得，所以.同理.所以.第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：.20.答案：（1）见解析（2）见解析（3）见解析解析：证明：（1）根据余弦定理的推论得，则，代入，得.又，所以，，，代入可得.（2）因为，所以三角形的周长.又三角形的面积，其中r为内切圆半径，所以.（3）根据三角形的面积公式，得.同理可证其余两式.21.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）如图，测出AB的距离a，，，，.（2）在中，由正弦定理求得.在中，由正弦定理求得.在中，由余弦定理求得.22.答案：（1）（2）解析：（1），，，，.，，，.，，.（2），，.又，，由①②解得.23.答案：D解析：在中，，，，，即是等腰三角形，又，，，又，，是等边三角形.故选D.24.答案：A解析：因为，，，，所以，，，所以，故选：A.25.答案：B解析：由题意知，则，因为，，即，所以.故A，C，D错误.故选：B.26.答案：A解析：如图，由已知，，所以，又，所以，又，，由余弦定理可得，所以（海里）故选：A.27.答案：C解析：由余弦定理，得.因为，所以，.故选C.28.答案：B解析：根据题意，由，结合正弦定理得，即，因为，所以，故.故选B.29.答案：B解析：如图，由题得，，.在中，由正弦定理得，即，解得，则在中，，所以升旗的速度应为（米/秒）.故选B.30.答案：A解析：由正弦定理及得.又因为在中，，所以，整理得.因为在，，所以，即.又因为，所以.又，所以，故选A.31.答案：3解析：因为，所以.32.答案：；竖直向上解析：以，为邻边作平行四边形BOAC，则，即，，，，，.与的合力大小为，方向为竖直向上.33.答案：解析：由余弦定理得，则，解得，.34.答案：45°解析：依题意可得，又，所以在中，由余弦定理的推论得，又，所以，所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.35.答案：丁地在甲地的东南方向，且距甲地解析：如图，用A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知为等边三角形..又，为直角三角形，则.丁地在甲地的东南方向，且距甲地.36.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因为，所以，
因为，所以，所以，.（Ⅱ）因为的面积，
所以.
由余弦定理可得，
所以，
所以的周长为.37.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）22解析：（Ⅰ）由正弦定理，得.
因为，所以，
又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，所以，所以，
所以.
因为，即，
所以，
所以.38.答案：（1）（2）解析：（1）由，得，即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知，
即，得.